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2017年高考山东文科数学试题及答案(word解析版)


2017 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 【2017 年山东,文 1,5 分】设集合 M ? x x ? 1 ? 1 ,N ? ?x x ? 2?, 则M ? N ?( )

?

?

(A) ? ?1,1?

(B) ? ?1, 2?

(C) ? 0, 2 ?

(D) ?1, 2 ?

【答案】C 【解析】 M : 0 ? x ? 2 , N:x ? 2 ,所以 M ? N ? (0, 2) ,故选 C. (2) 【2017 年山东,文 2,5 分】已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi ?1? i ,则 z? ?( ) (A) ?2i (B) 2i (C) ?2 (D)2 【答案】A 1? i 【解析】 z ? ? 1 ? i ,所以 z 2 ? (1 ? i)2 ? ?2i ,故选 A. i ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? (3) 【2017 年山东,文 3,5 分】已知 x、y 满足约束条件 ? x ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值 ?y ? 2 ? 是( ) (A) ?3 (B) ?1 (C) 1 【答案】D 【解析】可行域如图,在点 A? ?1,2? z 取最大值: zmax ? 3 ,故选 D. (4) 【2017 年山东,文 4,5 分】已知 cos x ? (A) ? 【答案】D
3 ,则 cos 2 x ? ( 4

(D) 3



1 4

(B)

1 4

(C) ?

1 8

(D)

1 8

3 1 【解析】 cos 2x ? 2cos2 x ? 1 ? 2 ? ( )2 ? 1 ? ,故选 D. 4 8 (5) 【2017 年山东,文 5,5 分】已知命题 p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ;命题 q :若 a 2 ? b2 ,则 a ? b 。下列命题 为真命题的是( ) (A) p ? q (B) p ? ?q (C) ? p ? q (D) ? p ? ? q 【答案】B 1 3 【解析】 x2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? ? 0 , p 真; a2 ? b2 ? a ? b , q 假,故命题 p ? q , ? p ? q , ? p ? ? q 均为假命 2 4 题;命题 p ? ?q 为真命题,故选 B. (6) 【2017 年山东,文 6,5 分】执行右侧的程序框图,当输入的 x 值为 4 时,输出的 y 的值为 2, 则空白判断框中的条件可能为( ) (A) x ? 3 (B) x ? 4 (C) x ? 4 (D) x ? 5 【答案】B 【解析】解法一:当 x ? 4 ,输出 y ? 2 ,则由 y ? log 2 x 输出,需要 x ? 4 ,故选 B. 解法二:若空白判断框中的条件 x ? 3 ,输入 x ? 4 ,满足 4 ? 3 ,输出 y ? 4 ? 2 ? 6 ,不满足, 故 A 错误,若空白判断框中的条件 x ? 4 ,输入 x ? 4 ,满足 4 ? 4 ,不满足 x ? 3 ,输 出 y ? log 2 4 ? 2 ,故 B 正确;若空白判断框中的条件 x ? 4 ,输入 x ? 4 ,满足 4 ? 4 , 满足 x ? 4 ,输出 y ? 4 ? 2 ? 6 ,不满足,故 C 错误,若空白判断框中的条件 x ? 5 , 输入 x ? 4 ,满足 4 ? 5 ,满足 x ? 5 ,输出 y ? 4 ? 2 ? 6 ,不满足,故 D 错误,故选 B.
(7) 【2017 年山东,文 7,5 分】函数 y ? 3sin 2 x ? cos2 x 最小正周期为( 1 )

(A) 【答案】C

? 2

(B)

2? 3

(C) ?

(D) 2?

【解析】 y ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

? ? ,故选 C. 6 ? (8) 【2017 年山东,文 8,5 分】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据 (单位:件) 。若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为( ) (A)3,5 (B)5,5 (C)3,7 (D)5,7 【答案】A 【解析】甲组:中位数 65,所以 y ? 5 ;乙组:平均数 64,所以 x ? 3 ,故选 A.
? ?1? ? x ,0 ? x ? 10 (9) 【2017 年山东,文 9,5 分】设 f ? x ? ? ? ,若 f ? a ? ? f ? a ? 1? ,则 f ? ? ? ( ) ?a? ? ?2 ? x ? 1? , x ? 1 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】C ?0 ? a ? 1 1 【解析】由图象可知: ? ∵ f ? a ? ? f ? a ? 1? ,∴ a ? 2[(a ? 1) ? 1] ? 2a ,解得: a ? , a ? 1 ? 1 4 ?

?

