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高中数学必修二(人教版)点、直线、平面之间的位置关系证明题精选


高中数学必修二(人教版)点、直线、平面之间的位置关系证明题精选

一.解答题(共 20 小题,满分 120 分,每小题 6 分) 1. (6 分)如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,∠ADE=90° ,AF∥DE,DE=DA=2AF=2. (1)求证:AC∥平面 BEF; (2)求四面体 BDEF 的体积.

2. (6 分) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, ∠ABC=∠ACD=90° , ∠BAC=∠CAD=60° , PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点, PA=2AB=2. (1)求证:PC⊥AE; (2)求证:CE∥平面 PAB; (3)求三棱锥 P﹣ACE 的体积 V.

3. (6 分)如图,在棱长均为 4 的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点. (1)求证:A1D1∥平面 AB1D; (2)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∠B1BC=60° ,求三棱锥 B1﹣ABC 的体积.

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4. (6 分)如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB.点 E 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD; (Ⅱ)已知平面 PCD⊥底面 ABCD,且 PC=DC.在棱 PD 上是否存在点 F,使 CF⊥PA?请说明理由.

5. (6 分)如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,SA⊥平面 ABCD,M,N 分别为 SA,CD 的中点. (I)证明:直线 MN∥平面 SBC; (Ⅱ)证明:平面 SBD⊥平面 SAC.

6. (6 分)如图,O 是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面 PAB 为等腰直角三角形,C 为底面圆周上一点. (Ⅰ)若弧 BC 的中点为 D.求证:AC∥平面 POD; (Ⅱ)如果△PAB 面积是 9,求此圆锥的表面积.

7. (6 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=3,F 是棱 PA 上的一个动点, E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求证:平面 BDF⊥平面 PCF; (Ⅱ)若 AF=1,求证:CE∥平面 BDF.

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8. (6 分)已知,如图,P 是平面 ABC 外一点,PA 不垂直于平面 ABC,E,F 分别是线段 AC,PC 的中点,D 是线段 AB 上一点,AB=AC,PB=PC,DE⊥EF. (1)求证:PA⊥BC; (2)求证:BC∥平面 DEF.

9. (6 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠DAB=60° ,EF∥AC,EF= (Ⅰ)求证:FC∥平面 BDE; (Ⅱ)若 EA=ED,求证:AD⊥BE.



10. (6 分)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是正方形,AA1=2,AB=1,E 是 DD1 上的一点. (1)求异面直线 AC 与 B1D 所成的角; (2)若 B1D⊥平面 ACE,求三棱锥 A﹣CDE 的体积.

11. (6 分)如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面四边形 ABCD 为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=
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,E,F 分别

是 BC,A1C 的中点. (1)求异面直线 EF,AD 所成角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上, =λ.若 CM∥平面 AEF,求实数 λ 的值.

12. (6 分)如图,六面体 ABCDE 中,面 DBC⊥面 ABC,AE⊥面 ABC. (1)求证:AE∥面 DBC; (2)若 AB⊥BC,BD⊥CD,求证:AD⊥DC.

13. (6 分)如图:在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60° ,PA⊥平面 ABCD,点 M,N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA=AB=2. (Ⅰ)证明:BC⊥平面 AMN; (Ⅱ)求三棱锥 N﹣AMC 的体积; (Ⅲ)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE;若存在,求出 PE 的长;若不存在,说明理由.

14. (6 分)在空间四边形 ABCD 中,H,G 分别是 AD,CD 的中点,E,F 分别边 AB,BC 上的点,且 证:
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=

= .求

①点 E,F,G,H 四点共面; ②直线 EH,BD,FG 相交于一点.

15. (6 分)如图长方体 ABCD﹣A'B'C'D'中,AB=BC=1,AA'=2,E、F 分别是 BB′、A'B'的中点. (1)求证:E、F、C、D'四点共面; (2)求异面直线 AC、C'E 夹角的余弦值.

16. (6 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求异面直线 BC1 和 A1D 所成角的大小.

AB.

17. (6 分)如图,侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥AC,且 AC=AA1. (1)求证:AB⊥A1C; (2)求异面直线 A1C 与 BB1 所成角的大小.
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18. (6 分) (文科)设 A 在平面 BCD 内的射影是直角三角形 BCD 的斜边 BD 的中点 O, AC=BC=1,CD= ,

求(1)AC 与平面 BCD 所成角的大小; (2)异面直线 AB 和 CD 的大小.

19. (6 分)三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4, 中点,点 F、G 分别在线段 AB、BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:BC∥平面 PDA; (2)求二面角 P﹣AD﹣C 的大小; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.

,BC=3.点 E 是 CD 边的

20. (6 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行四边形. (1)求证:MN∥平面 PAD. (2)若 PA=AD=2a,MN 与 PA 所成的角为 30° .求 MN 的长.

