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第十一章第3讲合情推理与演绎推理


第 3 讲 合情推理与演绎推理

,

[学生用书 P208])

1.推理 (1)定义:是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.
? ?合情推理 (2)分类:推理? ?演绎推理 ?

2.合情推理 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些 特征,推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实概括出一般结论的推理 由部分到整体、由个别到一般的 推理 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和 其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征 的推理 由特殊到特殊的推理

定义

特点

3.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演 绎推理. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. (3)模式: ①大前提:已知的一般原理; ? ? 三段论?②小前提:所研究的特殊情况; ? ?③结论:根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

1.辨明两个易误点 (1)演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的 严密性,书写格式的规范性. (2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据. 2.把握合情推理与演绎推理的三个特点 (1)合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不一定正确,其结论的正确性 是需要证明的. (2)在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑;否则只抓住 一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误. (3)应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与 推理形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结 论也是错误的.

1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27 B [解析] 由 5-2=3,11-5=6,20-11=9,则 x-20=12,因此 x=32. 2.推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③三角形不是矩形”中的 小前提是( ) A.① B.② C.③ D.①和② B [解析] 由演绎推理三段论可知,①是大前提,②是小前提,③是结论. 3.教材习题改编 观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个不等式为________________. 1 1 1 [解析] 左边的式子的通项是 1+ 2+ 2+?+ ,右边的分母依次增加 1,分子 2 3 (n+1)2 1 依次增加 2, 还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系, 所以第五个不等式为 1+ 2+ 2 1 1 1 1 11 + + + < . 32 42 52 62 6 1 1 1 1 1 11 [答案] 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 4.教材习题改编 凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E 之间的关系如下表. 凸多面体 三棱柱 长方体 五棱柱 三棱锥 四棱锥 面数(F) 5 6 7 4 5 顶点数(V) 6 8 10 4 5 棱数(E) 9 12 15 6 8

猜想一般结论 F+V-E=________. [解析] 从表中可猜想 F+V-E=2. [答案] 2 5.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地, 在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________.

1 Sh V1 3 1 1 S1 h1 1 1 1 [解析] = = · = × = . V2 1 S2 h2 4 2 8 Sh 3 2 2 [答案] 1∶8

归纳推理(高频考点)[学生用书 P209] 归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题或填空题,属中高档题. 高考对归纳推理的考查主要有以下三个命题角度: (1)数值的归纳; (2)代数式的归纳; (3)图形的归纳. [典例引领] (1)(2016· 高考山东卷)观察下列等式:
-2 -2 ?sin π ? +?sin 2π ? =4×1×2; 3 3? 3 ? ? ? -2 -2 -2 -2 ?sin π ? +?sin 2π ? +?sin 3π ? +?sin 4π ? =4×2×3; 3 5? 5 ? 5 ? 5 ? ? ? ? ? -2 -2 -2 -2 ?sin π ? +?sin 2π ? +?sin 3π ? +?+?sin 6π ? =4×3×4; 3 7? 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ? ? -2 -2 -2 -2 ?sin π ? +?sin 2π ? +?sin 3π ? +?+?sin 8π ? =4×4×5; 3 9? 9 ? 9 ? 9 ? ? ? ? ?

?? 照此规律,

?sin π ? +?sin 2π ? +?sin 3π ? +?+?sin 2nπ ? =__________. ? 2n+1? ? 2n+1? ? 2n+1? ? 2n+1? ? ? ? ? ? ? ? ?
-2 -2 -2 -2

(2)(2016· 高考全国卷甲)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人 各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙 的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是________. (3)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度相等,两两 1 夹角为 120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来 的 3 线段,且这两条线段与原线段两两夹角为 120°,?,依此规律得到 n 级分形图.

n 级分形图中共有________条线段.

