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2015届高三理科数学一轮复习试题选编14:数列的综合问题(教师版)


2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 14:数列的综合问题
一、选择题 1 . ( 2013 北京海淀二模数学理科试题及答案) 若数列 {an } 满足 : 存在正整数 T , 对于任意正整数 n 都有

an ? T ? a n 成 立 , 则 称 数 列 {an } 为 周 期 数 列 , 周 期 为 T . 已 知 数 列 {an } 满 足
?an ? 1, an ? 1, ? a1 ? m( m ? 0,)an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , ? n
则下列结论中错误 的是 .. A.若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B.若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 C. ?T ? N 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列
*





D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列
【答案】

D.

2 . (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)设等比数列 {an } 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足条

件 a1 ? 1 , a99 a100 ?1 ? 0 , ① 0 ? q ? 1;

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论: a100 ? 1 ② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ;
( )

③ T100 的值是 Tn 中最大的;④ 使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是 A.①③
【答案】 二、填空题

B.①④ B.

C.②③

D.②④

3 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数轴上截取与闭

区间 [0,4] 对应的线段,对折后(坐标 4 所对应的点与原点重合)再均匀地拉成 4 个单位长度的线段, 这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标 1、3 变成 2,原来的坐标 2 变成 4, 等等).那么原闭区间 [0,4] 上(除两个端点外)的点,在第 n 次操作完成后 (n ? 1) ,恰好被拉到与 4 重合的点所对应的坐标为 f (n) ,则 f (3) ? ; f ( n) ?
n

0

2 4 ( 14 题 .
图)

1 3 5 7 【答案】 , , , ; 2 2 2 2

j 2 n?2

(这里 j 为 [1,2 ] 中的所有奇数)
) 右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成

4 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 aij

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( i ? j , i, j ? N * ) ,则 a53 等于

, amn ? ______(m ? 3) .

【答案】

5 m , n ?1 16 2

解:由题意可知第一列首项为 以 a51 ?

1 1 1 1 1 3 1 1 ,公差 d ? ? ? ,第二列的首项为 ,公差 d ? ? ? ,所 4 2 4 4 4 8 4 8

1 1 5 1 1 5 a 1 ? 4 ? ? , a52 ? ? 3 ? ? , 所 以 第 5 行 的 公 比 为 q ? 52 ? , 所 以 4 4 4 4 8 8 a51 2

1 1 m 5 1 5 1 1 m a5 3? a 5 2 q? ? ? 。 由题意知 am1 ? ? ( m ? 1) ? ? ,am 2 ? ? (m ? 2) ? ? , 所以第 m 4 8 8 8 2 16 4 4 4
行的公比为 q ?

am 2 1 m 1 m ? ,所以 amn ? am1q n ?1 ? ? ( ) n ?1 ? n ?1 , m ? 3. 4 2 2 am1 2

5 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,,in)(n 是不小于

3 的正整数),若对任意的 p,q∈{1,2,3,,n},当 p<q 时有 ip>iq,则称 ip, iq 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1) 的逆序数等于 2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于___________;若数组(i1,i2,i3,,in)的逆序数为 n,则 数组(in,in-l,i1)的逆序数为___________.
【答案】

n2 ? 3n 2
n n 的 前 n 项 1,3,7,?, 2 ?1 组 成 集 合 {2 ? 1}

6

. ( 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 理 科 试 题 ) 数 列

An ? {1,3,7,?, 2n ?1}(n ? N? ) ,从集合 An 中任取 k (k ? 1, 2,3,?, n) 个数,其所有可能的 k 个数的乘
积 的 和 为 Tk ( 若 只 取 一 个 数 , 规 定 乘 积 为 此 数 本 身 ), 记 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . 例 如 当 n ? 1

n ? 2 时, A2 ? {1,3} , T1 ? 1 ? 3 , T2 ? 1? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .则当 时, A 1 ? {1} , T 1 ? 1 , S1 ? 1 ; 当 n ? 3 时, S3 ? ______;试写出 Sn ? ______.
【答案】63, 2
n ( n ?1) 2

?1

7 . ( 2013 届北京西城区一 模理科) 记实数

x1 , x2 ,?, xn 中的最大数为 max{x1, x2 ,?, xn } ,最小数为

min{x1 , x2 ,?, xn } . 设△ ABC 的三边边长分别为 a, b, c ,且 a ? b ? c ,定义△ ABC 的倾斜度为
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a b c a b c t ? max{ , , } ? min{ , , } . b c a b c a
(ⅰ)若△ ABC 为等腰三角形,则 t ? ______; (ⅱ)设 a ? 1 ,则 t 的取值范围是______.
【答案】 1 , [1,

1? 5 ). 2

8 . ( 北 京 市 海 淀 区 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 科 数 学 ) 对 任 意 x ? R , 函 数 f ( x ) 满 足

f ( x ? 1) ?
f (15) ?
【答案】

31 1 f ( x )? [ f (x 2 )] ? ,设 an ? [ f (n)]2 ? f (n) ,数列 {an } 的前 15 项的和为 ? ,则 16 2


3 4
f ( x? 1) ?

【解析】因为

1 1 f ( x? 1)? ? f ( x )? [ f (x2 ) ]? 2 2 ,所以

f ( x )? [ f (x2 ) ] ? 0
, ,即

f ( x ? 1) ?

1 2













1 [ f ( x ? 1) ? ]2 ? f ( x) ? [ f ( x)]2 2





[ f ( x ? 1)]2 ? f ( x ? 1) ?

1 1 ? f ( x) ? [ f ( x)]2 [ f ( x ? 1)]2 ? f ( x ? 1) ? [ f ( x)]2 ? f ( x) ? ? 4 4 ,即 ,即

an ?1 ? an ? ?

1 1 1 31 3 ? S15 ? 7 ? (? ) ? a15 ? ? a15 ? ? {a } 4, 4 16 , 16 。 即数列 n 的任意两项之和为 4 , 所以 即 3 3 1 f (15) ? f (15) ? 16 ,解得 4或 4 (舍去) 。

所以

a15 ? [ f (15)]2 ? f (15) ? ?

9 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)定义映射 f : A ? B ,其中

A ? {(m, n) m, n ? R}, B ? R ,已知对所有的有序正整数对 (m, n) 满足下述条件:
① f (m,1) ? 1;②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ;③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ?1)] , 则 f (2, 2) ?
【答案】 2

, f (n, 2) ?



2n ? 2
据 定 义 得







f (2, 2) ? f (1 ? 1, 2) ? 2[ f (1, 2) ? f (1,1)] ? 2 f (1,1) ? 2 ?1 ? 2

。 , ,

f (3, 2) ? f (2 ? 1, 2) ? 2[ f (2, 2) ? f (2,1)] ? 2 ? (2 ? 1) ? 6 ? 23 ? 2 f (4, 2) ? f (3 ? 1, 2) ? 2[ f (3, 2) ? f (3,1)] ? 2 ? (6 ? 1) ? 14 ? 24 ? 2
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f (5, 2) ? f (4 ? 1, 2) ? 2[ f (4, 2) ? f (4,1)] ? 2 ? (14 ? 1) ? 30 ? 25 ? 2 , 所 以 根 据 归 纳 推 理 可 知 f (n, 2) ? 2n ? 2 。
10. (2013 北京东城高三二模数学理科)在数列 {an } 中,若对任意的 n ? N* ,都有

an ? 2 an ?1 ? ? t ( t 为常数),则 an ?1 an

称数列 {an } 为比等差数列, t 称为比公差.现给出以下命题: ①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ②若数列 {an } 满足 an ?

2n?1 1 ,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差 t ? ; 2 2 n

③若数列 {cn } 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ( n ? 3 ),则该数列不是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {an bn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是___. 【答案】 ①③
11. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )将整数 1, 2,3,?, 25 填入如图所示的 5 行 5 列

的表格中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值为

,最大值



.

【答案】 45 ; 85

解:因为第 3 列前面有两列,共有 10 个数分别小于第 3 列的数,因此:最小为:3+6+9+12+15=45. 因为第 3 列后面有两列,共有 10 个数分别大于第 3 列的数,因此:最大为:23+20+17+14+11=85. a a 12. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案) 在数列 {an } 中,如果对任意的 n ? N* ,都有 n ? 2 ? n ?1 ? ? ( ? 为 an ?1 an 常数),则称数列 {an } 为 比等差数列, ? 称为比公差.现给出以下命题: ①若数列 {Fn } 满足 F1 = 1,F2 = 1,Fn ? Fn?1 ? Fn ?2 (n ? 3) ,则该数列不是比等差数列; ②若数列 {an } 满足 an ? 3 ? 2
n?1

,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差 ? ? 0 ;

③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {anbn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ . 【答案】 ①②
三、解答题 13 .( 北 京 市 海 淀 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 练 习 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 集
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A ? {a1, a2 , , an } (1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2) 具有性质 P:对任意
的 k (2 ? k ? n) ,?i, j (1 ? i ? j ? n) ,使得 ak ? ai ? a j 成立. (Ⅰ)分别判断数集 {1, 3, 4} 与 {1, 2, 3, 6} 是否具有性质 P, 并说明理由; (Ⅱ)求证:an ? 2a1 ? a2 ? ?an?1 (n ? 2) ; (Ⅲ)若 an ? 72 ,求数集 A 中所有元素的和的最小值.