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高中数学必修二(人教版)点、直线、平面之间的位置关系证明题精选 参考答案与试题解析

一.解答题(共 20 小题,满分 120 分,每小题 6 分) 1. (6 分) (2017?雅安模拟)如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,∠ADE=90° ,AF∥DE, DE=DA=2AF=2. (1)求证:AC∥平面 BEF; (2)求四面体 BDEF 的体积.

【考点】LS:直线与平面平行的判定;L@:组合几何体的面积、体积问题;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网 版权所有 【专题】15 :综合题. 【分析】 (1)设正方形 ABCD 的中心为 O,取 BE 中点 G,连接 FG,OG,由中位线定理,我们易得四边形 AFGO 是 平行四边形,即 FG∥OA,由直线与平面平行的判定定理即可得到 AC∥平面 BEF; (2)由已知中正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,∠ADE=90° ,我们可以得到 AB⊥平面 ADEF,结合 DE=DA=2AF=2.分别计算棱锥的底面面积和高,代入棱锥体积公式即可求出四面体 BDEF 的体积. 【解答】证明: (1)设 AC∩BD=O,取 BE 中点 G,连接 FG,OG, 所以,OG∥DE,且 OG= DE. 因为 AF∥DE,DE=2AF, 所以 AF∥OG,且 OG=AF, 从而四边形 AFGO 是平行四边形,FG∥OA. 因为 FG? 平面 BEF,AO?平面 BEF, 所以 AO∥平面 BEF,即 AC∥平面 BEF.…(6 分) 解: (2)因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD, 所以 AB⊥平面 ADEF.因为 AF∥DE,∠ADE=90° ,DE=DA=2AF=2 所以△DEF 的面积为 S△DEF= ×ED×AD=2,
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所以四面体 BDEF 的体积 V= ?S△DEF×AB= (12 分)

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及棱锥的体积, (1)的关键是证明出 FG∥OA, (2)的关键是 得到 AB⊥平面 ADEF,即四面体 BDEF 的高为 AB.

2. (6 分) (2017?广西一模)在四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求证:PC⊥AE; (2)求证:CE∥平面 PAB; (3)求三棱锥 P﹣ACE 的体积 V.

【考点】LS:直线与平面平行的判定;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 【专题】31 :数形结合. 【分析】 (1)取 PC 中点 F,利用等腰三角形的性质可得 PC⊥AF,先证明 CD⊥平面 PAC,可得 CD⊥PC,从而 EF⊥ PC,故有 PC⊥平面 AEF,进而证得 PC⊥AE. (2)取 AD 中点 M,利用三角形的中位线证明 EM∥平面 PAB,利用同位角相等证明 MC∥AB,得到平面 EMC∥平 面 PAB,证得 EC∥平面 PAB. (3) 由 (1) 知 AC=2, EF= CD, 且 EF⊥平面 PAC, 求得 EF 的值, 代入 V= 【解答】解: (1)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60° , ∴BC= ,AC=2.取 PC 中点 F,连 AF,EF,
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进行运算.

∵PA=AC=2,∴PC⊥AF.

∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴PA⊥CD,又∠ACD=90° ,即 CD⊥AC, ∴CD⊥平面 PAC,∴CD⊥PC, ∴EF⊥PC,∴PC⊥平面 AEF,∴PC⊥AE. (2)证明:取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA.∵EM?平面 PAB,PA? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB.∵MC?平面 PAB,AB? 平面 PAB,∴MC∥平面 PAB. ∵EM∩MC=M,∴平面 EMC∥平面 PAB.∵EC? 平面 EMC,∴EC∥平面 PAB. (3)由(1)知 AC=2,EF= CD,且 EF⊥平面 PAC.在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60° , ∴CD=2 则 V= ,得 EF= . .

【点评】本题考查证明线面平行、线线垂直的方法,取 PC 中点 F,AD 中点 M,利用三角形的中位线的性质是解题 的关键.

3. (6 分) (2017?汉中二模)如图,在棱长均为 4 的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点. (1)求证:A1D1∥平面 AB1D; (2)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∠B1BC=60° ,求三棱锥 B1﹣ABC 的体积.