4 【解析】 (1)根据已知,归纳可得结果为 n(n+1). 3 (2)由丙所言可能有两种情况.一种是丙持有“1 和 2”,结合乙所言可知乙持有“2 和 3”,从而甲持有“1 和 3”,符合甲所言情况;另一种是丙持有“1 和 3”,结合乙所言可 知乙持有“2 和 3”,从而甲持有“1 和 2”,不符合甲所言情况.故甲持有“1 和 3”. (3)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有 3=(3×2 -3)条线段,二级分形图有 9=(3×22-3)条线段,三级分形图中有 21=(3×23-3)条线段, 按此规律 n 级分形图中的线段条数 an=3×2n-3(n∈N*). 4 【答案】 (1) n(n+1) (2)1 和 3 (3)3×2n-3(n∈N*) 3 常见的归纳推理及求解策略 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项 及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.解决的关键是抓住相邻图形 之间的关系. [题点通关] 角度一 数值的归纳 1.有一个奇数组成的数阵排列如下: 1 3 7 13 21 ? 5 9 15 23 ? ? 11 17 25 ? ? ? 19 27 ? ? ? ? 29 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则第 30 行从左到右第 3 个数是________. [解析] 先求第 30 行的第 1 个数,再求第 30 行的第 3 个数.观察每一行的第一个数, 30×(2+60) 由归纳推理可得第 30 行的第 1 个数是 1+4+6+8+10+?+60= -1=929. 2 又第 n 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 2n,第 3 个数比第 2 个数大 2n+2,所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60, 第 3 个数比第 2 个数大 62, 故第 30 行从左到右第 3 个数是 929+60+62=1 051. [答案] 1 051 角度二 代数式的归纳 2.(2017· 湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式 1 1+2+3+?+n= n(n+1); 2 1 1 1+3+6+?+ n(n+1)= n(n+1)(n+2); 2 6 1 1 1+4+10+?+ n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)· (n+3); 6 24 可以推测,1+5+15+?+ 1 n(n+1)(n+2)(n+3)=________. 24

[解析] 根据式子中的规律可知,等式右侧为 = 1 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4). 120 [答案] 1 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 120

1 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 5×4×3×2×1

角度三 图形的归纳 3.某种树的分枝生长规律如图所示,第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5, 则预计第 10 年树的分枝数为( )

A.21 B.34 C.52 D.55 D [解析] 因为 2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的 和,所以第 10 年树的分枝数为 21+34=55. 类比推理[学生用书 P210] [典例引领] 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a>b).若 EF∥AB,EF 到 ma+nb CD 与 AB 的距离之比为 m∶n,则可推算出:EF= ,用类比的方法,推想出下面问 m+n 题的结果.在上面的梯形 ABCD 中,分别延长梯形的两腰 AD 和 BC 交于 O 点,设△OAB, △ODC 的面积分别为 S1,S2,则△OEF 的面积 S0 与 S1,S2 的关系是( )

mS1+nS2 A.S0= m+n m S1+n S2 C. S0= m+n

nS1+mS2 B.S0= m+n n S1+m S2 D. S0= m+n

【解析】 在平面几何中类比几何性质时, 一般是由平面几何点的性质类比推理线的性 ma+nb 质;由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质.故由 EF= 类比到关于△OEF 的 m+n 面积 S0 与 S1,S2 的关系是 S0= 【答案】 C 解决类比推理问题的方法步骤 (1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为: m S1+n S2 ,故选 C. m+n

①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等, 可以类比到立体几何中,得到类似的结论. [通关练习] 1.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2, S1 1 则 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1,外接球 S2 4 V1 体积为 V2,则 =( V2 1 A. 8 1 C. 64 ) 1 B. 9 D. 1 27

V1 1 D [解析] 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27 2.(2017· 西安模拟)设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半 2S 径为 r,则 r= ;类比这个结论可知四面体 PABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3, a+b+c S4,内切球的半径为 R,四面体 PABC 的体积为 V,则 R 等于( V A. S1+S2+S3+S4 3V C. S1+S2+S3+S4 2V B. S1+S2+S3+S4 4V D. S1+S2+S3+S4 )

C [解析] 设四面体的内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四 面体的体积等于以 O 为顶点,分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和.所以四面体的 1 体积为 V= (S1+S2+S3+S4)R, 3 3V 所以 R= ,故选 C. S1+S2+S3+S4 演绎推理[学生用书 P211] [典例引领] n+2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= S (n∈N*).证明: n n
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

(2)Sn+1=4an. n+ 2 【证明】 (1)因为 an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即 nSn+1=2(n+1)Sn.



Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n n+1
? ?

?Sn? 故? n ?是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知 Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1

Sn-1 所以 Sn+1=4(n+1)· n-1 n-1+2 =4· ·Sn-1 n-1 =4an(n≥2).(大前提) 又因为 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 所以对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) 演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时, 应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数 列的定义在解题中是大前提,由于它是显然的,因此省略不写; (2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成. a 已知函数 f(x)=- x (a>0,且 a≠1). a+ a 1 1 ,- ?对称; (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点? 2? ?2 (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 1 1? [解] (1)证明:函数 f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点? ?2,-2?对称 的点的坐标为(1-x,-1-y). a 由已知 y=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a·ax a a ax f(1-x)=- 1-x =- =- =- x , x a a + a a+ a· a a+ a x+ a a 1 1? 所以-1-y=f(1-x),即函数 y=f(x)的图象关于点? ?2,-2?对称. (2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x), 即 f(x)+f(1-x)=-1. 所以 f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 故 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

