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湖南省益阳市箴言中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年湖南省益阳市箴言中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 2 1. (4 分) 已知全集 U=R, 则正确表示集合 M={﹣1, 0, 1}和 N={x|x +x=0}关系的韦恩 (Venn) 图是()

A.

B.

C.

D.

2. (4 分)下列函数中,在其定义域内为增函数的是() A.f(x)=x
2

B.f(x)=﹣

C.f(x)=|x|

D.f(x)=x

3

3. (4 分)下列四组函数中表示同一函数的是() A.f(x)=x, C. ,g(x)=|x| B. f(x)=x ,g(x)=(x+1) D.f(x)=0,
2 2 2

4. (4 分)设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈,函数 f(x)=x +(a﹣4)x+4﹣2a 的值恒 大于零,则 x 的取值范围是.

三、 解答题(本大题共 60 分,请写出必要的计算或证明过程) 16. (8 分)求值:2log52+log5 +loge + × × .

17. (10 分)设全集是实数集 R,A={x| ≤x≤3},B={x|x +a<0}. (1)当 a=﹣4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 18. (10 分)设函数 f(x)=log2 .

2

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的增减性,并根据函数单调性的定义加以证明. 19. (10 分)设函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,并且同时满足下面两 个条件:①对正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) ;②f( )=1. (1)求 f(1)和 f(4)的值; (2)求满足 f(3+x)+f(3﹣x)>﹣2 的 x 的取值范围. 20. (10 分)某工厂生产商品 A,若每件定价为 80 元,则每年可销售 80 万件,政府税务部 门对市场销售的商品 A 要征收附加税,为增加国家收入又要有利于生产发展,必须合理确 定税率.根据市场调查,若政府对商品 A 征收附加税率为 p%时,每年销售量将减少 10p 万 件,据此,试问 ①若税务部门对商品 A 征收的税金不少于 96 万,求 P 的范围. ②若税务部门仅对商品 A 考虑每年所获得的税金最高,求此时 P 的值. 21. (12 分)已知函数 f(x)=1﹣2a ﹣a (0<a<1) (1)求函数 f(x)的值域; (2)若 x∈时,函数 f(x)的最小值为﹣7,求 a 的值和函数 f(x)的最大值.
x 2x

2014-2015 学年湖南省益阳市箴言中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 2 1. (4 分) 已知全集 U=R, 则正确表示集合 M={﹣1, 0, 1}和 N={x|x +x=0}关系的韦恩 (Venn) 图是()

A.

B.

C.

D.

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 集合.

分析: 先化简集合 N,得 N={﹣1,0},再看集合 M,可发现集合 N 是 M 的真子集,对 照韦恩(Venn)图即可选出答案. 解答: 解: .由 N={x|x +x=0}, 得 N={﹣1,0}. ∵M={﹣1,0,1}, ∴N?M, 故选 B. 点评: 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、 一元二次方程的解法等基础知识, 考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 2. (4 分)下列函数中,在其定义域内为增函数的是() A.f(x)=x
2 2

B.f(x)=﹣

C.f(x)=|x|

D.f(x)=x

3

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别对 A,B,C,D 各个选项进行分析,从而得到答案. 解答: 解:对于 A:f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0, +∞)递增, 对于 B:f(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)递增, 对于 C:f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增, 对于 D:f(x)在(﹣∞,+∞)递增, 故选:D. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,是一道基础题. 3. (4 分)下列四组函数中表示同一函数的是() A.f(x)=x, C. ,g(x)=|x| B. f(x)=x ,g(x)=(x+1) D.f(x)=0,
2 2

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 根据两个函数是同一个函数的定义, 函数的三要素均相等, 或两个函数的图象一致, 根据函数的定义域与函数的解析式一致时, 函数的值域一定相同, 我们逐一分析四个答案中 两个函数的定义域和解析式是否一致,即可得到答案. 解答: 解:∵y=x(x∈R)与 (x≥0)两个函数的定义域不一致,

∴A 中两个函数不表示同一函数; 2 2 ∵f(x)=x ,g(x)=(x+1) 两个函数的对应法则不一致, ∴B 中两个函数不表示同一函数; ∵f(x)=|x|与 g(x)= =|x|,且两个函数的定义域均为 R

∴C 中两个函数表示同一函数; f(x)=0, =0(x=1)两个函数的定义域不一致,

∴D 中两个函数不表示同一函数; 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是 判断两个函数是否为同一函数,熟练掌握判断两个函数是否 为同一函数的方法,正确理解两个函数表示同一函数的概念是解答本题的关键. 4. (4 分)设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈

6. (4 分)函数 f(x)= A.﹣1 B. 0

的零点是() C. 1 D.0 或﹣1

考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 化简 f(x)= = ,从而可知函数的零点.