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【考点】LS:直线与平面平行的判定;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 【专题】11 :计算题;14 :证明题. 【分析】 (1)欲证 A1D1∥平面 AB1D,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 A1D1 与平面 AB1D 内一直线平行, 连接 DD1,根据中位线定理可知 B1D1∥BD,且 B1D1=BD,则四边形 B1BDD1 为平行四边形,同理可证四边形 AA1D1D 为平行四边形,则 A1D1∥AD 又 A1D1?平面 AB1D,AD? 平面 AB1D,满足定理所需条件; (2)根据面面垂直的性质定理可知 AD⊥平面 B1C1CB,即 AD 是三棱锥 A﹣B1BC 的高,求出三棱锥 A﹣B1BC 的体积, 从而求出三棱锥 B1﹣ABC 的体积. 【解答】解: (1)证明:连接 DD1,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∵D、D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点. ∴B1D1∥BD,且 B1D1=BD ∴四边形 B1BDD1 为平行四边形 ∴BB1∥DD1,且 BB1=DD1 又因 AA1∥BB1,AA1=BB1 所以 AA1∥DD1,AA1=DD1 所以四边形 AA1D1D 为平行四边形,所以 A1D1∥AD 又 A1D1?平面 AB1D,AD? 平面 AB1D 故 A1D1∥平面 AB1D; (2)在△ABC 中,棱长均为 4,则 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC 因为平面 ABC⊥平面 B1C1CB,交线为 BC,AD? 平面 ABC 所以 AD⊥平面 B1C1CB,即 AD 是三棱锥 A﹣B1BC 的高 在△ABC 中,AB=AC=BC=4 得 AD=2 在△B1BC 中,B1B=BC=4,∠B1BC=60° 所以△B1BC 的面积为 4 ∴三棱锥 B1﹣ABC 的体积即为三棱锥 A﹣B1BC 的体积 V= × × =8

【点评】本题主要考查了线面平行的判定,以及三棱锥的体积的计算,同时考查了推理论证的能力、计算能力,转
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化与划归的思想,属于中档题.

4. (6 分) (2017?漳州模拟)如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB.点 E 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD; (Ⅱ)已知平面 PCD⊥底面 ABCD,且 PC=DC.在棱 PD 上是否存在点 F,使 CF⊥PA?请说明理由.

【考点】LS:直线与平面平行的判定;LY:平面与平面垂直的判定.菁优网版权所有 【专题】15 :综合题;35 :转化思想;4G :演绎法;5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (1)根据线面平行的判定定理即可证明:BE∥平面 PAD; (2)棱 PD 上存在点 F 为 PD 的中点,使 CF⊥PA,利用三垂线定理可得结论. 【解答】 (1)证明:取 PD 中点 Q,连结 AQ、EQ.…(1 分) ∵E 为 PC 的中点, ∴EQ∥CD 且 EQ= CD.…(2 分) 又∵AB∥CD 且 AB= CD, ∴EQ∥AB 且 EQ=AB.…(3 分) ∴四边形 ABED 是平行四边形, ∴BE∥AQ.…(4 分) 又∵BE?平面 PAD,AQ? 平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD.…(5 分) (2)解:棱 PD 上存在点 F 为 PD 的中点,使 CF⊥PA, ∵平面 PCD⊥底面 ABCD,平面 PCD∩底面 ABCD=CD,AD⊥CD, ∴AD⊥平面 PCD, ∴DP 是 PA 在平面 PCD 中的射影, ∴PC=DC,PF=DF, ∴CF⊥DP,
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∴CF⊥PA.

【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断,要求熟练掌握相应的判定定理.考查学生的推理能力.

5. (6 分) (2017?乐山一模)如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,SA⊥平面 ABCD,M,N 分别为 SA, CD 的中点. (I)证明:直线 MN∥平面 SBC; (Ⅱ)证明:平面 SBD⊥平面 SAC.

【考点】LS:直线与平面平行的判定;LW:直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有 【专题】5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)取 SB 中点 E,连接 ME、CE,由三角形中位线定理、菱形性质得四边形 MECN 是平行四边形,由此能 证明直线 MN∥平面 SBC. (Ⅱ)连接 AC、BD,交于点 O,由线面垂直得 SA⊥BD,由菱形性质得 AC⊥BD,由此能证明平面 SBD⊥平面 SAC. 【解答】 (Ⅰ)证明:如图,取 SB 中点 E,连接 ME、CE, 因为 M 为 SA 的中点,所以 ME∥AB,且 ME= 因为 N 为菱形 ABCD 边 CD 的中点, 所以 CN∥AB,且 CN= 所以 ME∥CN,ME=CN, 所以四边形 MECN 是平行四边形, 所以 MN∥EC,…(5 分)
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,…(2 分)

,…(3 分)

又因为 EC? 平面 SBC,MN?平面 SBC, 所以直线 MN∥平面 SBC.…(6 分) (Ⅱ)证明:如图,连接 AC、BD,交于点 O, 因为 SA⊥底面 ABCD,所以 SA⊥BD.…(7 分) 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD.…(8 分) 又 SA∩AC=A,所以 BD⊥平面 SAC.…(10 分) 又 BD? 平面 SBD,所以平面 SBD⊥平面 SAC.…(12 分)

【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养.

6. (6 分) (2017?新罗区校级模拟)如图,O 是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面 PAB 为等腰直角三角形,C 为底 面圆周上一点. (Ⅰ)若弧 BC 的中点为 D.求证:AC∥平面 POD; (Ⅱ)如果△PAB 面积是 9,求此圆锥的表面积.