【答案】

解:(Ⅰ)因为 3 ? 1 ? 1 , 所以 {1,3, 4} 不具有性质 P. 因为 2=1 ? 2, 3=1+2, 6=3 ? 3 ,所以 {1, 2,3, 6} 具有性质 P (Ⅱ) 因为集合

A={a1,a2 , ???,an } 具有性质 P:

a =a +a 即对任意的 k (2 ? k ? n), ?i, j(1 ? i ? j ? n) ,使得 k i j 成立,
又因为 所以 即

1 ? a1 <a2 < ???<an , n ? 2 ,所以 ai ? ak ,a j ? ak
,所以

ai ? ak ?1,a j ? ak ?1

ak =ai +a j ? 2ak ?1

an ? 2an?1 , an?1 ? 2an?2 , an?2 ? 2an?3 ,..., a3 ? 2a2 , a2 ? 2a1

将上述不等式相加得

a2 + ??? +an?1 +an ? 2(a1 +a2 + ??? +an?1 )
所以 an ? 2a1 +a2 + ??? +an?1 (Ⅲ)最小值为 147. 首先注意到 a1 =1 ,根据性质 P,得到 a2 =2a1 =2 所以易知数集 A 的元素都是整数. 构造 A={1,2,3,6,9,18,36,72} 或者 A={1,2,4,5,9,18,36,72} ,这两个集合具有性质 P, 此时元素和为 147. 下面,我们证明 147 是最小的和

a1 < a 2 <??? < an n , ? 2) 假设数集 A={a1 ,a2 ,??? ,an }( , 满足 S ?

?a
i =1

n

i

? 147 最小 ( 存在性显然 , 因为满足

?a
i =1

n

i

? 147 的数集 A 只有有限个).
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第一步:首先说明集合 A={a1,a2 , ???,an }(a1 <a2 < ???<an ,n ? 2) 中至少有 8 个元素: 由(Ⅱ)可知 又

a2 ? 2a1, a3 ? 2a2.......

a1 =1 ,所以 a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 8, a5 ? 16, a6 ? 32, a7 ? 64 ? 72 ,

所以 n ? 8 第二步:证明

an?1 ? 36, an?2 ? 18, an?3 ? 9 :

若 36 ? A ,设

at =36 ,因为 an ? 72 ? 36 ? 36 ,为了使得

S ? ? ai
i =1

n

最小,在集合 A

中一定不含有元素

ak ,使得 36<ak ? 72 ,从而 an?1 ? 36 ; an ? 72 ,有 ai , a j ,使得 an ? 72 ? ai ? a j

假设 36 ? A ,根据性质 P,对 显然

ai ? a j

, 所以

an ? ai ? a j ? 144 an , ai , a j
的元素,

而此时集合 A 中至少还有 5 个不同于 从而

S ? (an ? ai ? a j ) ? 5a1 ? 149

,矛盾,

所以 36 ? A ,进而 同理可证:

at =36 ,且 an?1 ? 36 ;

an?2 ? 18, an?3 ? 9 an?2 ? 18

(同理可以证明:若 18 ? A ,则 假设 18 ? A . 因为 显然

an?1 ? 36, 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 an?1 ? 36 ? ai ? a j

ai ? a j

, 所以

an ? an?1 ? ai ? a j ? 144

, 的元素

而此时集合 A 中至少还有 4 个不同于 从而

an , an?1, ai , a j
,矛盾,

S ? an ? an?1 ? ai ? a j ? 4a1 ? 148
an?2 ? 18
an?3 ? 9

所以 18 ? A ,且

同理可以证明:若 9 ? A ,则 假设 9 ? A

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因为 显然

an?2 ? 18, 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 an?2 ? 18 ? ai ? a j

ai ? a j

, 所以

an ? an?1 ? an?2 ? ai ? a j ? 144 an , an?1, an?2 , ai , a j
,矛盾, 的元素

而此时集合 A 中至少还有 3 个不同于 从而

S ? an ? an?1 ? an?2 ? ai ? a j ? 3a1 ? 147
an?3 ? 9 )

所以 9 ? A ,且

至此,我们得到了 根据性质 P,有

an?1 ? 36, an?2 ? 18, an?3 ? 9 .
,使得

ai , a j

9 ? ai ? a j

我们需要考虑如下几种情形: ①

ai ? 8, a j ? 1

, 此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素

ak ,才能得到元素 8,

则 S ? 148 ; ②

ai ? 7, a j ? 2

,此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素

ak ,才能得到元素 7,

则 S ? 148 ; ③ ④

ai ? 6, a j ? 3 ai ? 5, a j ? 4

,此时集合 A={1,2,3,6,9,18,36,72} 的和最小,为 147; ,此时集合

A={1,2,4,5,9,18,36,72} 的和最小,为 147

14. (2013 届北京海滨一模理科) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为平面直角坐标系上的两点, 其中 x A , y A , xB , yB ? Z .

令 ?x ? xB ? x A , ?y ? yB ? y A ,若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则称点 B 为点 A 的“相关点” ,记 作: B ? ? ( A) . 已知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ? Z) 为平面上一个定点,平面上点列 {Pi } 满足: P i ? ? (P i ?1 ) , 且点 Pi 的坐标为 ( xi , yi ) ,其中 i ? 1,2,3,..., n . (Ⅰ)请问:点 P0 的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上, 写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由; (Ⅱ)求证:若 P0 与 Pn 重合, n 一定为偶数; (Ⅲ)若 P0 (1,0) ,且 yn ? 100 ,记 T ? ? xi ,求 T 的最大值.
i ?0 n

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【答案】解: (Ⅰ)因为

?x + ?y =3(?x, ?y 为非零整数)

故 ?x ? 1, ?y ? 2 或 ?x ? 2, ?x ? 1 ,所以点 P 0 的相关点有 8 个??????2 分 又因为 (?x)2 ? (?y )2 ? 5 ,即 ( x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) ? 5
2 2

所以这些可能值对应的点在以 P 0 为圆心, 5 为半径的圆上??????4 分 (Ⅱ)依题意 Pn (xn ,yn ) 与 P 0 (x0 ,y0 ) 重合 则 xn ? ( xn ? xn?1 ) ? ( xn-1 ? xn?2 ) ? ... ? ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x0 ) ? x0 ? x0 ,

yn ? ( yn ? yn?1 ) ? ( yn-1 ? yn?2 ) ? ... ? ( y2 ? y1 ) ? ( y1 ? y0 ) ? y0 ? y0
即 (xn ? xn?1 )+(xn -1 ? xn?2 )+...+(x2 ? x1 )+(x1 ? x0 )=0 ,

(yn ? yn?1 )+(yn-1 ? yn?2 )+...+(y2 ? y1 )+(y1 ? y0 )=0
两式相加得

[(xn ? xn?1 )+(yn ? yn?1 )]+[(xn?1 ? xn?2 )+(yn-1 ? yn?2 )]+...+[(x1 ? x0 )+(y1 ? y0 )]=0 (*)
因为 xi , yi ? Z, xi ? xi?1 ? yi ? yi ?1 ? 3(i ? 1,2,3,..., n) 故 (xi ? xi ?1 )+(yi ? yi ?1 )(i =1,2,3,...,n) 为奇数, 于是(*)的左边就是 n 个奇数的和,因为奇数个奇数的和还是奇数, 所以 n 一定为偶数??????8 分 (Ⅲ)令 ?xi ? xi ? xi ?1, ?yi ? yi ? yi ?1, (i ? 1,2,3,..., n) , 依题意 ( yn ? yn?1 ) ? ( yn?1 ? yn?2 ) ? ... ? ( y1 ? y0 ) ? 100 , 因为 T ?