解答: 解:∵f(x)=

=



∴函数 f(x)=

的零点是﹣1.

故选 A. 点评: 本题考查了函数的化简与函数零点的判断,属于基础题. 7. (4 分) 某公司在甲、 乙两地销售一种品牌车, 利润 (单位: 万元) 分别为 L1=5.06x﹣0.15x 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最 大利润为() A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51
2

考点: 函数模型的选择与应用;函数最值的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据题意,设甲销售 x 辆,则乙销售(15﹣x)辆,再列出总利润 S 的表达式, 是一个关于 x 的二次函数,最后求此二次函数的最大值即可. 解答: 解析:依题意,可设甲销售 x 辆,则乙销售(15﹣x)辆, 2 ∴总利润 S=5.06x﹣0.15x +2(15﹣x) 2 =﹣0.15x +3.06x+30(x≥0) . ∴当 x=10.2 时,S 取最大值 又 x 必须是整数,故 x=10,此时 Smax=45.6(万元) . 故选 B. 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、 函数模型的选择与应用、 函数最值的应用等基 础知识,考查应用数学的能 力.属于基础题. 8. (4 分)给出下列函数,其中奇函数的个数为()

①y= A.1 个

; ②y= B. 2 个

; ③y=

; ④y=loga

. D.4 个

C. 3 个

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 对选项一一加以判断, 先求出定义域判断是否关于原点对称, 并化简, 再计算 f (﹣ x) ,与 f(x)比较,再由奇偶性的定义即可判断. 解答: 解:①函 数的定义域为{x|x≠0,且 x∈R},关于原点对称, f(﹣x)=
2

=

=﹣f(x) ,则 f(x)为奇函数,故①对;

②由于 1﹣x >0 且|x+5|≠5, 即为﹣1<x<1 且 x≠0, 函数的定义域为{x|﹣1<x<1, 且 x≠0}, 关于原点对称,则 f(x)= ,由于 f(﹣x)= =﹣f(x) ,故为

奇函数,故②对; ③函数的定义域为{x|x≠0,且 x∈R},关于原点对称, f(﹣x)= ④由 =﹣f(x) ,则为奇函数,故③对; >0,解得﹣1<x<1,则定义域关于原点对称, +loga =loga1=0,则为奇函数,故④对.

f(﹣x)+f(x)=loga

故选 D. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断, 注意运用定义, 先求出定义域判断是否关于原点对 称,再计算 f(﹣x)与 f(x)比 较,属于基础题和易错题. 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 9. (4 分)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则 b﹣a=2.

考点: 集合的相等. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,集合{1,a+b,a}= ,注意到后面集合中有元素 0,由集合

相等的意义,结合集合中元素的特征,可得 a+b=0,进而分析可得 a、b 的值,计算可得答 案. 解答: 解:根据题意,集合{1,a+b,a}= a 为分母不能是 0 ,∴a≠0, ∴a+b=0,即 a=﹣b, ,





b=1; 故 a=﹣1,b=1, 则 b﹣a=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查集合元素的特征与集合相等的含义, 注意从特殊元素下手, 有利于找到解 题切入点. 10. (4 分)设集合 A={x|﹣3≤x≤2},B={x|2k﹣1≤x≤2k+1},且 A?B,则实数 k 的取值范围 是 .