【考点】LS:直线与平面平行的判定;LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.菁优网版权所有 【专题】15 :综合题;35 :转化思想;44 :数形结合法;5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)证法 1:设 BC∩OD=E,由已知可证 AC∥OE,线线平行即可证明线面平行 AC∥平面 POD;证法 2: 由 AB 是底面圆的直径,可证 AC⊥BC,利用 OD⊥BC,可证 AC∥OD,即可判定 AC∥平面 POD. (Ⅱ)设圆锥底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,由圆锥的轴截面 PAB 为等腰直角三角形,可求 利用三角形面积公式可求 r,进而可求此圆锥的表面积. 【解答】解: (Ⅰ)证法 1:设 BC∩OD=E,∵D 是弧 BC 的中点,
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∴E 是 BC 的中点, 又∵O 是 AB 的中点,∴AC∥OE, 又∵AC?平面 POD,OE? 平面 POD, ∴AC∥平面 POD. 证法 2:∵AB 是底面圆的直径,∴AC⊥BC, ∵弧 BC 的中点为 D,∴OD⊥BC, 又 AC,OD 共面,∴AC∥OD, 又 AC?平面 POD,OD? 平面 POD, ∴AC∥平面 POD. (Ⅱ)解:设圆锥底面半径为 r,高为 h,母线长为 l, ∵圆锥的轴截面 PAB 为等腰直角三角形, ∴ ∵由 ∴ , ,得 r=3, .

【点评】本题主要考查了线面平行的判定,考查了三角形面积公式,考查了圆锥的表面积的求法,考查了空间想象 能力和推理论证能力,属于中档题.

7. (6 分) (2017?青岛一模) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=3,F 是棱 PA 上的一个动点,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求证:平面 BDF⊥平面 PCF; (Ⅱ)若 AF=1,求证:CE∥平面 BDF.

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【考点】LS:直线与平面平行的判定;LY:平面与平面垂直的判定.菁优网版权所有 【专题】14 :证明题;35 :转化思想;4G :演绎法;5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O,证明 BD⊥平面 PAC,即可证明结论; (Ⅱ)取 PF 中点 G,连接 EG,CG,连接 FO.由三角形中位线定理可得 FO∥GC,GE∥FD.然后利用平面与平面平 行的判定得到面 GEC∥面 FOD,进一步得到 CE∥面 BDF. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O,则 AC⊥BD, ∵PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ∴PA⊥BD, ∵PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC, ∵BD? 平面 BDF, ∴平面 BDF⊥平面 PAC,即平面 BDF⊥平面 PCF; (Ⅱ)如图所示,取 PF 中点 G,连接 EG,CG,连接 FO. 由题可得 F 为 AG 中点,O 为 AC 中点, ∴FO∥GC; 又 G 为 PF 中点,E 为 PD 中点, ∴GE∥FD. 又 GE∩GC=G,GE、GC? 面 GEC, FO∩FD=F,FO,FD? 面 FOD. ∴面 GEC∥面 FOD. ∵CE? 面 GEC, ∴CE∥面 BDF;

【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了线面垂直、面面垂直的证明,考查空间想象能力和思维能力,是 中档题.

8. (6 分) (2017?达州模拟)已知,如图,P 是平面 ABC 外一点,PA 不垂直于平面 ABC,E,F 分别是线段 AC,PC 的中点,D 是线段 AB 上一点,AB=AC,PB=PC,DE⊥EF.
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(1)求证:PA⊥BC; (2)求证:BC∥平面 DEF.

【考点】LS:直线与平面平行的判定;LX:直线与平面垂直的性质.菁优网版权所有 【专题】14 :证明题;48 :分析法;5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (1)设线段 BC 的中点为 G,分别连接 AG、PG.构建线面垂直:BC⊥平面 AGP.根据线面垂直的性质证得 结论; (2)利用三角形中位线定理推知 EF∥AP.结合已知条件得到 PA⊥DE. 因为 PA⊥BC,BC、DE 是平面 ABC 内两条 直线,如果 BC、DE 相交,则 PA⊥平面 ABC,与 PA 不与平面 ABC 的垂直矛盾. 故 BC∥DE.最后根据线面平行的判定定理得到结论. 【解答】 (1)证明:设线段 BC 的中点为 G,分别连接 AG、PG. ∵AB=AC,PB=PC, ∴AG⊥BC,PG⊥BC, ∵AG、PG 是平面 AGP 内的两条相交线, ∴BC⊥平面 AGP. ∵PA? 平面 AGP, ∴PA⊥BC. (2)证明:∵E、F 分别是线段 AC、PC 的中点, ∴EF∥AP. ∵DE⊥EF, ∴PA⊥DE. 因为 PA⊥BC,BC、DE 是平面 ABC 内两条直线, 如果 BC、DE 相交,则 PA⊥平面 ABC,与 PA 不与平面 ABC 的垂直矛盾. ∴BC∥DE. 又 BC?平面 DEF,DE? 平面 DEF, ∴BC∥平面 DEF.