?x
i ?0

n

i

? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn

? 1 ? (1 ? ?x1 ) ? (1 ? ?x1 ? ?x2 ) ? ?? (1 ? ?x1 ? ?x2 ? ?? ?xn ) ? n ? 1 ? n?x1 ? (n ?1)?x2 ? ?? ?xn ??????10 分
因为有 ?xi + ?yi ? 3,且 ?xi , ?yi 为非零整数, 所以当 ?xi ? 2 的个数越多,则 T 的值越大,
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而且在 ?x1, ?x2 , ?x3 ,.., ?xn 这个序列中,数字 2 的位置越靠前,则相应的 T 的值越大 而当 ?yi 取值为 1 或 ? 1 的次数最多时, ?xi 取 2 的次数才能最多, T 的值才能最大. 当 n ? 100 时,令所有的 ?yi 都为 1, ?xi 都取 2, 则 T ? 101 ? 2(1 ? 2 ? ? ? 100) ? 10201 . 当 n ? 100 时, 若 n ? 2k (k ? 50, k ? N* ) , 此时, ?yi 可取 k ? 50 个 1, k ? 50 个 ?1 ,此时 ?xi 可都取 2, S (n) 达到最大 此时 T = n ? 1 ? 2(n ? (n ?1) ? ? ? 1) ? n2 ? 2n ? 1 . 若 n ? 2k ? 1(k ? 50, k ? N ) ,令 ?yn ? 2 ,其余的 ?yi 中有 k ? 49 个 ?1 , k ? 49 个 1.
*

相应的,对于 ?xi ,有 ?xn ? 1 ,其余的都为 2, 则 T ? n ? 1 ? 2(n ? (n ? 1) ? ? ? 1) ? 1 ? n2 ? 2n 当 50 ? n ? 100 时,令 ?yi ? 1, i ? 2n ? 100, ?yi ? 2,2n ? 100 ? i ? n, 则相应的取 ?xi ? 2, i ? 2n ? 100, ?yi ? 1,2n ? 100 ? i ? n, 则 T = n ? 1 + 2 (n ? (n ? 1) ? ?(101 ? n)) ?((100 ? n) ? (99 ? n) ? ?1)

?

n 2 ? 205n ? 10098 2

? n 2 ? 205n ? 10098 , 50 ? n ? 100, ? 2 ? ? 2 n ? 100且为偶数, 综上, T ? ?( n ? 1) , ??????13 分 ? n 2 +2n, n ? 100且为奇数. ? ? ?
15. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,设 A 是由 n ? n 个实数组成的 n 行 n 列

的数表,其中 aij (i, j ? 1, 2,3, ?, n) 表示位于第 i 行第 j 列的实数,且 aij ?{1, ?1} .记 S ( n, n ) 为所有 这样的数表构成的集合.

, n), 记 ri ( A) 为 A 的 第 i 行 各 数 之 积 , c j ( A) 为 A 的 第 j 列 各 数 之 积 . 令 对 于 A ? S( n

l ( A) ? ? ri ( A) ? ? c j ( A) .
i ?1 j ?1

n

n

(Ⅰ)请写出一个 A ? S ( 4, 4) ,使得 l ( A) ? 0 ;
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(Ⅱ)是否存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 ?说明理由; (Ⅲ)给定正整数 n ,对于所有的 A ? S ( n, n ) ,求 l ( A) 的取值集合.

【答案】 (Ⅰ)解:答案不唯一,如图所示数表符合要求.

?1 1 1 1

?1 1 1 1

?1 1 1 1

?1 1 1 1
??????3 分 ??????4 分

(Ⅱ)解:不存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 . 证明如下: 假设存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 . 因为 ri ( A) ?{1, ?1} , c j ( A) ?{1, ?1} (1 ? i ? 9,1 ? j ? 9) ,

所以 r1 ( A) , r2 ( A) , ? , r9 ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) , ? , c9 ( A) 这 18 个数中有 9 个1 , 9 个 ?1 . 令M ?r 1 ( A) ? r 2 ( A) ??? r 9 ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ? ?? c9 ( A) .
9 一方面,由于这 18 个数中有 9 个 1 , 9 个 ?1 ,从而 M ? (?1) ? ?1 . ①

另一方面, r ; 1 ( A) ? r 2 ( A) ? ?? r 9 ( A) 表 示 数 表 中 所 有 元 素 之 积 ( 记 这 81 个 实 数 之 积 为 m )

c1 ( A) c ? 2( A) ? ? c ?( A 9 )

也表示 m , 从而 M ? m ? 1 .
2

② ??????8 分

①、②相矛盾,从而不存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 .
2 (Ⅲ)解:记这 n 个实数之积为 p .

一方面,从“行”的角度看,有 p ? r 1 ( A) ? r 2 ( A) ??? r n ( A) ; 另一方面,从“列”的角度看,有 p ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) . 从而有 r 1 ( A) ? r 2 ( A) ??? r n ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) . 注意到 ri ( A) ?{1, ?1} , c j ( A) ?{1, ?1} (1 ? i ? n,1 ? j ? n) . 下面考虑 r1 ( A) , r2 ( A) , ? , rn ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) , ? , cn ( A) 中 ?1 的个数: ③ ??????10 分

?1 的个数一定为偶数, 由③知, 上述 2 n 个实数中, 该偶数记为 2k (0 ? k ? n) ; 则 1 的个数为 2n ? 2k ,
第 10 页,共 53 页

所以 l ( A) ? (?1) ? 2k ? 1? (2n ? 2k ) ? 2(n ? 2k ) . 对数表 A0 : aij ? 1 (i, j ? 1, 2,3, ?, n) ,显然 l ( A0 ) ? 2n .

??????12 分

将数表 A0 中的 a11 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A 1 ) ? 2n ? 4 . 1 ,显然 l ( A

?1 ,得到数表 A2 ,显然 l ( A2 ) ? 2n ? 8 . 1 将数表 A 1 中的 a22 由 变为
依此类推,将数表 Ak ?1 中的 akk 由 1 变为 ?1 ,得到数表 Ak . 即数表 Ak 满足: a11 ? a22 ? ? ? akk ? ?1(1 ? k ? n) ,其余 aij ? 1 . 所以 r 1 ( A) ? r 2 ( A) ? ? ? rk ( A) ? ?1, c1 ( A) ? c2 ( A) ? ? ? ck ( A) ? ?1 . 所以 l ( Ak ) ? 2[(?1) ? k ? (n ? k )] ? 2n ? 4k . 由 k 的任意性知, l ( A) 的取值集合为 {2(n ? 2k ) | k ? 0,1, 2, ?, n}.?????13 分
16. (2011 年高考(北京理) )若数列 An : a1 , a2 ,?an (n ? 2) 满足 | ak ?1 ? ak |? 1(k ? 1,2,?, n ? 1) ,则称 An 为 E

数列.记 S ( An ) ? a1 ? a2 ? ? ? an (Ⅰ)写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S ( A5 ) ? 0 的 E 数列 A5 ; (Ⅱ)若 a1 ? 12, n ? 2000 ,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an ? 2011 ; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n ? 2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ( An ) ? 0 ?如果存在,写出一个 满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由.
【答案】 【命题立意】本题为新定义题,在理解新定义的基础上,学会信息迁移,把新信息转化为所学的

知识解答.理解递增数列的含义和充要条件的概念 .考查学生综合分析转化问题的能力和逻辑推理能 力和综合探究的能力. 【解析】(Ⅰ)0,1,2,1,0 是一个满足条件的 E 数列 A5 .(答案不唯一.0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 数列 A5 ) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 An 是递增数列,所以 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1,2,?,1999) 所以 An 是首项为 12,公差为 1 的等差数列.所以 a2000 ? 12 ? (2000 ? 1) ?1 ? 2011 充分性:由于 a2000 ? a1999 ? 1 , a1999 ? a1998 ? 1 , a2 ? a1 ? 1 ,所以 a2000 ? a1 ? 1999 , 即 a2000 ? a1 ? 1999 ,又因为 a1 ? 12 , a2000 ? 2011 ,所以 a2000 ? a1 ? 1999
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故 ak ?1 ? ak ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999) ,即 An 是递增数列.综上,结论得证 (Ⅲ)令 ck ? ak ?1 ? ak (k ? 1,2, ?, n ? 1) ,则 ck ? ?1 , 因为 a2 ? a1 ? c1 , a3 ? a1 ? c1 ? c2 ,??, an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 所以 S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? cn?1

? (n ? 1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ? ? 1 ? [(1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? (1 ? c3 )(n ? 3) ? ? ? (1 ? cn?1 )]

?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? (1 ? c3 )(n ? 3) ? ? ? (1 ? cn?1 )] 2

因为 ck ? ?1 ,所以 1 ? ck 为偶数 (k ? 1, 2,?, n ? 1) . 所以 (1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? (1 ? c3 )(n ? 3) ? ? ? (1 ? cn?1 ) 为偶数. 所以要使 S ( An ) ? 0 ,必须使

n(n ? 1) 为偶数,即 4 整除 n( n ? 1) ,也就是 n ? 4 m 或 n ? 4m ? 1(m ? N ? ) 2

当 n ? 4 m (m ? N ? ) 时 ,E 数列 An 的项满足 a4 k ?1 ? a 4k ? 3 ? 0 , a4 k ?2 ? ?1, a4 k ? 1 ( k ? 1, 2,3,?, m ) 时 , 有

a1 ? 0 , S ( An ) ? 0 .


n ? 4m ? 1(m ? N ? ) 时 ,E

数 列

An

的 项 满 足

E

数 列

An

的 项 满 足

a4 k ?1 ? a4 k ?3 ? 0 , a4 k ?2 ? ?1, a4 k ? 1( k ? 1, 2,3,?, m ), a4 m?1 ? 0 时,有 a1 ? 0 , S ( An ) ? 0 .
当 n ? 4m ? 2 或 n ? 4m ? 3 (m ? N ? ) 时, n( n ? 1) 不能被 4 整除,即

n(n ? 1) 不是偶数,所以不存在 E 数列 2

An 使得有 a1 ? 0 , S ( An ) ? 0 成立

17 . ( 2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) 已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an=3n-2, 等比数列 ?bn ?

中, b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? x x ? an , n ? N * , B ? x x ? bn , n ? N * , U ? A ? B ,把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?