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 由集合的包含关系,B 中所有元素都在 A 中,结合数轴得到关于 k 的不等式组 ,解出即可. 解答: 解:由题意 B≠?,因为 A?B,所以 解得 故答案为: 点评: 本题考查集合的关系问题,考查数形结合思想. ,

11. (4 分)函数 f(x)=

的定义域是( ,1].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,即可得到结论. 解答: 解:要使函数 f(x)有意义,则 ,





则 0<3x﹣2≤1, 解得 <x≤1, 故函数的定义域的( ,1],

故答案为: ( ,1] 点评: 本题主要考查函数定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 12. (4 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,则函数 f(x﹣1)的零点是 0,2. 考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 首先求出函数 f(x)的零点,使得函数等于 0,解出关于 x 的一元二次方程的解, 根据两个函数之间的关系,即函数 f(x)的图象向右平移一个单位得到 f(x﹣1) ,零点做 同样的变化. 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣1, 2 ∴f(x)=x ﹣1=0 时,x=1 或﹣1, 函数 f(x﹣1)同 f(x)比较是函数 f(x)的图象向右平移一个单位, ∴f(x﹣1)的零点是 1+1=2,﹣1+1=0, 故答案为:0,2 点评: 本题考查函数的零点,考查函数图象的平移,是一个基础题,本题也可以直接写出 函数 f(x﹣1)的解析式,使得解析式等于 0,解方程得到函数的零点. 13. (4 分)函数 y=a
x+1 2 2

(a>0 且 a≠1)的图象过定点(﹣1,1) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数恒过定点(0,1)以及图象的平移变换的知识解决问题. 解答: 解:因为函数 y=a 的图象过点定(0,1) ,而 y=a 的图象是由 y=a 的图象沿 x 轴向左平移一个单位得到的.故图象过点(﹣1,1) . 故答案为(﹣1,1) . 点评: 本题考查了指数函数过定点的知识以及图象的平移变换即左加右减的知识, 属于基 础题.
x x+1 x

14. (4 分)已知函数 720.

,则 f(6)的值是

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 本题主要就是利用函数关系不断将自变量变小, 直至变成为 0, 从而最终进行求解. 解答: 解:∵ ∴f(6)=6f(5)=30f(4)=120f(3)=360f(2)=720f(1)=720f(0)=720 故答案为 720.

点评: 本题考查了分段函数求值的问题,属于基础题. 15. (4 分)若对于任意 a∈,函数 f(x)=x +(a﹣4)x+4﹣2a 的值恒大于零,则 x 的取值 范围是(﹣∞?1)∪(3,+∞) . 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 把二次函数的恒成立问题转化为 y=a(x﹣2)+x ﹣4x+4>0 在 a∈上恒成立,再利 用一次函数函数值恒大于 0 所满足的条件即可求出 x 的取值范围. 2 解答: 解:原问题可转化为关于 a 的一次函数 y=a(x﹣2)+x ﹣4x+4>0 在 a∈上恒成立, 只需 ? ?x<1 或 x>3.
2 2

故答案为: (﹣∞?1)∪(3,+∞) . 点评: 此题是一道常见的题型,把关于 x 的函数转化为关于 a 的函数,构造一次函数,因 为一次函数是单调函数易于求解,最此类恒成立题要注意. 三、解答题(本大题共 60 分,请写出必要的计算或证明过程) 16. (8 分)求值:2log52+log5 +loge + × × .

考 点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质. 计算题;函数的性质及应用. 利用对数和指数的性质和运算法则求解. (本小题满分 8 分) + + = . × ×

解:2log52+log5 +loge =( =1+

点评: 本题考查对数和指数化简求值, 是基础题, 解题时要注意对数和指数的性质和运算 法则的合理运用.
2

17. (10 分)设全集是实数集 R,A={x| ≤x≤3},B={x|x +a<0}. (1)当 a=﹣4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 分析: (1)把 a=﹣4 代入集合 B,求出集合 B 的解集,再根据交集和并集的定义进行求 解;

(2)因为(CRA)∩B=B,可知 B?CRA,求出 CRA,再根据子集的性质进行求解; 解答: 解: (1)∵ 当 a=﹣4 时,B={x|﹣2<x<2}, 则 ,A∪B={x|﹣2<x≤3} , ,

(2)若(CRA)∩B=B,则 B?CRA={x|x>3 或 1°、当 a≥0 时,B=?,满足 B?CRA. 2°当 a<0 时, 又 B?CRA, 则 综上, . . ,

点评: 此题主要考查交集和并集的定义以及子集的性质, 是一道基础题, 解题过程中用到 了分类讨论的思想; 18. (10 分)设函数 f(x)=log2 .

