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黑龙江省哈尔滨市第三中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


哈尔滨三中 2015-2016 学年高一上学期期中考试 数学 考试说明:(1)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分, 满分150 分,考试时间为120 分钟. (2)第I 卷,第II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡. 第I 卷(选择题, 共60 分) 一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,5},则 A

B=

2. 函数

的定义域是

3.已知函数 f (x)满足

,则

4.已知

,则下列关系式中正确的是

5. 函数

的单调递增区间为

6. 设集合

,则a的取值范围是

7.若函数 围是

的图像恒在x轴上方,则a的取值范

8.下列函数是偶函数且值域为

的是

A.①②

B.②③ C.①④

.③④

9. 如图所示的韦恩图中,A ,B 是非空集合,定义集合A ⊙ B为阴影部分表示的集合.若 , ,则 A⊙B=

10.二次函数

与指数函数

的图象可以是

11. 已知函数 f (x)是定义在R上的偶函数,且在 则不等式 解集为

上单调递增,若



12.设 f (x)是定义在

的函数,对任意正实数x, ,则使得 的最小实数x为

,且

A.172

B. 415

C. 557

D. 89

第Ⅱ卷(非选择题, 共90 分) 二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分.将答案填在答题卡相应的位置 上)

13. 化简:

的结果是



14.已知函数 f (x)为R上的奇函数,且x ≥ 0时,

,则当x < 0时,

f (x)=____.
15.若函数? 取值范围是 16.下列四个说法: (1) y =x +1与 是相同的函数; . 是 上的减函数,则实数a的

(2)若函数 f (x)的定义域为[-1, 1-,则 f (x +1)的定义域为[0,2]; (3)函数 f (x)在[0,+ ? )时是增函数,在(- ? ,0)时也是增函数,所以 f (x)是 (- ? ,+ ? )上的增函数; (4)函数 其中正确的说法是 在区间[3,+ ? )上单调递减. (填序号).

三、解答题(本大题共6 小题,共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知集合

(Ⅰ)求 A ? C ; (Ⅱ)求

.

18.(12 分)用单调性定义证明函数

在区间

上是减函数.

19.(12 分)已知函数

,求

(Ⅰ)

的值;

(Ⅱ)若 f (a) > 2,则a的取值范围.

20.(12 分)要建造一个容量为1200m ,深为6m 的长方体无盖蓄水池,池壁的造 价为95元/m ,池底的造价为135元/m ,求当水池的长在什么范围时,才能 使水池的总造价不超过61200 元(规定长大于等于宽).
2 2

3

21.(12分)设 (Ⅰ)将

是方程x2 -2mx + 4m2 - 4m+1=0的两个不等实根, 表示为m的函数g(m),并求其定义域;

(Ⅱ)设

,求 f (m)的值域.

22.(12 分)已知函数

,定义域为R ;函数

,定

义域为[-1,1]. (Ⅰ)判断函数 f (x)的单调性(不必证明)并证明其奇偶性; (Ⅱ)若方程g(x) = t有解,求实数t的取值范围; (Ⅲ) 若不等式 求m 的取值范围. 对一切 恒成立,

哈三中 2015—2016 学年度上学期 高一数学 答案 一、选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 C 9 D 10 D 11 A 12 B

二、填空题

13.

4a

14.

? x2 ? x

15.

?? 2,0?
?2 ? ? ?

16.

(4)

17. A ? C ? ?? ?,?2? ? ?0,??? , ?CR A? ? B ? ? ,1? 3 18.在 ?1,??? 内任取 x1 , x2 且 x1 ? x2 , f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

x2 ? x1 , ?x1 ? 1??x2 ? 1?

?1 ? x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0, x1 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0 ,? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,

? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,证得 f ?x ? 在 ?1,??? 上为单调递减函数
19.(I) f ?

?1? 1 ? ? ? 5 , f ? f ??1?? ? f ?? 3 ? 5? ? f ?2? ? ?2 ? 2 ? 8 ? 4 ?? ? ?

(II)由已知可得不等式等价于 ?

? a?0 ?0 ? a ? 1 ? a ? 1 或? 或? ?3a ? 5 ? 2 ?a ? 5 ? 2 ?? 2a ? 8 ? 2

即 ? 1 ? a ? 0 或 0 ? a ? 1 或 1 ? a ? 3 ,即 ? 1 ? a ? 3 20.设池底的长为 x 米,泳池的造价为 y 元 由题意可得 y ? 135? (1200? 6) ? 95? ??2 x ? 2 ?1200? 6 ? x ?? 6? , x ? 10 20 又由 y ? 61200可得 x ? 30 ?

答:水池长在 10,10 20 米范围内,满足题意

?

?

200 ? 0 ,解得 10 ? x ? 20 , x

2 2 21.(I)对于 x ? 2mx? 4m ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? 0 得 m ? ? ,1?

?1 ? ?3 ?

?1 ? 2 2 g ?m? ? x12 ? x2 ? ?x1 ? x2 ? ? 2x1x2 ? ?4m2 ? 8m ? 2 ,其定义域为 ? ,1? ?3 ?
(II) f ?m ? ?

m2 1 ? 2 ? 4m ? 8m ? 3 ? 4 ? 8 ? 3 m m2

1 ? ?4 ? ? ? - ?,? ? ? ? ,?? ? 1 1 令 t ? ? ?1,3? 则 f ?m ? ? 则 f ?m ? 的值域为 ? 7 ? ?3 ? m ? 3t 2 ? 8t ? 4

22.(I) f ?x ? 在 R 上单调递增 因为 f ?? x? ? 2
?x

? 2x ? ? f ?x? 所以 f ?x ? 为奇函数

(II)可知 t 的范围与 g ?x ? 的值域相同

2 ?1 ? 1? g?x? ? 2 ? 2x ? 2x 令 t ? 2 x ? ? ,2? ,则 g ?x ? ? ?t 2 ? 2t 的值域为 ?0, ?2 ?

? ?

(III)由 f ?g ?x?? ? f 3am ? m2 ?1 ? 0 得 f ?g ?x?? ? ? f 3am ? m2 ?1

?

?

?

?

由 (I) 得 f ?g ?x?? ? f ? 3am ? m2 ? 1 ,g ?x ? ? ?3am ? m2 ? 1 对一切 x ? ?? 1,1?,a ? ?? 2,2? 恒成立,则 ?g ?x??ma x ? ? 3am ? m ? 1 mi n ,设 h?a ? ? ?3am ? m2 ? 1 ,则 h?a ? ? 1 对一切
2

?

?

?

?

a ? ?? 2,2? 恒成立
若 m ? 0 则恒成立 若m ? 0 则?

?h?2? ? 1 得 m ? ?? ?,?6?? ?6,??? ?h?? 2? ? 1

综上所述 m ? ?? ?,?6?? ?6,??? ? ?0?



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