?

?

?

?cn ? 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S .
n

【答案】解:(Ⅰ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q,

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? b1 ? a1 ? 1, b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,? q=2,? bn=2n-1, ? 数列 ?an ? 的前 4 项为 1,4,7,10,数列{bn}的前 4 项为 1,2,4,8, ? 数列 ?cn ? 的前 4 项为 1,2,4,7;
(Ⅱ)据集合 B 中元素 2,8,32,128 ? A,猜测数列 ?dn ? 的通项公式为 dn =2
2n-1

.

? dn=b2n ,? 只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A( n ? N ? ).
证明如下: ? b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3×4n-1, * n-1 n-1 若 ? m∈N ,使 b2n-1=3m-2,那么 b2n+1=3m-2+3×4 =3(m+4 )-2,所以,若 b2n-1∈A,则 b2n+1∈A.因为 b1∈A,重 复使用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? ). 同理,b2n+2-b2n=2
2n+1

-2

2n-1

=2×4 -2×4 =3×2×4 ,即 b2n+2=b2n+3×2×4 ,因为“3×2×4 ” 数列 ?an ?
n n-1 n-1 n-1 n-1

的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A, 当 n=1 时,显然 b2=2 ? A,即有 b4=2 ? A,重复使用上述结论, 2n-1 即得 b2n ? A,? dn =2 ; (Ⅲ)(1)当 n=1 时,所以因为 b1 ? a1 ? 1 ,所以 S1=1; (2)当 n≥2 时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A,则 ?k ? N ? ,且 k<n,使得

Sn ? ? ai ? ? b2i ?
i ?1 i ?1

n?k

k

(n ? k )(a1 ? an?k ) b2 (1 ? 4k ) (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) ? ? ? 2 1? 4 2 3

下面讨论正整数 k 与 n 的关系: 数列 ?cn ? 中的第 n 项不外如下两种情况: ① b2k ? cn 或者② an?k ? cn , 若①成立,即有 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ? 3(n ? k ? 1) ? 2 , 若②成立,即有 22k ?1 ? 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ,

?有

22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 或者 , ?n? ?n? 3 3 3 3 22 k ?1 ? 3k ?1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 2 * 显然 = [k ? ? (22 k ? 2 ? 1)] ? N ,所以 . ?n? 3 3 3 3
?1, n ? 1 综上所述, Sn ? ? . ? (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 ? ? , n ? ( , )( k , n ? N ) ? 2 3 3 3 ?

18. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学) 设?

? ( x1 , x2 ,?, x10 ) 是数 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 的

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任意一个全排列,定义 S (? ) ?

?| 2x
k ?1

10

k

? 3xk ?1 | ,其中 x11 ? x1 .

(Ⅰ)若 ? ? (10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求 S (? ) 的最大值; (Ⅲ)求使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数.

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练
【答案】解:(Ⅰ) S (? ) ?

?| 2 x
k ?1

10

k

? 3xk ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 28 ? 57

(Ⅱ)数 10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1 的 2 倍与 3 倍分别如下:

20,18,16,14,12,10,8,6, 4, 2, 30, 27, 24, 21,18,15,12,9,6,3
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 203 ? 72 ? 131,所以 S (? ) ? 131 . 对于排列 ? 0 ? (1,5,6,7, 2,8,3,9, 4,10) ,此时 S (? 0 ) ? 131 , 所以 S (? ) 的最大值为 131 (Ⅲ)由于数 1, 2,3, 4 所产生的 8 个数都是较小的数 , 而数 7,8, 9,10所产生的 8 个数都是较大的数 ,所以使

S (? ) 取最大值的排列中,必须保证数 1, 2,3, 4 互不相邻,数 7,8,9,10 也互不相邻;而数 5 和 6 既不能排
在 7,8,9,10 之 一 的 后 面 , 又 不 能 排 在 1, 2,3, 4 之 一 的 前 面 . 设 x1 ? 1 , 并 参 照 下 面 的 符 号 排 列

1 △○□△○□△○□△○
其中 2,3, 4 任意填入 3 个□中,有 6 种不同的填法; 7,8,9,10 任意填入 4 个圆圈○中,共有 24 种不同的 填法; 5 填入 4 个△之一中,有 4 种不同的填法; 6 填入 4 个△中,且当与 5 在同一个△时,既可以在 5 之 前又可在 5 之后 , 共有 5 种不同的填法 , 所以当 x1 ? 1 时 , 使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数为

6 ? 24 ? 4 ? 5 ? 2880,由轮换性知,使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数为 28800
19( .北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 (解析) ) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且点 ?n, S n ?

在函数 y ? 2

x ?1

? 2 的图像上.

(I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ?满足: b1 ? 0, bn ?1 ? bn ? a n ?n ? N *? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和公式; (III)在第(II)问的条件下,若对于任意的 n ? N * 不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,求实数 ? 的取值范围
【答案】解:(I)由题意可知, S n ? 2
n ?1

? 2.

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 n ,
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?

?

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21?1 ? 2 ? 2 也满足上式, 所以 a n ? 2 n ?n ? N *? (II)由(I)可知 bn ?1 ? bn ? 2 n ?n ? N *? ,即 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? . 当 k ? 1 时, b2 ? b1 ? 2 ,①
1

当 k ? 2 时, b3 ? b2 ? 2 2 ,所以 ? b3 ? b2 ? ?2 2 ,② 当 k ? 3 时, b4 ? b3 ? 2 3 ,③ 当 k ? 4 时, b5 ? b4 ? 2 4 ,所以 ? b5 ? b4 ? ?2 4 ,④ 当 k ? n ? 1 时( n 为偶数), bn ? bn ?1 ? 2 n ?1 ,所以 ? bn ? bn ?1 ? ?2 n ?1 n ? 1 以上 n ? 1 个式子相加,得 bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1

?

2 1 ? ?? 2 ? 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

? ? 2?1 ? 2 ?
n ?1

3

?

2n 2 ? . 3 3

又 b1 ? 0 , 所以,当 n 为偶数时, bn ?

2n 2 ? . 3 3

同理,当 n 为奇数时, ? bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1

2 1 ? ?? 2 ? ? 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

? ? 2?2
3

n

,

2n 2 所以,当 n 为奇数时, bn ? ? 3 3
因此,当 n 为偶数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
2 ? 2n 2 ? 2 ? ? 23 2 ? ? 2 4 2 ? ?2 2? ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? 3? ?3 3? ? 3 ? ? 3 3? ? 3 ? ? ?

?

2 22 2n 1 2 1 ? 2n 2 n ?1 2 ? ??? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 1? 2 3 3
第 16 页,共 53 页

?

?

当 n 为奇数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn
2 ? 2 n ?1 2 ? ? 2 n 2 ? 2? ?2 2? ?2 ? ? ?? ? ??? ? ? ??? ? ? 3 ? 3? ??? ? 3 ? 3? ? 3? ?3 3? ? 3 ? ? ? ?

? 2 22 2 n ? 2 2 n ?1 4 ?? ? ?? ? ? ? ? ? . ?3 3 3 ? 3 3 ? ? 3
故数列 ?bn ?的前 n 项和

? 2 n ?1 2 ? ? ? 3 3 Tn ? ? n ?1 ?2 ? 4 ? 3 ? 3

?n为偶数? ?n为奇数? ?n为偶数? ?n为奇数?

? 2n 2 ? ? ? 3 3 (III)由(II)可知 bn ? ? n ?2 ? 2 ? 3 ? 3
bn bn ?1

①当 n 为偶数时,

2n 2 ? 2n ? 2 1 3 3 3 , ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

所以

bn 随 n 的增大而减小, bn ?1 bn b 的最大值是 2 ? 1 . bn ?1 b3
2n 2 ? 2n ? 2 1 3 3 3 , ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

从而,当 n 为偶数时,

②当 n 为奇数时,

bn bn ?1

所以

bn 随 n 的增大而增大, bn ?1



bn 1 3 1 ? ? n ?1 ? ? 1. bn ?1 2 2 ? 2 2 bn 的最大值是 1. bn ?1
第 17 页,共 53 页

综上,

因此,若对于任意的 n ? N * ,不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,只需 ? ? 1 , 故实数 ? 的取值范围是 ?1,?? ?

20 . ( 北 京 市 丰 台 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 试 题

) 已 知 曲 线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) ,

A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是 曲 线 C 上 的 点 , 且 满 足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? , 一 列 点 Bi (ai , 0 ) i( ?

x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. 1, ??? 2 ,在 )

(Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;

1 (Ⅲ)令 bi ? , ci ? ai

? 2?
2

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存在,求出 N
i ?1 i ?1

n

n

的最小值并证明;若不存在,说明理由.

