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第一讲 不等式和绝对值不等式(1)


选修4-5

不等式选讲

本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式

不 等 式 选 讲

第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式

第一讲
A ? ? a

不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
B ? ? b B ? ? b A ? ? a

b>a

a>b

a>b? a-b>0

基本不等式

a<b? a-b<0 b=a ? b-a =0

注:是比较两个数大小的依据

例1:比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
解:因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)

=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0, 所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)

比较法的基本步骤: 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).

一: 不等式的性质
a a ? b, b ? c ? ①、对称性: ? b ? b ? a 传递性:_________ a ? c

②、a ? b, c ? R ,a+c>b+c (可加性)

③、a>b,c ? 0 , 那么ac>bc; (可乘性)
a>b,c
?0

,那么ac<bc

(乘法法则)

④、a>b>0,c ? d ? 0 那么,ac>bd ⑤、a>b>0,那么an>bn.(条件n ? N , n ? 2 ) (乘方性) ⑥、 a>b>0 那么
n

a ?

n

b (条件n ? N , n ? 2 )

(开方性)

例2

已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , 求证

a d

?

b c

证明 :? c ? d ? 0 ,? cd ? 0 , c ? d ? 0 ,
? 1 d ? 1 c
1 c

1 cd a
c

? 0 ,?
? 0,
b c ? 0,

1 d

?

1 c

?

c?d cd

? 0

? 0 , 又 a ? 0 ,?

a d

?
a c

① ②

又 ? a ? b ? 0,

? 0 ,?

?

由①②可得

a d

?

b c

? 0 ,?

a d

?

b c

课堂练习: 1.判断下列命题是否正确: (1) a ? b , c ? b ? a ? c (× ) (3) a ? b ? ac 2 ? bc 2 ( ) × (5) (7) (9)
a c
2

(2) a ? ? b ? c ? a ? c ? b ( ) √ (4) a ? b , c ? d ? ac ? bd (× ) (6) a 2
? b
2

?

b c
2

? a ? b
2

(√) ( ) ×
a c ? b d

? a ? b
2 2

(×) ( ) √

a ?b? a

?b

2

(8) a ? b ? a ? b (× )
? 2 x ) ? (1 ? x )
3 2 3

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ?

2.设 A=1+2x4 ,B=2x3 +x2,x∈R 且 x≠1,比较 A,B 的大小.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3 +x2 )= ( 2 x 4 = 2 x 3 ( x ? 1) ? (1 ?
x )(1 ? x ) = ( x ? 1)( 2 x ? x ? 1)
1 2 1? 2 ? ? 2 x ? 1) = ( x ? 1) ? 2 ( x ? ) ? ? ? 0 2 2? ?

= ( x ? 1)( x ? 1)( 2 x 2 ∴A>B

3.若a、b、x、y∈R,则
成立的(C ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件

?x ? y ? a ? b ?x ? a 是? ? ? ( x ? a )( y ? b ) ? 0 ?y ? b

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
a c?a b c?b

4.对于实数a、b、c,判断下列命题的真假:

(1)若c>a>b>0,则
(2)若a>b,
1 a ? 1 b

?

(真命题)

,则a>0,b<0。(真命题)

5.已知f(x)=ax2+c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]

二: 基本不等式
定 理 1: 如 果 a, b∈ R, 那 么 a + b ≥ 2ab, 当 且 仅 当 a = b时 等 号 成 立 。
2 2

几何解释
b

a b a b

三: 基本不等式
定 理 2: ( 基 本 不 等 式 ) 如 果 a, b ? 0, 那 么 a+b 2 ≥ a b,

算术平均数 几何解释
A

当 且 仅 当 a = b时 等 号 成 立 。 C 几何平均数
ab

a

O

D b B

两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

定理:设 x , y , z 都是正数,则有 ⑴若 xy ? S (定值) ,则当 x ? y 时, x ? y 有最小值 2 ⑵若 x ? y ? p (定值) ,则当 x ? y 时, xy 有最大值
注:一正、二定、三等。
p 4
2

s.
.

例 3求证:

(1)在所有周长相同的矩形中,正 方形的面 积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周 长最短.

例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造
型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积 为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座 花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中 阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空 角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元. (1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系 H G 式; (2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.

解:设AM=y米
从 而 4xy + x = 200 ? y =
2
2

Q

P

200 - x 4x

2

D
A
2

C
B M N

于 是 S = 4 2 0 0 x + 2 1 0× 4 x y + 8 0× 2 y

0 < x < 10 2
E F

例 2.⑴已知 0 ⑵求函数 y
?

? x ?
2

3 2

,求函数 y

?

x (3 ? 2 x )

的最大值.

2x

x?3

( x ? 3)

的最小值.
? x ? 3 2

解⑴(重要不等式法)∵ 0 ∴
x (3 ? 2 x )
?

,∴ x ? 0 且 3 ? 2 x ? 0 ,
1 2 ? 2x ? 3 ? 2x 2

=
3 4

1 2

?

2 x (3 ? 2 x )



=

3 4

2

当且仅当 x ∴函数 y
?

时取等号. 的最大值为
3 4 2

x (3 ? 2 x )

,当且仅当 x

?

3 4

取得.

例 2.⑴已知 0 ⑵求函数 y
?

? x ?
2

3 2

,求函数 y

?

x (3 ? 2 x )

的最大值.