) ,所以 ? ? 2, T ?

2?

1 ∴ f ( ) ? f (4) ? 6 ,故选 C. a (10) 【2017 年山东,文 10,5 分】若函数 e x f ? x ? ( e ? 2.71828?? 是自然对数的底数)在 f ? x ? 的定义域上单
调递增,则称函数 f ? x ? 具有 M 性质,下列函数中具有 M 性质的是( (A) f ? x ? = 2? x (B) f ? x ? = x
2

) (D) f ? x ? = cos x

(C) f ? x ? = 3? x

【答案】A 【解析】D 显然不对,B 不单调,基本排除,A 和 C 代入试一试。 (正式解答可求导,选择题你怎么做?) e x ?x x x ?x 若 f ( x) ? 2 ,则 e f ( x) ? e ? 2 ? ( ) ,在 R 上单调增,故选 A. 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分. (11) 【2017 年山东,文 11,5 分】已知向量 a ? ? 2,6 ? , b ? ? ?1, ? ? ,若 a / / b ,则 ? ? 【答案】 ?3 2 6 【解析】 ? ? ? ? ?3 ,故为 ?3 . ?1 ? (12) 【2017 年山东,文 12,5 分】若直线 【答案】8
1 2 4a b 4a b 1 2 ? ?4?2 ? ?8, 【解析】 点 ?1, 2 ? 代入直线方程: ? ? 1 ∴ 2a ? b ? (2a ? b)( ? ) ? 4 ? 最小值为 8. a b b a b a a b 1 (13) 【2017 年山东,文 13,5 分】由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图 4 如右图,则该几何体的体积为 .



x y ? ? 1? a ? 0,b ? 0? 过点 ?1, 2 ? ,则 2a ? b 的最小值为 a b



【答案】 2 ?

?
2

【解析】 V ? 1?1? 2 ? (? ? 12 ? 1) ? 4 ? 2 ? 2 ?
f ( x) ? 6? x ,则 f ? 919 ?

. 2 (14) 【2017 年山东, 文 14, 5 分】 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 且 f ? x ? 4? ? f ? x ? 2? . 若当 x ? [?3, 0] 时, . 【答案】6 【解析】由 f ? x ? 4? ? f ? x ? 2? 知周期为 6,∴ f (919) ? f (1) ? f (?1) ? 6 . 2

?

(15) 【2017 年山东,文 15,5 分】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的右支与焦点为 F a2 b2 的抛物线 x2 ? 2 py( p>0) 交于 A、 B 两点,若 AF ? BF ? 4 OF ,则该双曲线的渐近线方程为 .

2 x 2 p p p 【解析】∵ OF ? , AF ? yA ? , BF ? yB ? ,由 AF ? BF ? 4 OF ,可得: y A ? yB ? p ? 2 p ∴ y A ? yB ? p , 2 2 2 ? x 2 ? 2 py b2 ? 2p ? 联立: ? x 2 y 2 ,消去 x 得: a2 y 2 ? b2 ?2 py ? a2b2 ? 0 ,由韦达定理: yA ? yB ? , a2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 b 2 b ? 2p x. ∴ ? p ? a2 ? 2b2 ,∴ 渐近线方程为: y ? ? x ? ? 2 a 2 a 三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分. (16) 【2017 年山东,文 16,12 分】某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1、A2、A3 和 3 个欧洲国家 B1、B2、B3 中

【答案】 y ? ?

解: (1)从这 6 个国家中任选 2 个, 所有可能事件为:? A1 , A2 ? ,? A1 , A3 ? ,? A1 , B1 ? ,? A1 , B2 ? ,? A1 , B3 ? ;? A2 , A3 ? ,

选择 2 个国家去旅游. (1)若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率.

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? ; ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , B3 ? ; ? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? ; ? B2 , B3 ? ;共 15 种

3 1 ? . 15 5 (2) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个, 所有可能事件为: ? A1 , B1 ? ,? A1 , B2 ? ,? A1 , B3 ? ;? A2 , B1 ? ,? A2 , B2 ? ,

都是亚洲国家的可能事件为: ? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A2 , A3 ? ,共 3 种,∴ P (都是亚洲国家) ?

? A2 , B3 ? ; ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , B3 ? ;共 9 种.

2 包括 A1 但不包括 B1 的可能事件为: ? A1 , B2 ? , ? A1 , B3 ? ,共 2 种,∴ P (包括 A1 但不包括 B1 ) ? . 9 ??? ? ???? (17) 【2017 年山东, 文 17, 12 分】 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c 。 已知 b ? 3 ,AB ? AC ? ?6 , S?ABC ? 3 ,求 A 和 a .