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【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理,考查了空间想象能力、推理 能力,属于中档题.

9. (6 分) (2017?济南一模)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠DAB=60° ,EF∥AC,EF= (Ⅰ)求证:FC∥平面 BDE; (Ⅱ)若 EA=ED,求证:AD⊥BE.



【考点】LS:直线与平面平行的判定;LO:空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有 【专题】14 :证明题;35 :转化思想;4G :演绎法;5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)设 AC∩BD=O,连接 EO,证明 FC∥EO,即可证明:FC∥平面 BDE; (Ⅱ)取 AD 中点 M,连接 EM,BM,证明 AD⊥平面 EMB,即可证明:AD⊥BE. 【解答】证明: (Ⅰ)设 AC∩BD=O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60° ,∴OC= ∵EF∥AC, ∴EFCO 为平行四边形, ∴FC∥EO, ∵FC?平面 BDE,EO? 平面 BDE, ∴FC∥平面 BDE; (Ⅱ)取 AD 中点 M,连接 EM,BM, ∵EA=ED,∴EM⊥AD. ∵AB=AD=BD,∴BM⊥AD, ∵EM∩BM=M, ∴AD⊥平面 EMB, ∵BE? 平面 EMB,
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∴AD⊥EB.

【点评】本题考查线面平行的判定,考查线面垂直的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

10. (6 分) (2017?上海模拟)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是正方形,AA1=2,AB=1,E 是 DD1 上的一点. (1)求异面直线 AC 与 B1D 所成的角; (2)若 B1D⊥平面 ACE,求三棱锥 A﹣CDE 的体积.

【考点】LM:异面直线及其所成的角;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 【专题】5F :空间位置关系与距离;5G :空间角. 【分析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系, 利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角; (2)利用线面垂直的性质定理即可得到点 E 的坐标,利用 VA﹣CDE=VE﹣ADC 即可得到体积. 【解答】解:以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. (1)依题意,D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,C(0,1,0) ,B1(1,1,2) , ∴ ∴ , . , ,

∴异面直线 AC 与 B1D 所成的角为 (2)设 E(0,0,a) ,则

∵B1D⊥平面 ACE,AE? 平面 ACE,∴B1D⊥AE. ∴ ,∴﹣1+2a=0, = . .

∴VA﹣CDE=VE﹣ADC=

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【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、 及掌握线面垂直的性质定理、“等积变形”、三棱锥的体积计算公式是解题的关键.

11. (6 分) (2017?南京二模) 如图, 在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面四边形 ABCD 为菱形, A1A=AB=2, ∠ABC= E,F 分别是 BC,A1C 的中点. (1)求异面直线 EF,AD 所成角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上, =λ.若 CM∥平面 AEF,求实数 λ 的值.



【考点】LM:异面直线及其所成的角;LT:直线与平面平行的性质.菁优网版权所有 【专题】15 :综合题;35 :转化思想;4G :演绎法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角. 【分析】 (1)建立坐标系,求出直线的向量坐标,利用夹角公式求异面直线 EF,AD 所成角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上, =λ.求出平面 AEF 的法向量,利用 CM∥平面 AEF,即可求实数 λ 的值.

【解答】解:因为四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 为直四棱柱, 所以 A1A⊥平面 ABCD. 又 AE? 平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, 所以 A1A⊥AE,A1A⊥AD.
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在菱形 ABCD 中∠ABC=

,则△ABC 是等边三角形.

因为 E 是 BC 中点,所以 BC⊥AE. 因为 BC∥AD,所以 AE⊥AD. 建立空间直角坐标系.则 A(0,0,0) ,C( A1(0,0,2) ,E( (1) ,0,0) ,F( =(﹣ ,1,0) ,D(0,2,0) ,

, ,1) . , ,1) , = . =λ, …(4 分)

=(0,2,0) ,

所以异面直线 EF,AD 所成角的余弦值为

(2)设 M(x,y,z) ,由于点 M 在线段 A1D 上,且 则(x,y,z﹣2)=λ(0,2,﹣2) . 则 M(0,2λ,2﹣2λ) , =(﹣ ,2λ﹣1,2﹣2λ) .

…(6 分)

设平面 AEF 的法向量为 =(x0,y0,z0) . 因为 =( ,0,0) , =( , ,1) ,



,得 x0=0, y0+z0=0.

取 y0=2,则 z0=﹣1, 则平面 AEF 的一个法向量为 n=(0,2,﹣1) . 由于 CM∥平面 AEF,则 …(8 分)

=0,即 2(2λ﹣1)﹣(2﹣2λ)=0,解得 λ= .…(10 分)

【点评】本题考查线面角,考查线面平行的运用,考查向量知识的运用,属于中档题.