【答案】解: (Ⅰ)? ?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形,

? 直线 B0A1 的方程为 y=x.
?y ? x ? 2 由 ? y ? 2 x 得 x1 ? y1 ? 2 ,即点 A1 的坐标为(2,2) ,进而得 B1 (4,0) .…..3 分 ?y ? 0 ?
(Ⅱ)根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An?1 为直角顶点的等腰直角三角形可 得

? a n ? xn ? y n ,即 xn ? yn ? xn?1 ? yn?1 . (*) …………………………..5 分 ? ? an ? xn ?1 ? yn ?1
2 2 ? 2xn , yn ? An 和 An?1 均在曲线 C : y 2 ? 2x( y ? 0) 上,? yn ?1 ? 2 xn ?1 ,
2 yn y2 2 2 , xn ?1 ? n ?1 ,代入(*)式得 yn ?1 ? yn ? 2( yn ?1 ? yn ) , 2 2

? xn ?

? yn?1 ? yn ? 2(n ? N * ) ,

………………………………………………………..7 分

? 数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, ? 其通项公式为 yn ? 2n ( n ? N * ). ……………………………………………....8 分

第 18 页,共 53 页

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, xn ?

2 yn ? 2n 2 , 2

? an ? xn ? yn ? 2n(n ? 1) ,
1 , ci ? ? bi ? 2i (i ? 1)

……………………………………………………9 分

? 2?
2

? yi

?

1 . 2i ?1

? ? bi ?
i ?1

n

1 1 1 ? ??? 2(1? 2) 2(2 ? 3) 2n(n ? 1)

=

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) = (1 ? ) .….……………..…………10 分 2 2 2 3 n n ?1 2 n ?1 1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 2 ? 1 (1 ? 1 ) . ……………………….11 分 ci ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 4 ? 1 2 2 2 2 2n i ?1 1? 2
n 1 1 1 1 1 1 1 n ? 1 ? 2n = . b c (1 ? )(1 ? ) ? ( ? ) ? ? i ? i 2 n ?1 2 2n 2 2n n ? 1 2n?1 (n ? 1) i ?1 i ?1 n

(方法一)

当 n=1 时 b1 ? c1 不符合题意, 当 n=2 时 b2 ? c2 ,符合题意, 猜想对于一切大于或等于 2 的自然数,都有 (? ) ? bi ? ? ci .
i ?1 i ?1 n n

观察知,欲证( ? )式,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下: (1)当 n=2 时,左边=3,右边=4,左边<右边; (2)假设 n=k(k≥2)时,(k+1)<2k, 当 n=k+1 时,左边=(k+1)+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,

? 对于一切大于或等于 2 的正整数,都有 n+1<2n ,即 ? bi < ? ci 成立.
i ?1 i ?1

n

n

综上,满足题意的 n 的最小值为 2. ……………………………………………..13 分 (方法二)欲证
n

? b ? ? c 成立,只需证明当 n≥2 时,n+1<2 .
n
i ?1 i i ?1 i

n

n

0 1 2 3 n 2 3 n ? 2n ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 1 ? n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ,

并且 Cn ? Cn ... ? Cn ? 0 ,
2 3 n

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? 当 n ? 2 时, 2n ? n ? 1 .
21. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 若y?

f ( x) x

在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“一阶比增函数” ;若 y ? 为“二阶比增函数”.

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) x2

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x3 ? 2hx 2 ? hx ,若 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围; (Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b
d

c

a?b?c
4

t

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k ,

?

?

请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在,求 出 M 的最小值;若不存在,说明理由.
【答案】解: (I)因为

f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,
??????1 分

即 g ( x) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x

而 h( x ) ?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

当 h( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h( x ) 不是增函数时, h ? 0 综 上 ??????4 分 (Ⅱ) 因为 f ( x) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以 , 得

h?0

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? = , a a?b?c a?b?c 4a , a?b?c

所以 f ( a ) ? d ?

第 20 页,共 53 页

同理可证 f (b) ? d ?

4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? 2d ? t ? 所

4(a ? b ? c ) ? 4, a?b?c


2d ? t ? ?
??????6 分 因为

4

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab


而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所

d(

?
??????8 分

2d

?

(Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记
f ( x0 ) ?m?0 x0 2

?

?

因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即 所以当 x ? x0 时,

f ( x) 是增函数. x2

f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x) ? mx 2 x2 x0 2

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这 盾
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立



f ( x) ? k



x ? (0, ??)







??????11 分

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 , 则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即
f ( x) 是增函数 x2
第 21 页,共 53 页

一定存在 x3 ? x2 ? 0 ,

f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 x32 x2 2

所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 x f ( x) ?1 又有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x x 而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,

所以 M 的最小值 为 0

??????13 分

22. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )定义:如果数列 {an } 的任意连续三项均能构

成一个三角形的三边长,则称 {an } 为“三角形”数列.对于“三角形”数列 {an } ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三角形”数列,则称 y ? f ( x) 是数列 {an } 的“保三角形函数” (n ? N *) . (Ⅰ)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k (k ? 1) 是数列 {an } 的
x

“保三角形函数” ,求 k 的取值范围; (Ⅱ) 已知数列 {cn } 的首项为 2013 , 且满足 4Sn +1 ? 3Sn ? 8052 , 证明 {cn } Sn 是数列 {cn } 的前 n 项和, 是“三角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 {cn } 的“保三角形函数” ,问数列 {cn } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,
【答案】 (Ⅰ)显然 an

lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )

? n ? 1, an ? an?1 ? an?2 对任意正整数都成立,即 {an } 是三角形数列。

因为 k ? 1 ,显然有 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) ? ? , 由 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) 得 k ? k
n n ?1

? k n?2

解得

1- 5 1? 5 <k ? 2 2 . 1? 5 ) 时, 2
???????3 分

所以当 k ? (1,

f ( x) ? k x 是数列 {an } 的保三角形函数.
(Ⅱ)由 4sn?1 ? 3sn ? 8052 ,得 4sn ? 3sn?1 ? 8052 ,
第 22 页,共 53 页

? 3? 两式相减得 4cn?1 ? 3cn ? 0 ,所以 cn ? 2013 ? ? ?4?
经检验,此通项公式满足 4sn?1 ? 3sn ? 8052 . 显然 cn ? cn?1 ? cn? 2 ,

n ?1

???????5 分

( )+2013( ) ? 因为 cn ?1 ? cn ? 2 ? 2013
n

3 4

3 4

n ?1

21 3 n ?1 ? 2013 ( ) ? cn , 16 4
???zxxk??8 分

所以 {cn } 是三角形数列.

? 3? (Ⅲ) g (cn ) ? lg[2013 ? ? ?4?
所以 {g (cn )} 单调递减.

n ?1

? 3? ]=lg 2013+(n-1)lg ? ? , zxxk ?4?

由题意知, lg 2013+(n-1)lg ? ? >0 ①且 lg cn?1 ? lg cn ? lg cn?2 ②,

? 3? ?4?

(n-1) lg 由①得
由②得 n lg

3 >-lg 2013 ,解得 n ? 27.4 , 4

3 >- lg 2013 ,解得 n ? 26.4 . 4
??zxxk??13 分

即数列 {bn } 最多有 26 项. 【注:若有其它解法,请酌情给分. 】

23. (北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学 (理) 试题) 给定一个 n 项的实数列 a1, a2 ,?, an (n ? N

?

),

任意选取一个实数 c ,变换 T (c) 将数列 a1 , a2 ,?, an 变换为数列 | a1 ? c |,| a2 ? c |,?,| an ? c | ,再将得 到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数 c 可以不相同, 第 k (k ? N ) 次变换记为 Tk (ck ) ,其中 ck 为第 k 次变换时选择的实数.如果通过 k 次变换后,数列中的 各项均为 0 ,则称 T1 (c1 ) , T2 (c2 ) ,, Tk (ck ) 为 “ k 次归零变换”. (Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “ k 次归零变换”,其中 k ? 4 ; (Ⅱ)证明:对任意 n 项数列,都存在“ n 次归零变换”; (Ⅲ)对于数列 1, 2 ,3 ,?, n ,是否存在“ n ? 1 次归零变换”?请说明理由.
2 3 n ?

【答案】解:(Ⅰ)方法 1: T1 (4) :3,1,1,3; T2 (2) :1,1,1,1; T3 (1) :0,0,0,0.

方法 2: T1 (2) :1,1,3,5; T2 (2) :1,1,1,3; T3 (2) :1,1,1,1; T4 (1) :0,0,0,0
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(k ) (k ) (k ) (Ⅱ)经过 k 次变换后,数列记为 a1 , k ? 1, 2,? . , a2 ,?, an

1 1 (1) ? | a1 ? a2 | ,即经 T1 (c1 ) 后,前两项相等; ? a1 ? a2 ) ,则 a1(1) ? a2 2 2 1 (1) 1 (1) (1) (2) (2) (2) (1) 取 c2 ? ( a2 ? a3 ) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? | a3 ? a2 | ,即经 T2 (c2 ) 后,前 3 项相等; 2 2 1 ( k ?1) ( k ?1) ? ak 设进行变换 Tk (ck ) 时,其中 ck ? (ak ?1 ) ,变换后数列变为 2
取 c1 ?
(k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) a1(k ) , a2 , a3 ,?, ak ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 , ak ?2 ,?, an ,则 a1 ?1 ;

那么,进行第 k ? 1 次变换时,取 ck ?1 ?

