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最全面的三角形面积公式


最全面的三角形面积公式 河北邯郸
一提到三角形面积公式,大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为 a , 高为 h ,则

贾敬堂

A

三角形面积 S= 底 × 高 ÷ 2 =

ah 2

B

D

C

实际上,三角形面积公式太多啦,上面得公式是最基本的公式,根据条件不同,三角形面积 公式也不同。

A r r
②已知三角形的周长为 l ,内切圆半径为 r ,则三角形面积 S =

r C

lr B 2

③已知三角形的三边长的乘积为 L ,外接圆半径为 R ,则三角形面积 S =

L 4R

A O R C
r 1 r 2 r 2 r r 2 | a | |b | ?(a gb) 。 2

B

④已知三角形 AOB 中,向量 OA = a , OB = b ,则三角形面积 S = 此公式也适用于空间三角形求面积。

uur

r

uuu r

⑤已知在平面直角坐标系中,三角形 ABC 的三顶点坐标分别为, A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

C( x3 , y3 ) ,

x1 1 则三角形面积 S = x2 2 x3

y1 1 y2 1 的绝对值 = y3 1

1 x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 ? x1 y3 ? x2 y1 ? x3 y2 。 2

1 x1 y2 ? x2 y1 。 2 1 ⑥海伦(Heran)公式,已知△ ABC 中, AB = c, BC = a, CA = b, p = ( a + b + c ) ,则 2
特别地,当 C (0, 0) ,或经过平移后 C (0, 0) ,此时,三角形面积 S = 三角形面积 S =

p( p ? a )( p ? b)( p ? c) 。

我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式,即秦九韶公式,也叫三斜求积公式。

1 ? 2 2 ? c2 + a 2 ? b2 ? S= ?c a ? ? ? 4? 2 ? ? ?

2

? ? ? ?

⑦已知三角形两边及夹角,则三角形面积公式为

S=

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2

⑧已知三角形两角及夹边,则三角形面积公式为

S=

c 2 sin A sin B b 2 sin A sin C a 2 sin B sin C = = 2sin( A + B) 2sin( A + C ) 2sin( B + C )

⑨已知三角形两角 A、B 及其中一边的对边 a ,则三角形面积公式为

S=

a 2 sin( A + B) sin B 2sin A B( x2 , y2 , z2 ), C ( x3 , y3 , z3 ) 。
r j

⑩已知空间三角形 ABC 的顶点 A( x1 , y1 , z1 ),

r k r 1 uuu uuur 1 则三角形面积 S = AB × AC = x2 ? x1 y2 ? y1 z2 ? z1 的绝对值 2 2 x3 ? x1 y3 ? y1 z3 ? z1

r i


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