12. (6 分) (2017?南京一模)如图,六面体 ABCDE 中,面 DBC⊥面 ABC,AE⊥面 ABC.
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(1)求证:AE∥面 DBC; (2)若 AB⊥BC,BD⊥CD,求证:AD⊥DC.

【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系;LS:直线与平面平行的判定.菁优网版权所有 【专题】5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足,由已知得 DO⊥面 ABC,由此能证明 AE∥面 DBC. (2)由已知得 DO⊥AB,AB⊥面 DBC,从而 AB⊥DC,由此能证明 AD⊥DC. 【解答】证明: (1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足. 因为面 DBC⊥面 ABC,又面 DBC∩面 ABC=BC,DO? 面 DBC, 所以 DO⊥面 ABC. 又 AE⊥面 ABC,则 AE∥DO. 又 AE?面 DBC,DO? 面 DBC,故 AE∥面 DBC. (2)由(1)知 DO⊥面 ABC,AB? 面 ABC,所以 DO⊥AB. 又 AB⊥BC,且 DO∩BC=O,DO,BC? 平面 DBC,则 AB⊥面 DBC. 因为 DC? 面 DBC,所以 AB⊥DC. 又 BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB? 面 ABD,则 DC⊥面 ABD. 又 AD? 面 ABD,故可得 AD⊥DC.

【点评】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理,线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理;第(2)问通过线 面垂直证线线垂直问题.

13. (6 分) (2017?湖南三模) 如图: 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠ABC=60° , PA⊥平面 ABCD, 点 M, N 分别为 BC,PA 的中点,且 PA=AB=2.
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(Ⅰ)证明:BC⊥平面 AMN; (Ⅱ)求三棱锥 N﹣AMC 的体积; (Ⅲ)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE;若存在,求出 PE 的长;若不存在,说明理由.

【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 【专题】11 :计算题;14 :证明题. 【分析】 (I)要证线与面垂直,只要证明线与面上的两条相交线垂直,找面上的两条线,根据四边形是一个菱形, 从菱形出发找到一条,再从 PA⊥平面 ABCD,得到结论. (II)要求三棱锥的体积,首先根据所给的体积确定用哪一个面做底面,会使得计算简单一些,选择三角形 AMC, 做出底面面积,利用体积公式得到结果. (III)对于这种是否存在的问题,首先要观察出结论,再进行证明,根据线面平行的判定定理,利用中位线确定线 与线平行,得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵ABCD 为菱形, ∴AB=BC 又∠ABC=60° , ∴AB=BC=AC, 又 M 为 BC 中点,∴BC⊥AM 而 PA⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,∴PA⊥BC 又 PA∩AM=A,∴BC⊥平面 AMN (II)∵ 又 PA⊥底面 ABCD,PA=2,∴AN=1 ∴三棱锥 N﹣AMC 的体积 = (III)存在点 E, 取 PD 中点 E,连接 NE,EC,AE, ∵N,E 分别为 PA,PD 中点,
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S△AMC?AN

∴ 又在菱形 ABCD 中, ∴ ,即 MCEN 是平行四边形

∴NM∥EC, 又 EC? 平面 ACE,NM?平面 ACE ∴MN∥平面 ACE, 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE, 此时 .

【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,是一个非常适合作为高考题目出现的问题,题目包含的知识 点比较全面,重点突出,是一个好题.

14. (6 分) (2017 春?龙海市校级月考)在空间四边形 ABCD 中,H,G 分别是 AD,CD 的中点,E,F 分别边 AB,BC 上的点,且 = = .求证:

①点 E,F,G,H 四点共面; ②直线 EH,BD,FG 相交于一点.

【考点】LJ:平面的基本性质及推论.菁优网版权所有 【专题】14 :证明题;31 :数形结合;49 :综合法;5F :空间位置关系与距离.
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【分析】①利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理, 得到 EF、GH 都平行于 AC,由平行线的传递性得到 EF∥GH, 根据两平行线确定一平面得出证明; (2)利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上,即可证明. 【解答】证明:①如图所示,

空间四边形 ABCD 中,H,G 分别是 AD,CD 的中点, ∴HG∥AC; 又 = = ,

∴EF∥AC, ∴EF∥HG, E、F、G、H 四点共面; ②设 EH 与 FG 交于点 P, ∵EH? 平面 ABD ∴P 在平面 ABD 内, 同理 P 在平面 BCD 内, 且平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴点 P 在直线 BD 上, ∴直线 EH,BD,FG 相交于一点. 【点评】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以 及三线共点的应用问题.

15. (6 分) (2017 春?东湖区校级月考)如图长方体 ABCD﹣A'B'C'D'中,AB=BC=1,AA'=2,E、F 分别是 BB′、A'B'的中 点. (1)求证:E、F、C、D'四点共面;
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(2)求异面直线 AC、C'E 夹角的余弦值.