2x

x?3

( x ? 3)

的最小值.

解: ⑵∵ x ∴y
? 2x
2

? 3 ,∴ x ? 3 ? 0
? 2( x ? 9) ? 18
2

x?3

x?3
18 x?3 ? ? 12 18 x?3

? 2x ? 6 ?

18 x?3

= 2 ( x ? 3) ?

≥24 即x
?6

当且仅当 2 ( x ? 3 ) ∴函数 y
? 2x
2

时取等号.
?6

x?3

( x ? 3)

的最小值为 24,且当 x

时取得.

3、若X>-1,则x为何值时 x
有最小值,最小值为几? 解:∵ x ? ? 1
∴x ?

?

1 x ? 1



x ?1 ? 0
1 x ?1
1 x ?1

1 x ?1

? 0
1 x ?1
1 x ?1

1 x ?1

=

x ?1?

?1? 2

( x ? 1) ?

?1 ? 2 ?1 ? 1

当且仅当 x ? 1 ?

即 x ?0 时 x?

有最小值1

4、 求 函 数 y ? x ?

1 x
1 x

的值域.
x?
?

解:

(1 )当 x ? 0 时 , x ?

? 2

1 x

? 2

( 2 )当 x ? 0 时 , ? x , ?
? x? 1 x ? 2

1 x

? R ,
1 x ) ? 2

(? x) ? (?

? x?

1 x

? ? 2 ? y ? ( ?? , ? 2 ] ? [ 2 , ?? ).

作业
1、 求 函 数 y = 1 x-3
2

? x的 最 小 值 ( x ? 3);

2、 求 函 数 y =
3、 求 证 4 a?3

x ?8 x ?1

的值域.

? a ? 7 ( 其 中 a ? 3)

三:三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
定 理 3 : 如 果 a 、 b 、 c ∈ R +, 那 么 a+b+c 3 ≥
3

a b c,

当 且 仅 当 a = b = c时 , 等 号 成 立 。

推 广 : 对 于 n 个 a 1 ,a 2 ,a 3 ,? a n, 正 数 它 们 的 算 术 平均数不小于它们的几何平均数, 即 a1 + a 2 + a3 + ? + a n , n ≥
n

a 1 ? 2 ?a 3 ,? a n ?a

当 且 仅 当 a 1 = a 2 = a 3 = ? = a n 时 ,等 号 成 立

定 理 : 设 x ,y , z 都 是 正 数 , 则 有 1) 若 xyz = s( 定 值 ) , 则 当 x = y = z 时 ,x + y + z 有 最 小 值 3 s .
3

2) 若 x + y + z = p( 定 值 ) , 则 当 x = y = z 时 ,x y z 有 最 大 值 p
3

27

.

注:一正、二定、三等。

例1: 如图,把一块边长是a的正方形 铁 片的各角切 去大小相同的小正方形, 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子,问切去的正方形边长是多 小时?才能使盒子的容积最大?
x
解:依题意有 v = ( a - 2 x ) ?x (0< x < a 2 )
2

a

例 1 求 函 数 y ? x (1 ? 5 x )( 0 ? x ?
2

1 5

)的 最 值 。

下面的解法对吗? 5 5 2 2 2 解:y ? x ( ? 2 x) ? x ?x ( ? 2 x ), 12 1 1 5 2 4 x ? x ? 1 ? 5x 3 5 ? y ? ? x?x (1 ? 5 x) ? ( 4 ) ? , 2 4 1 4 3 108 ? 0 ? x ? ,? ? 2 x ? 0 , 51 5 ? ymax ? . 2 108 x ? x ? ( ? 2 x) 5 4 3 5 ? y ? [ ] ? . 2 3 675
当且仅当x ? x ? 2 5 ? 2 x, 即 x ? 2 15 时 , y max ? 4 675 .

例2:

当 0 ? x ? 1时 , 求 函 数 y ? x (1 ? x )的 最 大 值 .
2

解:

? 0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 0 ,
y ? x (1 ? x ) ? 4 ?
2

x 2

?

x 2

(1 ? x )

x ? 4( 2

?

x 2

?1? x ) ?
3

构造三 个数相 加等于 定值.

4 27

3

?当

x 2

? 1 ? x, x ?

2 3

时 , y max ?

4 27

.

练习:
1、 函 数 y ? 4 x ?
2
4

16 ( x ? 1)
2
2

2

的 最 小 值 是 _ _ _8 _ _ _
2 )的 最 大 值 是
32

2 、 函 数 y ? x ( 2 ? x )( 0 ? x ?

( D) A、0 B、1
3、若 x , y ? R , xy
? 2

C、 27 B、3 3 4

16

D、27 B

? 4 则 x ? 2 y 的最小值 是

A、4 C、6

D、非上述答案

课 本 P 10 第15 题 2

已 知 a>0, b>0, 且 h=min{a,

b a ?b
2 2

},

求证: ? h

.

2 2 2 证明: a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2ab, ?

?

a ?b
2

2

? 2,

ab a ?b
2 2

?

1

ab

, 即a ? 2 ? , 2 2 a ?b 2 } ? a, }? b a ?b
2 2

b

1

由于 0<h=min{a,

b a ?b
2 2

0<h=min{a, b

b a ?b
2 2

,

? h ? a? 2 ? , 从而h ? . 2 a ?b 2 2
2

1

2


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