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[学生用书 P211])

——例析归纳推理中的创新问题 设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,?. cn+an bn+an 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则( 2 2 A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【解析】 在△A1B1C1 中,b1>c1,b1+c1=2a1, 所以 b1>a1>c1. 在△A2B2C2 中,a2=a1,b2= 所以 c1<b2<a1<c2<b1. 在△A3B3C3 中,a3=a2=a1, c2+a2 c2+a1 b3= = , 2 2 c3= b2+a2 b2+a1 = ,b3+c3=2a1, 2 2 c1+a1 b1+a1 ,c2= ,b2+c2=2a1, 2 2 )

所以 a1<b3<c2,b2<c3<a1, 所以 c1<b2<c3<a1<b3<c2<b1. 由归纳知,n 越大,两边 cn,bn 越靠近 a1 且 cn+bn=2a1,此时面积 Sn 越来越大,当且 仅当 cn=bn=a1 时△AnBnCn 的面积最大. 【答案】 B (1)解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性 (特例的共性或一 般规律); 然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想); 最后对所得的一般性命 题进行检验. (2)本题把归纳推理问题与数列及数列的性质巧妙地结合,体现了新课标下的交汇创新 思想. 解决本题的关键有以下几点: ①由条件 an+1=an,确定三角形的一边为固定值; ②由条件可推出 b1+c1=b2+c2=b3+c3=2a1,进而得出△AnBnCn 的周长为定值; ③利用“若三角形的一边不变及周长不变,则另外两边越接近,面积越大”推得结论. 正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF 1 = .动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入 3 射角.当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( A.8 B.6 C.4 D.3 B [解析] 利用图形进行求解. )

因为反弹时反射角等于入射角, 所以∠1=∠2. 1 1- 3 又因为 tan∠1= =2, 1 3 所以 tan∠2=2. HC 4 1 又 tan∠2= ,所以 HC= ,所以 DG= .从此以后,点 P 的反射线必与 EF 或 FG 平 CF 3 6 行,由图可知,P 与正方形的边碰撞的次数为 6.

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[学生用书 P355(独立成册)])

1 1.(1)已知 a 是三角形一边的长,h 是该边上的高,则三角形的面积是 ah,如果把扇形 2 1 的弧长 l,半径 r 分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为 lr; 2 (2)由 1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到 1+3+5+?+2n-1=n2,则(1)(2)两个 推理过程分别属于( ) A.类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理 C.归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理 A [解析] (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;(2) 由个别到一般,此种推理为归纳推理,故选 A. 2.(2017· 合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2 +1)是奇函数,以上推理( ) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 2 C [解析] 因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 3.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+b10=( ) A.121 B.123 C.231 D.211 2 B [解析] 法一:由 a+b=1,a +b2=3,得 ab=-1,代入后三个等式中符合,则 a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123. 法二:令 an=an+bn,则 a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,?,得 an+2=an+an+1,从而 a6

=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123. 4.给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则 a-c=0?a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈ Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1”. 其中类比结论正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B [解析] 类比结论正确的有①②. 5.(2017· 安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细, 所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与 有限的转化过程,比如在 2+ 2+ 2+?中“?”即代表无限次重复,但原式却是个定 =( 1 1+ 1+? 1 )

值 x,这可以通过方程 2+x=x 确定 x=2,则 1+

- 5-1 A. 2 1+ 5 C. 2 C [ 解析 ] 1 + 1 1 1+ 1+?

B.

5-1 2

1- 5 D. 2 1+ 5 1 = x , 即 1 + = x , 即 x2 - x - 1 = 0 , 解得 x = x 2

1+ 5 1 ? 1- 5 ?,故 1+ = ,故选 C. ?x= 2 舍? 1 2 ? ? 1+ 1+? 6.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3, 1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个“整数对”是( ) A.(7,5) B.(5,7) C.(2,10) D.(10,2) B [解析] 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第 n 组中每个“整 n(n+1) 数对”的和均为 n+1, 且第 n 组共有 n 个“整数对”, 这样的前 n 组一共有 个“整 2 10×(10+1) 11×(11+1) 数对”, 注意到 <60< , 因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每 2 2 个“整数对”的和为 12 的组)的第 5 个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组 中的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个“整数对” 是(5,7). 7. (2017· 枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列, 则第 21 行从左向右的第 5 个数为 ________. 1 3 5 7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 ? ? ? [解析] 前 20 行共有正奇数 1+3+5+?+39=202=400(个),则第 21 行从左向右的第 5 个数是第 405 个正奇数,所以这个数是 2×405-1=809. [答案] 809 8.(2017· 贵州省六校联考)在平面几何中:△ABC 的∠ACB 内角平分线 CE 分 AB 所成 线段的比为 AC AE = .把这个结论类比到空间:在三棱锥 A-BCD 中(如图)DEC 平分二面角 BC BE

A-CD-B 且与 AB 相交于 E,则得到类比的结论是________.