1 (k ) (k ) (ak ?1 ? ak ?2 ) , 2

( k ?1) ( k ?1) ( k ?1) ( k ?1) ( k ?1) ( k ?1) ( k ?1) 则变换后数列变为 a1 , , a2 , a3 ,?, ak ?1 , ak ?2 , ak ?3 ,?, an ( k ?1) ( k ?1) ( k ?1) ( k ?1) ( k ?1) 显然有 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 ? ak ?2 ; ( n?1) ( n?1) ( n?1) ( n?1) ( n?1) 经过 n ? 1 次变换后,显然有 a1 ; ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? an
( n?1) 最后,取 cn ? an ,经过变换 Tn (cn ) 后,数列各项均为 0.

所以对任意数列,都存在 “ n 次归零变换” (Ⅲ)不存在“ n ? 1 次归零变换” 证明 :首先,“归零变换”过程中 ,若在其中进行某一次变换 Tj (c j ) 时, c j ? min{a1 , a2 ,?, an } , 那么 此变换次数便不是最少.这是因为,这次变换并不是最后的一次变换(因它并未使数列化为全零),设先 进 行 Tj (c j ) 后 , 再 进 行 Tj ?1 (c j ?1 ) , 由 || ai ? c j | ?c j ?1 |?| ai ? (c j ? c j ?1 ) | , 即 等 价 于 一 次 变 换

Tj (c j ? c j ?1 ) ,同理,进行某一步 Tj (c j ) 时, c j ? max{a1 , a2 ,?, an };此变换步数也不是最小.
由 以 上 分 析 可 知 , 如 果 某 一 数 列 经 最 少 的 次 数 的 “ 归 零 变 换 ”, 每 一 步 所 取 的 ci 满 足

m i na { ,2 ? , a 1 a n, ? } c i?

m aa ? , 1x {a 2

. , , na

}

以下用数学归纳法来证明,对已给数列,不存在“ n ? 1 次归零变换”. (1)当 n ? 2 时,对于 1,4,显然不存在 “一次归零变换” ,结论成立. (由 (Ⅱ)可知,存在 “两次归零变换”变换: T1 ( ), T2 ( ) ) (2)假设 n ? k 时成立,即 1, 2 ,3 ,?, k 不存在“ k ? 1 次归零变换”.
2 3 k

5 2

3 2

当 n ? k ? 1 时,假设 1, 2 ,3 ,?, k ,(k ? 1)
2 3 k

k ?1

存在“ k 次归零变换”.

2 3 k 此 时 , 对 1, 2 ,3 ,?, k 也 显 然 是 “ k 次 归 零 变 换 ”, 由 归 纳 假 设 以 及 前 面 的 讨 论 不 难 知

1, 22 ,33 ,?, k k 不 存 在 “ k ? 1 次 归 零 变 换 ”, 则 k 是 最 少 的 变 换 次 数 , 每 一 次 变 换 ci 一 定 满 足
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1 ? ci ? k k , i ? 1, 2,?, k .
因为 | ?|| (k ? 1)k ?1 ? c1 | ?c2 | ?? ? ck |? (k ? 1)k ?1 ? (c1 ? c2 ? ?? ck )

? (k ? 1)k ?1 ? k ? kk ? 0
所以, (k ? 1)k ?1 绝不可能变换为 0,与归纳假设矛盾. 所以,当 n ? k ? 1 时不存在“ k 次归零变换”. 由(1)(2)命题得证
24. (2013 届北京丰台区一模理科)设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,?,)阶“期

待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ; ② a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1. (Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ; (Ⅱ)若某 2k+1( k ? N * )阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) , 试证: (1) S k ? 1 ;
2
n (2) ? ai ? 1 ? 1 . 2 2n i ?1 i

【答案】解: (Ⅰ)数列 ?

1 1 , 0, 为三阶期待数列…………………………………1 分 2 2

数列 ?

3 1 1 3 , ? , , 为四阶期待数列,………………..…..3 分(其它答案酌情给分) 8 8 8 8
? 1) 的公差为 d ,

(Ⅱ)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2k ?1 (k

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ? 0 , ? (2k ? 1)a1 ?
即 ak ?1

2k (2k ? 1)d ? 0, 所以 a1 ? kd ? 0 , 2
?????????????4 分

? 0 , ? ak ?2 ? d ,

当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾, ???????????????5 分 当 d>0 时,据期待数列的条件①②得:
第 25 页,共 53 页

1 ak ? 2 ? ak ?3 ? ? ? a2 k ?1 ? , 2
? kd ?
k (k ? 1) 1 1 d ? ,即d ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 , ? 0,即a1 ? ? k (k ? 1) k ?1

? an ? ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ? ? (n ? N ? , n ? 2k ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k ???7 分

当 d<0 时, 同理可得 kd ?

k (k ? 1) 1 1 d ? ? ,即d ? ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 ? 0,即a1 ? , k (k ? 1) k ?1

? an ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ?? ? (n ? N ? , n ? 2n ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k ??8 分

(Ⅲ) (1)当 k=n 时,显然 当 k<n 时,据条件①得

Sn ? 0 ?

1 成立;????????9 分 2

Sk ? a1 ? a2 ? ?? ak ? ?(ak ?1 ? ak ?2 ???? ? an ) ,


S k ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ? ? an



? 2 Sk ? a1 ? a2 ??? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ??? an

? a1 ? a2 ??? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ??? an ? 1 ,
? Sk ?

1 (k ? 1, 2,3,? , n). 2 ??????????11 分

(2) ?
i ?1

n

ai a a a a a a ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n i 1 2 3 4 n ?1 n

? S1 ?

S ?S S ? Sn ?1 S2 ? S1 S3 ? S2 S4 ? S3 ? ? ? ? ? n?1 n?2 ? n 2 3 4 n ?1 n

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?

S S S S1 S2 S ? ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1)n n S Sn?1 S1 S S ? 2 ? 3 ? 4 ??? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1)n

?

1?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? 2 ? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ?1)n ?
1?1 1 1 1 1 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? . 2? 2 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2n ??????14 分
25. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)本小题满分 14 分)
* 设数列 {an } 对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) (其中 k 、 b 、 p 是常数) .

(I)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (II)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (III) 若数列 ?an ? 中任意 ( 不同 ) 两项之和仍是该数列中的一项 , 则称该数列是“封闭数列”.当

k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 , 试问:是否存在这样的“封闭数
列”

?an ? ,使得对任意 n ? N* ,都有 Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 .若存在,求数列 ? ? ? ??? ? 12 S1 S2 S3 Sn 18

?an ? 的首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(I)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,

3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,



用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ② ②—①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an , 在①中令 n ? 1 得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴

an ?1 ? 3, an
3n ? 1 2

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = (II)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) ,
第 27 页,共 53 页

③ ④

④—③得,

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,

⑤. ⑥

用 n ? 1 去代 n 得, nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 ,

⑥—⑤得, nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,. ∴数列 {an } 是等差数列.∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 , ∴公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 9?3

(III)由(II)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) . 又 ?an ? 是“封闭数列”,得:对任意 m, n ? N* ,必存在 p ? N* 使

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数,
又由已知 ,

18 18 1 1 11 ? ? , 故 ? a1 ? 12 . 一方面 , 当 ? a1 ? 12 时 , Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 , 对任 11 11 12 S1 18

意 n ? N* ,都有

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . S1 S2 S3 Sn S1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 , ? ? ? ? ??? ? 1? Sn n n ? 1 S1 S2 S3 Sn n ?1

另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) ,

取 n ? 2 ,则

1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意. S1 S2 3 3 18
1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18
当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18


18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 11

第 28 页,共 53 页

26. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知每项均是正整数的数列 a1, a2 , a3 ,?, a100 ,

其 中 等 于 i 的 项 有 k i 个 (i ? 1, 2,3?) , 设 b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j

( j ? 1 ,? 2 ,, 3

)

g (m) ? b1 ? b2 ? ?? bm ?100m (m ? 1, 2,3?).
(Ⅰ)设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 ,求 g (1), g (2), g (3), g (4) ; (Ⅱ)若 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50, 比较 g (m), g (m ? 1) 的大小; (Ⅲ)若 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 200 ,求函数 g ( m) 的最小值.

【答案】解: (I) 因为数列

k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 ,

所以

b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 ,

所以 g (1) ? ?60, g (2) ? ?90, g (3) ? ?100, g (4) ? ?100 ???????4 分 (II) 一方面, g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? 100 , 根据 b j 的含义知 bm?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) , 当且仅当 bm?1 ? 100 时取等号. 因为 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当 1 ? m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) ; 当 m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) ?9 分 (III)设 M 为 ?a1, a2 ,?, a100? 中的最大值. 由(II)可以知道, g ( m) 的最小值为 g ( M ) . 根据题意, bM ? k1 ? k2 ? k3 ? L ? kM ? 100, ①

k1 ? 2k2 ? 3k3 ? L ? MkM ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a100 .
下面计算 g ( M ) 的值.

g ( M ) ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bM ? 100M
第 29 页,共 53 页

? (b1 ? 100) ? (b2 ? 100) ? (b3 ? 100) ? ?? (bM ?1 ? 100) ? (?k2 ? k3 ? ? ? kM ) ? (?k3 ? k4 ? ? ? kM ) ? (?k4 ? k5 ? ? ? kM ) ? ? ? (?kM ) ? ?[k2 ? 2k3 ? ? ? (M ?1)kM ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? ? MkM ) ? (k1 ? k2 ? ? ? kM ) ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) ? bM ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ?? a100 ) ? 100 ,
∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 200 , ∴ g ( m) 最小值为 ?100 . ∴ g ( M ) ? ?100 ,

????????????????.14 分 ,记 x1 , x2 ,?, xn ( n ? 2 ) 满足 | xi |? 1(i ? 1, 2, 3, ? n , )

27 . ( 2013 北京朝阳二模数学理科试题) 已知实数

S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ?n

?

xi x j .

