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高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案


圆的标准方程
教学目标 (1)在理解推导过程的基础上,掌握圆的标准方程的形式特点,理解方 程中各个字母的含义,能合理应用平面几何中圆的有关性质,结合方程解决 圆的有关问题. (2)理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线;从圆外一点引切 线;已知切线斜率求切线等. 教学重点和难点 重点:圆的标准方程的理解、应用;圆的切线方程.(已知切点求切线; 从圆外一点引切线;已知切线斜率求切线). 难 点:从圆外一点引切线,求切线方程,已知切线斜率求切线. 教学过程设计 (一)导入新课,教师讲授. 同学们,前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题,今天 我们研究圆及与圆有关的问题. 什么是“圆”.想想初中我们学过的圆的定义. “平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”. 定点就是圆心,定长就是半径. 根据圆的定义,我们来求圆心是 c(a,b),半径是 r 的圆的方程.(引导学生推导)

设 M(x,y)是圆上任意一点,圆心坐标为(a,b),半径为 r.
1

则│CM│=r,

两边平方. (x-a) +(y-b) =r ,

2

2

2

我们得到圆的标准方程, 这就是圆心为 C(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. 如果圆的圆心在原点.O(0,0).即 a=0.b=0.

问题 1.说出下列圆的方程: (1)圆心在点 C(3, -4), 半径为 7. (2) 经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3). 问题 2 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径: (1) (x + 7) + ( y ? 4) = 36
2 2

(2)

x2 + y2 ? 4x + 10y + 28 = 0
2 2

(3) (x ? a) + y

= m

2

例 1.写出圆心为 C(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 m1(5.-7), m2(-5,-1) 是否在这个圆上。

跟踪训练 已知两点 M(3,8)和 N(5,2). (1)求以 MN 为直径的圆 C 的方程;
2

(2)试判断 P1(2,8),P2(3,2),P3(6,7)是在圆上,在圆内,还是在圆外?

探究:在平面几何中,如何确定点与圆的位置关 系? 点与圆的位置关系: (x0-a) +(y0-b) >r 时,点 M 在圆 C 外 (x0-a) +(y0-b) =r 时,点 M 在圆 C 上 (x0-a) +(y0-b) <r 时,点 M 在圆 C 内
2 2 2 2 2 2 2 2 2

例 2 ⊿ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方 程

例 3 己知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心在直线 l:x-y+1=0 上,求圆 心为 C 的圆的标准方程. (二)学生课堂练习 1.点(2a, 1 ? a)在圆 x + y = 4 的内部,求实数 a 的取值范围.
2 2

2.根据下列条件,求圆的方程: (1) 求过两点 A(0,4)和 B(4,6),且圆心在直线 x-y+1=0 上的圆的标准方程。 (2)圆心在直线 5x-3y=8 上,又与两坐标轴相切,求圆的方程。 (3)求以 C(1,3)为圆心,且和直线 3x-4y-7=0 相切的直线的方程。

1、课本练习题 1.(1)x +y =9;(2)(x-3) +(y-4) =5; (3)(x-8) +(y+3) =25. 2、课本练习题 2.x +y =196.
2 2 2 2

2

2

2

2

3

(三)教师讲授,师生研究 下面我们来研究圆的切线问题: (1)已知切点坐标,求过这切点的切线方程. 例 1 已知圆的方程是 x +y =r , 求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线的方程. [分析]切线是直线,已知切线过切点,因此应从点斜式考虑,连接圆 心 O 与切点 M,切线 l⊥OM,OM 的斜率可求出,则切线的斜率 l 也可求出, 由点斜式可得到切线的方程.
2 2 2

解: 设切线 l 的斜率为 K,切线 l:y-y0=K(x-x0),

∴切线 l 的方程是 这个公式很重要,要熟记其特征与各个字母的含义. (2)已知切线的斜率,求切线的方程.

4

小结.圆的切线的求法. (1)已知切点求切线,把切点(x0,y0)坐标代入公式 x0x+y0y=r 即得到 切线方程.但这种代法对同学们来讲,目前只适用于圆心在原点的圆. (2)已知斜率求切线,可设切线的斜截式 y=kx+b,代入圆的方程,由 △=0,求出截距 b.这种求法适用于圆心在原点的圆,计算量较小. (3)过圆外一点作圆的切线,把切线高为点斜式,根据圆心到切线的距 离等于半径这一基本性质,确定斜率,得到切线.这一求法较有普遍性,同 学们要牢牢掌握,圆心不在原点时,用起来方便. (四)课时小结 1.圆的标准方程 2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法 ②几何法
2

(五)作业. 习题 7.6 1、2、4、5

5


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