[解析] 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 [答案] AE S△ACD = EB S△BCD

AE S△ACD = . EB S△BCD

9.已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),?, fn+1(x)=f′n(x),n∈N*,则 f2 017(x)=________. [解析] f2(x)=f′1(x)=cos x-sin x,f3(x)=f′2(x)=-sin x-cos x,f4(x)=f′3(x)=-cos x+sin x,f5(x)=f′4(x)=sin x+cos x,f6(x)=f′5(x)=cos x-sin x,?, 可知 fn(x)是以 4 为周期的函数, 因为 2 017=504×4+1, 所以 f2 017(x)=f1(x)=sin x+cos x. [答案] sin x+cos x 10. 某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策, 每辆机动车每周一到周五都要限行 一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有 A,B,C,D,E 五辆车,保证每天至少有四辆 车可以上路行驶.已知 E 车周四限行,B 车昨天限行,从今天算起,A,C 两车连续四天都 能上路行驶,E 车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是________. ①今天是周六 ②今天是周四 ③A 车周三限行 ④C 车周五限行 [解析] 因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E 车明天可以上路,E 车周四限行,所以 今天不是周三;因为 B 车昨天限行,所以今天不是周一,也不是周日;因为 A,C 两车连续 四天都能上路行驶,所以今天不是周五,周二和周六,所以今天是周四. [答案] ② 11.给出下面的数表序列: 表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 ? 12

其中表 n(n=1,2,3,?)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,?,2n-1,从第 2 行

起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. 写出表 4,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 n(n≥3)(不要求证明). [解] 表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 1220 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32,它们构成首项为 4,公比 为 2 的等比数列. 将这一结论推广到表 n(n≥3), 即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成 首项为 n,公比为 2 的等比数列.

12. 观察下列各式: 55=3 125, 56=15 625, 57=78 125, 58=390 625, 59=1 953 125, ?, 2 016 则5 的末四位数字为( ) A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125 5 6 C [解析] 5 =3 125,5 =15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,?,可 + 得 59 与 55 的后四位数字相同,由此可归纳出 5m 4k 与 5m(k∈N*,m=5,6,7,8)的后四位 数字相同,又 2 016=4×502+8,所以 52 016 与 58 的后四位数字相同,为 0 625,故选 C. 13.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角 形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,?,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形 数又是正方形数的是( ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 C [解析] 观察三角形数:1,3,6,10,?,记该数列为{an},则 a1=1, a2=a1+2, a3=a2+3, ? an=an-1+n. 所以 a1+a2+?+an=(a1+a2+?+an-1)+(1+2+3+?+n), 所以 an=1+2+3+?+ n(n+1) n= , 2 观察正方形数:1,4,9,16,?,记该数列为{bn},则 bn=n2.把四个选项的数字,分 别代入上述两个通项公式,可知使得 n 都为正整数的只有 1 225.

14.(2016· 高考北京卷)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和 决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 学生序 号 立定跳 远(单 位: 米) 30 秒 跳绳 (单位: 次)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.96

1.92

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60

63

a

75

60

63

72

70

a-1

b

65

在这 10 名学生中, 进入立定跳远决赛的有 8 人, 同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决 赛的有 6 人,则( ) A.2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B.5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C.8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D.9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B [解析] 由数据可知,进入立定跳远决赛的 8 人为 1~8 号,所以进入 30 秒跳绳决 赛的 6 人从 1~8 号里产生.数据排序后可知 3 号,6 号,7 号必定进入 30 秒跳绳决赛,则 得分为 63,a,60,63,a-1 的 5 人中有 3 人进入 30 秒跳绳决赛.若 1 号,5 号学生未进 入 30 秒跳绳决赛,则 4 号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以 1 号,5 号学生必进入 30 秒跳绳决赛.故选 B. 15.如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字 标签:原点处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处 标 4,点(-1,0)处标 5,点(-1,1)处标 6,点(0,1)处标 7.依此类推,则标签为 2 0172 的 格点的坐标为________.

[解析] 因为点(1,0)处标 1=12,点(2,1)处标 9=32,点(3,2)处标 25=52,点(4,3) 处标 49=72,依此类推得点(1 009,1 008)处标 2 0172. [答案] (1 009,1 008) 16.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. [解] (1)选择②式,计算如下: 1 sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 (2)三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α) =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α· (cos 30°cos α+sin 30°sin α) 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4


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