【考点】LM:异面直线及其所成的角;LJ:平面的基本性质及推论.菁优网版权所有 【专题】15 :综合题;35 :转化思想;4G :演绎法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角. 【分析】 (1)证明:EF∥D'C,即可证明 E、F、C、D'四点共面; (2)连接 A'C',则∠A'C'E 为异面直线 AC、C'E 夹角,即可求异面直线 AC、C'E 夹角的余弦值. 【解答】 (1)证明:如图所示,连接 A'B,D'C,则 EF∥A'B∥D'C, ∴E、F、C、D'四点共面; (2)解:连接 A'C',则∠A'C'E 为异面直线 AC、C'E 夹角, ∵AB=BC=1,AA'=2, ∴A'E=C'E=A'C'= ∴异面直线 AC、C'E 夹角的余弦值为 .

【点评】本题考查平面的基本性质,考查异面直线所成角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

16. (6 分) (2017 春?桥西区校级月考) 如图, 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点, AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求异面直线 BC1 和 A1D 所成角的大小.

AB.

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【考点】LM:异面直线及其所成的角;LS:直线与平面平行的判定.菁优网版权所有 【专题】14 :证明题;31 :数形结合;41 :向量法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角. 【分析】 (1)连接 AC1 与 A1C 相交于点 F,连接 DF,推导出 BC1∥DF,由此能证明 BC1∥平面 A1CD. (2)法一(几何法) : 由(1)得∠A1DF 或其补角为异面直线 BC1 和 A1D 所在角,由此能求出异面直线 BC1 和 A1D 所成角的大小. 法二(向量法) : 以 C 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向, 的方向为 y 轴正方向, 的方向为 z 轴正方向,建立空间直角坐

标系 C﹣xyz.利用向量法能求出异面直线 BC1 与 A1D 所成角. 【解答】证明: (1)连接 AC1 与 A1C 相交于点 F,连接 DF. 由矩形 ACC1A1 可得点 F 是 AC1 的中点,又 D 是 AB 的中点, ∴BC1∥DF, ∵BC1?平面 A1CD,DF? 平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD. 解: (2)解法一(几何法) : 由(1)得∠A1DF 或其补角为异面直线 BC1 和 A1D 所在角, 设 AB=2,则 , 在△A1DF 中,由余弦定理得: ,且∠A1DF∈(0,π) , ∴ , . , ,∴AC⊥BC.
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, .

∴异面直线 BC1 和 A1D 所成角的大小为 解法二(向量法) :∵ 令 AA1=AC=CB=2,

以 C 为坐标原点,

的方向为 x 轴正方向,

的方向为 y 轴正方向,

的方向为 z 轴正方向,

建立空间直角坐标系 C﹣xyz. 则 D(1,1,0) ,C1(0,0,2) ,A1(2,0,2) ,B(0,2,0) , , 设异面直线 BC1 与 A1D 所成角为 θ, 则 ∴ , . , .

∴异面直线 BC1 与 A1D 所成角为

【点评】本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知 识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,考查创新意识、应 用意识,是中档题.

17. (6 分) (2017 春?云岩区校级月考)如图,侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥AC,且 AC=AA1. (1)求证:AB⊥A1C; (2)求异面直线 A1C 与 BB1 所成角的大小.
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【考点】LM:异面直线及其所成的角;LX:直线与平面垂直的性质.菁优网版权所有 【专题】5F :空间位置关系与距离;5G :空间角. 【分析】 (1)通过直线与平面垂直,证明直线鱼嘴鞋垂直即 AB⊥A1C; (2)异面直线 A1C 与 BB1 所成角的大小.求出三角形的三个边长,然后求解异面直线所成角即可. 【解答】解: (1)证明:侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 可得 AB⊥AA1,又∵AB⊥AC,AC∩AA1=A,可得 AB⊥平面 AA1C1C, 且 A1C? 平面 AA1C1C, ∴AB⊥A1C; (2)解:因为几何体是棱柱,BB1∥AA1,则直线 A1C 与 AA1 所成的角为就是异面直线 A1C 与 BB1 所成的角. 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC.AC=AA1, 三角形 CAA1 是等腰直角三角形,异面直线所成角为 45° . 异面直线 A1C 与 BB1 所成角的大小为 45° .

【点评】本题考查异面直线所成角的求法,直线与平面垂直的判断,考查空间想象能力以及考查计算能力.

18. (6 分) (2017 春?西区校级月考) (文科)设 A 在平面 BCD 内的射影是直角三角形 BCD 的斜边 BD 的中点 O, AC=BC=1,CD= ,

求(1)AC 与平面 BCD 所成角的大小;
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(2)异面直线 AB 和 CD 的大小.

