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高中数学 基本不等式及其应用教案


基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式 a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当 a=b 时取“=”号) 和 a3+b3+c3≥3abc(a、b、c∈R+,当且仅当 a=b=c 时取“=”号)及其推论,并能 应用它们证明一些不等式. (2)通过对定理及其推论的证明与应用, 培养学生运用综合法进行推理的能力. 教学过程

一、引入新课

师:上节课我们学过证明不等式的哪一种方法?它的理论依据是什么? 生:求差比较法,即

师:由于不等式复杂多样,仅有比较法是不够的.我们还需要学习一些有关 不等式的定理及证明不等式的方法. 如果 a、b∈R,那么(a-b)2 属于什么数集?为什么? 生:当 a≠b 时,(a-b)2>0,当 a=b 时,(a-b)2=0,所以(a-b)2≥0.即(a- b)2∈ R+∪{0}. 师:下面我们根据(a-b)2∈R+∪{0}这一性质,来推导一些重要的不等式,同 时学习一些证明不等式的方法.

二、推导公式

1.奠基 师:如果 a、b∈R,那么有 (a-b)2≥0. ① 把①左边展开,得 a2-2ab+b2≥0, ∴a2+b2≥2ab. ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的 2 倍.这就是课本中介绍的定 理 1,它是一个很重要的绝对不等式,对任何两实数 a、b 都成立.由于取“=” 号这种特殊情况,在以后有广泛的应用,因此通常要指出“=”号成立的充要条 件.②式中取等号的充要条件是什么呢?

师:充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的,“仅 当”表示条件是必要的.所以②式可表述为:如果 a、b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当 且仅当 a=b 时取“=”号). 以公式①为基础,运用不等式的性质推导公式②,这种由已知推出未知(或要 求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法.以公式②为基础,用综合法可以推出 更多的不等式.现在让我们共同来探索. 2.探索 师:公式②反映了两个实数平方和的性质,下面我们研究两个以上的实数的 平方和,探索可能得到的结果.先考查三个实数.设 a、b、c∈R,依次对其中的 两个运用公式②,有 a2+b2≥2ab; b2+c2≥2bc;

c2+a2≥2ca. 把以上三式叠加,得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca ③ (当且仅当 a=b=c 时取“=”号). 以此类推:如果 ai∈R,i=1,2,?,n,那么有

④ (当且仅当 a1=a2=?=an 时取“=”号). ④式是②式的一种推广式,②式就是④式中 n=2 时的特殊情况.③和④式不 必当作公式去记,但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题 的数学思想与方法——迭代与叠加. 3.再探索 师:考察两个以上实数的更高次幂的和,又能得到什么有趣的结果呢?先考 查两个实数的立方和.由于 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2), 启示我们把②式变成 a2-ab+b2≥ab, 两边同乘以 a+b,为了得到同向不等式,这里要求 a、b∈R+,得到 a3+b3≥a2b+ab2. ⑤ 考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢?

生:由③式的推导方法,再增加一个正实数 c,对 b、c,c、a 迭代⑤式,得 到 b3+c3≥b2c+bc2, c3+a3≥c2a+ca2. 三式叠加,并应用公式②,得 2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) ≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc. ∴a3+b3+c3≥3abc ⑥ (当且仅当 a=b=c 时取“=”号). 师:这是课本中的不等式定理 2,即三个正实数的立方和不小于它们的积的 3 倍.同学们可能想到 n 个正实数的立方和会有什么结果,进一步还会想到 4 个正 数的 4 次方的和会有什么结果,直至 n 个正数的 n 次方的和会有什么结果.这些 问题留给同学们课外去研究. 4.推论 师:直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式.

⑦ (当且仅当 a=b 时取“=”号). 这就是课本中定理 1 的推论.

⑧ (当且仅当 a=b=c 时取“=”号).这就是课本中定理 2 的推论. 当 ai∈R+(i=1,2,?,n)时,有下面的推广公式(在中学不讲它的证明)

⑨ (当且仅当 a1=a2=?=an 时取“=”号).

何平均数.⑨式表明:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这 是一个著名的平均数不等式定理.现在只要求同学掌握 n=2、3 时的两个公式,即 ⑦和⑧.

三、小结

(1)我们从公式①出发,运用综合法,得到许多不等式公式,其中要求同学熟 练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧.它们之间的关系可图示如下:

(2)上述公式的证法不止综合法一种.比如公式②和⑥,在课本上是用比较法 证明的.又如公式⑦也可以由①推出;用⑦还可以推出⑧;由⑦、⑧也可以推出 ②、⑥.但是不论哪种推导系统,其理论基础都是实数的平方是非负数. 四个公式中,②、⑦是基础,最重要.它们还可以用几何法或三角法证明. 几何法:构造直角三角形 ABC,使∠C=90°,BC=a,AC=b(a、b∈R ),则 2 a +b2=c2 表示以斜边 c 为边的正方形的面积.而
+

如上左图所示,显然有

(当且仅当 a=b 时取“=”号,这时 Rt△ABC 等腰,如上右图).这个图是我 国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”,同学们在初中已经 见过. 三角法:在 Rt△ABC 中,令∠C=90°, AB=c, BC=a,AC=b,则 2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2 =a2+b2 (∵sin2A≤1) (当且仅当 sin2A=1,A=45°,即 a=b 时取“=”号).

三、应用公式练习

1.判断正误:下列问题的解法对吗?为什么?如果不对请予以改正.

a、b∈R .若 tgα 、ctgα ∈R .解法就对了.这时需令 α 是第一、三象限的 角.]

+

+

改条件使 a、b∈R+;②改变证法.a2+ab+b2≥2ab+ab=3ab.] 师:解题时,要根据题目的条件选用公式,特别注意公式中字母应满足的条 件.只有公式①、②对任何实数都成立,公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数(事 实上对非负实数也成立). 2.填空: (1)当 a________时,an+a-n≥________;

(3)当 x________时,lg2x+1≥_________;

(5)tg2α +ctg2α ≥________; (6)sinxcosx≤________;

师:从上述解题中,我们可以看到:(1)对公式中的字母应作广义的理解,可 以代表数, 也可以代表式子. 公式可以顺用, 也可以逆用. 总之要灵活运用公式. (2) 上述题目中右边是常数的,说明左边的式子有最大或最小值.因此,在一定条件 下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值.(3)重要不等式还可以用于数 值估计.如

表明任何自然数的算术平方根不大于该数加 1 之半.


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