?bc cos A ? ?6 ??? ? ???? 3 ? 解: AB?AC ? ?6 , S?ABC ? 3 ,∴ ? 1 ,化简: tan A ? ?1 ,解得: A ? ? ,∴ bc ? 6 2 ,由 b ? 3 , 4 bc sin A ? 3 ? ?2
得: c ? 2 2 ∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 9 ? 8 ? 12 ? 29 ∴ a ? 29 . (18) 【2017 年山东, 文 18, 12 分】 由四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 截去三棱锥 C1 — B1CD1 后 得到的几何体如图所示, 四边形 ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点, A1E ? 平面 ABCD . (1)证明: A1O / / 平面 B1CD1 ; (2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1 EM ? 平面 B1CD1 .

O ? C 解: (1) 设 B1 D1 中点为 F , 连接 A1 F , ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 为四棱柱, ∴ A1 F / /OC , 且 AF 1

, ∴ 四边形 A1 FCO

? 平面 B1CD1 ,且 FC ? 平面 B1CD1 ,∴ A1O / / 平面 B1CD1 . 为平行四边形∴ A1O / / FC ,又 AO 1
(2) 四边形 ABCD 为正方形, ∴ BD ? AC , ∵ E 为 AD 的中点,M 是 OD 的中点, ∴ EM / / AC , ∴ BD ? EM ∵ A1E ? 平面 ABCD , BD ? ABCD ∴ A1 E ? BD ,∵ A1E ? 平面 A1EM , EM ? 平面 A1EM ,且

A1 E ? EM ? E ,∴ BD ? 平面 A1EM ,又 B1 D1 / / BD ,∴ B1 D1 ? 平面 A1EM ,∵ B1 D1 平面 B1CD1 ,
(19) 【2017 年山东,文 19,12 分】已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 6 , a1a2 ? a3 . (1)求数列 ?an ? 通项公式; ∴ 平面 B1CD1 ? 平面 A1EM ,即:平面 A1 EM ? 平面 B1CD1 .

3

?b ? (2) ?bn ? 为各项非零的等差数列,其前 n 项和为 Sn 。已知 S2n?1 ? bnbn?1 ,求数列 ? n ? 的前 n 项和 Tn . ? an ? ? ?a ? 2 ?a1 ? a1q ? 6 解: (1)设 ?an ? 公比为 q ,由题意 an ? 0, q ? 0 ,由 a1 ? a2 ? 6 , a1a2 ? a3 , ? ,? 1 ,∴ an ? 2n . 2 q ? 2 a ? a q ? a q ? ? ? 1 1 1 (2n ? 1)? 2n (2)设 ?bn ? 首项为 b1 ,公差为 d ,∴ S2n?1 ? (2n ? 1)b1 ? d ? (2n ? 1)? (b1 ? nd ) ? (2n ? 1)bn?1 , 2 b 2n ? 1 又 S2n?1 ? bnbn?1 ,∴ bn ? 2n ? 1 ,∴ n ? , an 2n

3 5 7 2n ? 1 3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ① ∴ 2Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n-1 ② 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n ? 5 ②-①得: Tn ? 3 ? 2( 1 ? 2 ? ? ? n?1 ) ? n ? 3 ? 2(1 ? n?1 ) ? n ? 5 ? . 2 2 2 2 2 2 2n 1 1 (20) 【2017 年山东,文 20,13 分】已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 , a ? R . 3 2 y ? f ( x ) (1)当 a=2 时,求曲线 在点 ? 3, f ?3? ? 处的切线方程;
∴ Tn ?

(2) 设函数 g(x) ? f(x) ? ? x ? a ? cosx ? sinx , 讨论 g( x) 的单调性并判断有无极值, 有极值时求出极值.