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的增减性,并根据函数单调性的定义加以证明. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据对是数函数的性质得到不等式,从而求出函数的定义域; (2)先求出函数是奇函数,再根据函数的单调性的定义进行证明即可. 解答: 解: (1)由题意得: >0,解得:x>1′或 x<﹣1, ∴函数的定义域为{x|x>1 或 x<﹣1}; (2)函数 f(x)是增函数, 由(1)得:函数 f(x)的定义域是{x|x>1 或 x<﹣1}; 关于原点对称, 又∵f(﹣x)= =﹣ =﹣f(x) ,

∴f(x)在定义域上是奇函数, 只需证明函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性即可, 设 1<x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)

=



=

=



∵1<x1<x2, ∴2(x2﹣x1)>(x1﹣1) (x2﹣1) , ∴f(x1)﹣f(x2)>0, ∴f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)递减. 点评: 本题考查了函数的定义域问题,考查了函数的单调性问题,是一道基础题. 19. (10 分)设函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,并且同时满足下面两 个条件:①对正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) ;②f( )=1. (1)求 f(1)和 f(4)的值; (2)求满足 f(3+x)+f(3﹣x)>﹣2 的 x 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用赋值法即可求 f(1)和 f(4)的值; (2)根据抽象函数的关系将不等式进行转化即可得到结论. 解答: 解: (1)令 x=y=1?f(1)=0;令 x=2,y= ?f(1)=f(2)+ ∴f(2)=﹣1, 再令 x=y=2?f(4)=f(2)+f(2)=﹣2,∴f(1)=0,f(4)=﹣2. 2 (2)∵f(3+x)+f(3﹣x)=f(9﹣x ) , 其中, ,又﹣2=f(4) ,
2



∴原不等式化为:f(9﹣x )>f(4) , 又 f(x)在(0,+∞)上为减函数,



,∴﹣3<x<﹣



<x<3,

∴不等式解集为: (﹣3,﹣ )∪( ,3) . 点评: 本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法是解集抽象函数的基本方法. 20. (10 分)某工厂生产商品 A,若每件定价为 80 元,则每年可销售 80 万件,政府税务部 门对市场销售的商品 A 要征收附加税,为增加国家收入又要有利于生产发展,必须合理确

定税率.根据市场调查,若政府对商品 A 征收附加税率为 p%时,每年销售量将减少 10p 万 件,据此,试问 ①若税务部门对商品 A 征收的税金不少于 96 万,求 P 的范围. ②若税务部门仅对商品 A 考虑每年所获得的税金最高,求此时 P 的值. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;综合题. 分析: (1) 对商品 A 的附加税率为 p%, 所以可销售 80﹣10p 万件, 销售额为 6400﹣800p 万元,由此能求出 p 的范围. (2)每件所获的税金为 ,由此能求出每件所获的税金最大值.

解答: 解: (1)对商品 A 的附加税率为 p%, 所以可销售 80﹣10p 万件,销售额为 6400﹣800p 万元, 2 所以税额为 64p﹣8p 万元, 2 64p﹣8p ≥96, 所以(p﹣2) (p﹣6)≤0, 所以 p 的范围 2≤p≤6. (2)每件所获的税金=80×p%= 所 以 p 取最大值, 因为 80﹣10p≥0,所以 p≤8, 所以每件所获的税金最大值= . ,

点评: 本题考查 p 的取值范围的求法, 考查每件所获的税金最大值的求法, 解题时要认真 审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用. 21. (12 分)已知函数 f(x)=1﹣2a ﹣a (0<a<1) (1)求函数 f(x)的值域; (2)若 x∈时,函数 f(x)的最小值为﹣7,求 a 的值和函数 f(x)的最大值. 考点: 函数最值的应用;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用换元法,再进行配方,即可求得函数 f(x)的值域; (2)原因,求得函数的单调性,利用函数 f(x)的最小值为﹣7,可求 a 的值,从而可得函 数 f(x) 的最大值. 解答: 解: (1)令 t=a ,则 t>0,∴g(t)=1﹣2t﹣t =﹣(t+1) +2 ∵t>0,∴g(t)<1,即函数 f(x)的值域为(﹣∞,1) ; (2)∵x∈,0<a<1,∴t∈ 2 ∴g(t)=1﹣2t﹣t 在上是减函数 ∴t= ∴ 时,g(t)min=﹣ 或 ﹣ +1=﹣7
x 2 2 x 2x

(舍去)

∴t=

时,g(t)有最大值,即 g(t)max= ﹣



点评: 本题考查函数的最值与值域,考查学生的计算能力,属于中档题.


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