【考点】LM:异面直线及其所成的角;MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有 【专题】11 :计算题;31 :数形结合;44 :数形结合法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角. 【分析】 (1)因为 A 在平面 BCD 内的射影是直角三角形 BCD 的斜边 BD 的中点 O,所以 OA 是三棱锥的高,在直角 三角形 AOC 中可计算 AO,再由 OA⊥平面 BCD,知∠ACO 是 AC 与平面 BCD 所成角,由此能求出 AC 与平面 BCD 所 成角的大小. (2)取 BC 中点 F,AC 中点 E,利用三角形中位线定理证明∠EFO 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角,再在△EFO 中 分别计算三边的长,利用解直角三角形知识即可求得此角. 【解答】解: (1)∵A 在平面 BCD 内的射影是直角三角形 BCD 的斜边 BD 的中点 O, ∴OA 是三棱锥的高 ∵BC=1,CD= ∴OC=OB=OD= . ,OA= = ,

∵OA⊥平面 BCD,∴∠ACO 是 AC 与平面 BCD 所成角,

∵tan∠ACO=

=

=

,∴∠ACO=30° ,

∴AC 与平面 BCD 所成角为 30° . (2)如图,取 BC 中点 F,AC 中点 E,连接 EF,OE,OF ∵EF∥AB,OF∥CD ∴∠EFO 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角

在△EFO 中,EF=

=

=

= ,

OF=

,OE=

=

= ,

∴∠FEO=90° ,∠EFO=45° ∴异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小为 45° .

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【点评】本题考查线面角的求法,考查异面直线所成角的求法,考查推理论证能力、运算求解能力,考查整体思想、 转化化归思想,考查数据处理能力和运用意识,是中档题.

19. (6 分) (2017 春?兴宁区校级月考) 三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, PD=PC=4, BC=3.点 E 是 CD 边的中点,点 F、G 分别在线段 AB、BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:BC∥平面 PDA; (2)求二面角 P﹣AD﹣C 的大小; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.



【考点】LM:异面直线及其所成的角;LS:直线与平面平行的判定;MT:二面角的平面角及求法.菁优网版权所 有 【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角. 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是长方形,知 BC∥AD,由此能证明 BC∥平面 PDA. (2)推导出 AD⊥DC,AD⊥平面 PCD,从而 AD⊥DC,AD⊥PD,进而∠PDC 即为二面角 P﹣AD﹣C 的平面角,由此 能求出二面角 P﹣AD﹣C 的大小. (3)连接 AC,推导出 AC∥FG,从而∠PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角,由此能求出直线 PA 与直线 FG 所 成角的余弦值. 【解答】证明: (1)因为四边形 A BCD 是长方形, 所以 BC∥AD, 因为 BC?平面 PD A,AD? 平面 PD A,
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所以 BC∥平面 PD A 解: (2)∵△ABCD 是矩形,∴AD⊥DC,又平面 PDC⊥平面 ABCD, 且平面 PDC∩平面 ABCD=CD,AD? 平面 ABCD, ∴AD⊥平面 PCD,又 CD、PD? 平面 PDC, ∴AD⊥DC,AD⊥PD,∴∠PDC 即为二面角 P﹣AD﹣C 的平面角, 在 Rt△PDE 中,PD=4, ∴ , .

即二面角 P﹣AD﹣C 的大小为 45° . (3)如下图所示,连接 AC,∵AF=2FB,CG=2GB, 即 ,∴AC∥FG,

∴∠PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角, 在△PAC 中,PA= ∴PA2+PC2=AC2, ∴PA2+PC2=AC2, ∴cos∠PAC= = , . =5,AC= = ,

∴直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为

【点评】本题考查线面关系、二面角求法,线面角余弦值等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,考查创新意识、应用意识,是中档题.

20. (6 分) (2017?山西一模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行四边形. (1)求证:MN∥平面 PAD. (2)若 PA=AD=2a,MN 与 PA 所成的角为 30° .求 MN 的长.

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【考点】LM:异面直线及其所成的角;LS:直线与平面平行的判定.菁优网版权所有 【专题】14 :证明题;31 :数形结合;49 :综合法;5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (1)取 PD 的中点 E,连接 EN、EA,推导出四边形 ENMA 为平行四边形,从而 MN∥AE,由此能证明 MN ∥平面 PAD. (2)推导出△PAD 是等边三角形,MN=PE,由此能求出结果. 【解答】证明: (1)取 PD 的中点 E,连接 EN、EA, ∵M,N 分别是 AB,PC 的中点,ABCD 是平行四边形, ∴EN AM,∴四边形 ENMA 为平行四边形

∴MN∥AE, ∵MN?平面 PAD,AE? 平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. (2)∵E 是 PD 中点,PA=AD=2a, ∴AE 是∠PAD 的平分线, ∵MN 与 PA 所成的角为 30° ,MN∥AE,∴∠PAE=30° , ∴△PAD 是等边三角形, ∴MN=PE= = a.

【点评】本题考查线面平行的证明,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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