1 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x3 ? x 2 ,∴ f '( x) ? x2 ? 2 x ,∴ f (3) ? 0 , k ? f '(3) ? 3 , 3 ∴ 切线方程为: y ? 0 ? 3 ? x ? 3? ,即 y ? 3x ? 9 . 1 1 (2) g ( x) ? x3 ? ax2 ? ( x ? a)cos x ? sin x ,∴ g '( x) ? x2 ? ax ? ( x ? a)sin x ? ( x ? a)( x ? sin x) , 3 2 ? x ? sin x ? 0 ( x ? 0) ? ∵ ? x ? sin x ? 0 ( x ? 0) ,令 g '( x) ? 0 ,得: x ? a 或 x ? 0 . ? x ? sin x ? 0 ( x ? 0) ?
①当 a ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调增,无极值. ②当 a ? 0 时在 ? ??,a ? 上, g '( x) ? 0, g ( x) 单调增;在 ? a,0 ? 上, g '( x) ? 0, g ( x) 单调减;
? ?? 上, g '( x) ? 0, g ( x) 单调增,∴ x ? a 为极大点, g ( x) 有极大值: 在 ? 0, ,

1 g ( x)max ? g (a) ? ? a3 ? sin a , x ? 0 为极小点, g ( x) 有极小值: g ( x)min ? g (0) ? ?a . 6 a ? 0 ③当 时,在 ? ??,0 ? 上, g '( x) ? 0, g ( x) 单调增;在 ? 0, a ? 上, g '( x) ? 0, g ( x) 单调减;
在 ? a, ?? ? 上, g '( x) ? 0, g ( x) 单调增∴ x ? 0 为极大点, g ( x) 有极大值: g ( x)max ? g (0) ? ?a ,
1 x ? a 为极小点, g ( x) 有极小值: g ( x)min ? g (a) ? ? a3 ? sin a . 6 ? ?? 上, 综上所述,当 a ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调增,无极值;当 a ? 0 时,在 ? ??,a ? 和 ? 0, , 1 g ( x) 单调增; 在 ? a,0 ? 上,g ( x) 单调减;g ( x)max ? g (a) ? ? a3 ? sin a ;g ( x)min ? g (0) ? ?a , 当 a ? 0 时, 6 在 ? ??,0 ? 和 ? a, ?? ? 上 , g ( x) 单 调 增 ; 在 ? 0, a ? 上 , g ( x) 单 调 减 ; g ( x)max ? g (0) ? ?a ;

1 g ( x)min ? g (a) ? ? a3 ? sin a . 6
(21) 【2017 年山东, 文 21, 14 分】 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C :
2 ,椭圆 C 截直线 y ? 1 所得线段的长度为 2 2 . 2 (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率为

4

(2) 动直线 l:y ? kx ? m ? m ? 0? 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 交 y 轴于点 M ; 点 N 是 M 关于 O 的对称点,? N 的半径为 NO 。设 D 为 AB 的中点, DE、DF 与 ? N 分别相切于点 E、 F ,求 ?EDF 的最小值. 解: (1)e ?
2 2 1 , 可知:a2 ? 2b2 , 由题意: 椭圆经过点 2,1 , 代入椭圆方程: 2 ? 2 ? 1 , ∴ b2 ? 2, a 2 ? 4 , 2 2b b x2 y 2 ∴ 椭圆方程为: ? ?1. 4 2 (2) M ? 0, m? , N ? 0, ?m ? , ? N 半径 r ? m ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意 k 存在,直线与椭圆联立:

?

?

? y ? kx ? m 4km ? 2 ,消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 ,由韦达定理: x1 ? x2 ? ? , ?x y2 1 ? 2k 2 ?1 ? ? ?4 2

? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(4k 2 ? m2 ? 2) ? 0 ,得: m2 ? 4k 2 ? 2 , 2m 消去 x 得: (1 ? 2k 2 ) y 2 ? 2my ? m2 ? 4k 2 ? 0 ,由韦达定理: y1 ? y2 ? , 1 ? 2k 2 2km m 1 ∴ AB 中点 D 的坐标为 (? , ) .由圆的切线性质,?EDN ? ?EDF ,?EDF 最小即 ?EDN 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 m EN 2km 2 m 1 ? 3k 2 ? k 4 ? 最小.在 Rt?EDN 中, sin ?EDN ? . DN ? (? . ) ?( ? m)2 ? 2m 2 2 DN DN 1 ? 2k 1 ? 2k (1 ? 2k 2 )2

t ?1 t ?1 2 1 ? 3( )?( ) 1 ? 3k 2 ? k 4 1 1 5 1 (1 ? 2k 2 )2 2 2 2 ? ? ? ( ? 2)2 ? . t ? 1 ? 2 k ? 1 ∴ sin ?EDN ? . 令 . ∴ 2 2 2 2 4 (1 ? 2 k ) t 4 t 4 2 1 ? 3k ? k 1 1 1 ? ? sin ?EDN 最小值为 . t ? 1 时有最大值 1. 当 ? 2, 即 t ? 时, 单调增, ∴ ?EDFmin ? . ?EDN min ? . 2 6 3 t 2

5


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