(Ⅰ)求 S ( ?1,1, ? ) 及 S (1,1, ?1, ?1) 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x2 , x3 ) 的最小值; (Ⅲ)求 S ( x1 , x2 ,?, xn ) 的最小值. 注:

2 3

1?i ? j ? n

?

xi x j 表示 x1 , x2 ,?, xn 中任意两个数 xi , x j ( 1 ? i ?
2 3 2 2 ? ? ?1 . 3 3

j ? n )的乘积之和.

【答案】解:(Ⅰ)由已知得 S (?1,1, ? ) ? ?1 ?

S (1,1, ?1, ?1) ? 1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? 1 ? ?2
(Ⅱ)设 S ? S ( x1 , x2 , x3 ) . 当 n ? 3 时, S ? S ( x1 , x2 , x3 ) ?

1?i ? j ?3

?

xi x j ? x1x2 ? x1 x3 ? x2 x3 .

若固定 x2 , x3 ,仅让 x1 变动,此时 S ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ? ( x2 ? x3 ) x 1 ?x 2x 3 , 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ), S (?1, x2 , x3 )} . 同理 S (1, x2 , x3 ) ? min{S (1,1, x3 ), S (1, ?1, x3 )} .

S (?1, x2 , x3 ) ? min{S (?1,1, x3 ), S (?1, ?1, x3 )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可在某一组取值 ?1 的 x1 , x2 , x3 所达到, 于是 S ? min{S ( x1 , x2 , x3 )} .
xk ??1 k ?1,2,3

第 30 页,共 53 页

当 xk ? ?1 ( k ? 1, 2,3 )时, S ?

1 2 2 [( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? ( x12 ? x2 ? x3 )] 2

1 3 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? . 2 2
因为 | x1 ? x2 ? x3 |? 1 ,所以 S ? 因此 Smin ? ?1 (Ⅲ)设 S ? S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1 3 ? ? ?1 ,且当 x1 ? x2 ? 1, x3 ? ?1 时, S ? ?1 . 2 2

1?i ? j ?n

?

xi x j

? x1x2 ? x1x3 ? ? ? x1 xn ? x2 x3 ? ?? x2 xn ? ?? xn?1xn .
固定 x2 , x3 ,?, xn ,仅让 x1 变动,此时

S ? ( x2 ? x3 ? ?? xn ) ? x1 ? ( x2 x3 ? ?? x2 xn ? ?? xn?1xn ) ,
因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ,?, xn ), S (?1, x2 , x3 ,?, xn )} . 同理 S (1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (1,1, x3 ,?, xn ), S (1, ?1, x3 ,?, xn )} .

S (?1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (?1,1, x3 ,?, xn ), S (?1, ?1, x3 ,?, xn )} .
以 此 类 推 , 我 们 可 以 看 出 , S 的 最 小 值 必 定 可 在 某 一 组 取 值 ?1 的 x1 , x2 ,?, xn 所 达 到 , 于 是

S ? min {S ( x1 , x2 ,? , xn )} .
xk ??1 k ?1,2,?, n

当 xk ? ?1 ( k ? 1, 2,?, n )时, S ?

1 2 2 [( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? ( x12 ? x2 ? ? ? xn )] 2

1 n ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? . 2 2 n ①当 n 为偶数时, S ? ? , 2 ?
若取 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1, xn
2 2 ?1

? xn
2

?2

n n ? ? ? xn ? ?1 ,则 S ? ? ,所以 S min ? ? . 2 2

②当 n 为奇数时,因为 | x1 ? x2 ? ? ? xn |? 1 ,所以 S ? ? 若取 x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? 1 , xn?1
2 2

1 ( n ? 1) , 2

1 ? xn?1 ? ? ? xn ? ?1 ,则 S ? ? (n ? 1) , ?1 ?2 2 2

所以 S min ? ?

1 (n ? 1) 2
, ),B( , )是函数

28 . ( 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 A(

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的图象上的任意两点(可以重合),点 M 在

直线 (1)求 (2)已知 +

上,且 的值及 ,当 +

. 的值 时, = , + 为数列{ + + ,求 ; ,

(3)在(2)的条件下,设

}的前 项和,若存在正整数 、

使得不等式

成立,求 和

的值.

【答案】解:

(Ⅰ)∵点 M 在直线 x=

上,设 M

.

又 ∴ +

= =1.

,即

,

,

① 当

=

时,

=

,

+

=

;

② 当

时,

,

+

=

+ + +

= . =1 时, +

=

=

综合①②得,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当



,k=

.
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n≥2 时,

+

+

+

,



, ①+②得,2 当 n=1 时, =-2(n-1),则 =0 满足 =1-n. =1-n.



=1-n. ∴

(Ⅲ)

=

=

,

=1+

+

=

.

.

=2-

,

=

-2+

=2-

,



, 、m 为正整数,∴c=1,

当 c=1 时, ∴1< ∴m=1. <3,

,

29. (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)(本小题满分 13 分)

设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行 (或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每 行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数 , 请写出每次 “操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表 1 (Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数 之和均为非负整数,求整数 ..a 的所有可能值; (Ⅲ)对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A , 1 2 1 3 0

?7
1

?2

a a 2 ? 1 ?a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 a ? 2 a2

能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表 2
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和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 【答案】(I)解:法 1:

1 2 3 ?7 1 2 3 7 1 2 3 7 改变第4列 改变第2行 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 ?2 1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 2:

1 2 3 ?7 1 2 3 ?7 1 2 3 7 改变第2行 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 ?1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 3:

1 2 3 ?7 ?1 2 3 ?7 ?1 2 3 7 改变第1列 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ?1
(II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果首先操作第三列,则

a a2 ? 1 a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 2 ? a a2
则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ? 当a ?

1 5 或a ? 2 2

1 时,则接下来只能操作第一行, 2
?a a 2 2 ? a a2

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ?1 当a ?

5 时,则接下来操作第二行 2

a a2 ? 1 a ?a 2 a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此时第 4 列和为负,不符合题意 ② 如果首先操作第一行

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

a a2 a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2 a 2 当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1 经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求
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综上: a ? 0, ?1 (III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij ( i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n ),各行的数字之和分别为 a1 , a2 ,?, am ,各 列的数字之和分别为 b1 , b2 ,?, bn , A ? a1 ? a2 ? ? ? am , B ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,数表中 m ? n 个实数之和为

S ,则 S ? A ? B .记

K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kn cin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,?, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin ? 0
1?i ?m

?

?

T ? min t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ts ? 1或 ? 1(s ? 1,2,?, m)且 t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ? 0
1? j ?n

?

|

?

? ? min?K , T ? .
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B )增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2 ? ,但是每次操作都只是改变数表中某行 (或某列)各数的符号,而不改变 其绝对值,显然, S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有 限次之后终止.终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数 ,否则,只要再改变该行或该列 的符号, S 就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立
30 . ( 2013 北 京 房 山 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 设 m ? 3 , 对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列

?an ? , 令 bk 为

a1 , a2 ,?, ak (k ? m) 中的最大值,称数列 ?bn ? 为 ?an ? 的“创新数列”.例如数列 3,5,4,7 的创新数
列为 3,5,5,7.考查自然数 1, 2 ,?, m (m ? 3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 ?cn ? . (Ⅰ)若 m ? 5 ,写出创新数列为 3,5,5,5,5 的所有数列 ?cn ? ; (Ⅱ)是否存在数列 ?cn ? 的创新数列为等比数列 ?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明 理由; (Ⅲ)是否存在数列 ?cn ? ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列 ?cn ? 的个数; 若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)由题意,创新数列为 3,5,5,5,5 的所有数列

?cn ?有 6 个,

3,5,1,2,4; 3,5,1,4,2; 3,5,2,1,4; 3,5,2,4,1; 3,5,4,1,2; 3,5,4,2,1; (Ⅱ)存在数列 ?cn ? 的创新数列为等比数列. 设数列 ?cn ? 的创新数列为 {en } , 因为 em 为前 m 个自然数中最大的一个,所以 em ? m .若 {en } 为等比数列,
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设公比为 q ,因为 ek ?1 ? ek (k ? 1,2,?, m ? 1) ,所以 q ? 1 当 q ? 1 时, {en } 为常数列满足条件,即为数列 m, m, ?, m 当 q ? 1 时, {en } 为增数列,符合条件的数列只能是 1,2, ?, m , 又 1,2, ?, m 不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个. (Ⅲ)存在数列 ?cn ? ,使它的创新数列为等差数列, 设数列 ?cn ? 的创新数列为 {en } ,因为 em 为前 m 个自然数中最大的一个, 所以 em ? m .若 {en } 为等差数列,设公差为 d ,
* 因为 ek ?1 ? ek (k ? 1,2,?, m ? 1) ,所以 d ? 0 .且 d ? N

当 d ? 0 时, {en } 为常数列满足条件,即为数列 m, m, ?, m (或写通项公式 en ? m (n ? 1,2,?, m) ),
m?1 此时数列 ?cn ? 是首项为 m 的任意一个排列,共有 Am ?1 个数列;

当 d ? 1 时,符合条件的数列 {en } 只能是 1,2, ?, m ,此时数列 ?cn ? 是 1,2, ?, m , 有 1 个; 当 d ? 2 时,? em ? e1 ? (m ? 1)d ? e1 ? 2(m ? 1) ? e1 ? m ? m ? 2 又 m ? 3

? m ? 2 ? 0 ? em ? m 这与 en ? m 矛盾,所以此时 {en } 不存在.
m?1 ?1 个). 综上满足条件的数列 ?cn ? 的个数为 Am ?1 ? 1 个(或回答 (m ? 1)!

31. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 满足条

件: ①

? xi ? 0 ;
i ?1

n



?x
i ?1

n

i

?1.

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1 ; (Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) , 求证:

?a x
i ?1

n

i i

1 ? (a1 ? an ) . 2

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【答案】(Ⅰ)解: ?

? ? x1 ? x2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 1.

(1) (2)

由(1)得 x2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x2 ? 0 .

1 ? x1 ? , ? ? 2 当 x1 ? 0 时, x2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ???????????2 分 ?x ? ? 1 . 2 ? ? 2 1 ? x1 ? ? , ? ? 2 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ??????????????????4 分 ?x ? 1 . 2 ? ? 2
(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1. 所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3

? x1 ? x3 ? x1 ? x3 ? 1.??????????????????9 分
(Ⅲ)证明:因为 a1 ? ai ? an ,且 a1 ? an (i ? 1, 2,3,?, n) . 所以 (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? a1 ? an , 即 a1 +an ? 2ai ? a1 ? an

(i ? 1, 2,3,?, n) .???????????11 分

?a x
i ?1

n

i i

?

?a x ? 2 a ? x ? 2 a ? x
i ?1 i i 1 i ?1 i n i ?1

n

1

n

1

n

i

?

1 2

? (2a ? a ? a ) x
i ?1 i 1 n

n

i

?

1 n 1 n ) ( a ? a ? 2 a x ? ( a1 ? an xi ) ? 1 n i i 2? 2 i ?1 i ?1

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?
?

1 a1 ? an 2

?x
i ?1

n

i

1 ( a1 ? an ) .???????????????????????14 分 2

32. (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )设 a1 , a2 ,? a20 是首项为 1,公比为 2

的等比数列,对于满足 0 ? k ? 19 的整数 k ,数列 b1 ,b2 ,? b20 由 ?
20

?an ? k ,当1 ? n ? 20 ? k时 ?an ? k ? 20 ,当20 - k ? n ? 20时



定。记 M ?

?a b
n ?1

n n

(Ⅰ)当 k ? 1 时,求 M 的值; (Ⅱ)求 M 的最小值及相应的 k 的值

【答案】 33. (2013 北京西城高三二模数学理科)已知集合 Sn

? {( x1, x2 ,?, xn ) | x1, x2 ,?, xn 是正整数 1, 2,3,?, n 的

一个排列 } (n ? 2) ,函数

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?1, x ? 0, g ( x) ? ? ??1, x ? 0.
对于 (a1 , a2 ,…an ) ? Sn ,定义: bi ? g (ai ? a1 ) ? g (ai ? a2 ) ? ?? g (ai ? ai ?1 ), i ?{2,3,?, n} , b1 ? 0 , 称 bi 为 ai 的满意指数.排列 b1 , b2 ,?, bn 为排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列;排列 a1 , a2 ,?, an 为排列

b1 , b2 ,?, bn 的母列.
(Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列及排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列;

?, a2 ? ,?, an ? 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不同; (Ⅱ)证明:若 a1 , a2 ,?, an 和 a1
(Ⅲ)对于 Sn 中的排列 a1 , a2 ,?, an ,定义变换 ? :将排列 a1 , a2 ,?, an 从左至右第一个满意指数为负数 的项调至首项 , 其它各项顺序不变 , 得到一个新的排列 . 证明 : 一定可以经过有限次变换 ? 将排列

a1 , a2 ,?, an 变换为各项满意指数均为非负数的排列.
【答案】(Ⅰ)解:当 n ? 6 时,排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列为 0,1, ?2,1, 4, ?3 ;

排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列为 3, 2, 4,1,6,5

?, a2 ? ,?, an ? 的生成列是与 b1?, b2 ? ,?, bn ?. (Ⅱ)证明:设 a1 , a2 ,?, an 的生成列是 b1 , b2 ,?, bn ; a1 ?, a2 ? ,?, an ? 第 一 个 不 同 的 项 为 ak 与 ak ? , 从 右 往 左 数 , 设 排 列 a1 , a2 ,?, an 与 a1 ? , an?1 ? an ?. ? ?1 , ? , ak ?1 ? ak ? ?1 , ak ? ak 即: an ? an ??1 , ? , bk ?1 ? bk ??1 ,下面证明: bk ? bk ? , bn?1 ? bn ? 显然 bn ? bn
由满意指数的定义知, ai 的满意指数为排列 a1 , a2 ,?, an 中前 i ? 1 项中比 ai 小的项的个数减去比 ai 大 的项的个数. 由于排列 a1 , a2 ,?, an 的前 k 项各不相同 , 设这 k 项中有 l 项比 ak 小 , 则有 k ? l ? 1 项比 ak 大 , 从而

bk ? l ? ( k ? l ?1) ? 2l ? k ?1. ?, a2 ? ,?, an ? 中有 l ? 项比 ak ? ? 2l ? ? k ? 1 . ? 小,则有 k ? l ? ? 1 项比 ak ? 大,从而 bk 同理,设排列 a1 ?, a2 ? ,?, ak ? 是 k 个不同数的两个不同排列,且 ak ? ak ?, 因为 a1 , a2 ,?, ak 与 a1

?. 所以 l ? l ? , 从而 bk ? bk
?, a2 ? ,?, an ? 的生成列也不同 所以排列 a1 , a2 ,?, an 和 a1
(Ⅲ)证明:设排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列为 b1 , b2 ,?, bn ,且 ak 为 a1 , a2 ,?, an 中从左至右第一个满意指

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数为负数的项,所以 b1 ? 0, b2 ? 0,?, bk ?1 ? 0, bk ? ?1 进 行 一 次 变 换 ? 后 , 排 列 a1 , a2 ,?, an 变 换 为 ak , a1 , a2 ,?ak ?1 , ak ?1 ,?, an , 设 该 排 列 的 生 成 列 为

? ,?, bn ?. b1?, b2 ? ? b2 ? ? ?? bn ? ) ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) 所以 (b1 ? [ g (a1 ? ak ) ? g (a2 ? ak ) ? ?? g (ak ?1 ? ak )] ? [ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ? ?? g (ak ? ak ?1 )]
? ?2[ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ? ?? g (ak ? ak ?1 )]

? ?2bk ? 2
因此,经过一次变换 ? 后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加 2 . 因为 ai 的满意指数 bi ? i ? 1,其中 i ? 1, 2,3, ?, n , 所以,整个排列的各项满意指数之和不超过 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 即整个排列的各项满意指数之和为有限数, 所以经过有限次变换 ? 后,一定会使各项的满意指数均为非负数
34. (2013 北京东城高三二模数学理科)已知数列 {an } , a1

(n ? 1)n , 2

? 1 , a2n ? an , a4n?1 ? 0 , a4n?1 ? 1 (n ? N*) .

(Ⅰ)求 a4 , a7 ; (Ⅱ)是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an ; (Ⅲ)设 S ?

a a a1 a2 ? 2 ? 33 ? ? ? nn ? ? ,问 S 是否为有理数,说明理由. 10 10 10 10

【答案】(共 13 分)解:(Ⅰ) a4

? a2 ? a1 ? 1 ; a7 ? a4?2?1 ? 0 .

(Ⅱ)假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an . 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ), 则 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4( n?t )?1 ? 0 . 与已知 a4n?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ),则 a2n?T ? a2n ? an ,而 a2n?T ? a2n?2t ? an?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an .
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(Ⅲ)若 S 为有理数,即 S 为无限循环小数, 则存在正整数 N 0 , T ,对任意的 n ? N * ,且 n ? N0 ,有 an?T ? an . 与(Ⅱ)同理,设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ), 当 4n ? 1 ? N0 时,有 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4( n?t )?1 ? 0 .与已知 a4n?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ), 当 n ? N0 时,有 a2n?T ? a2n ? an ,而 a2n?T ? a2n?2t ? an?t 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 故 S 不是有理数
35. (2013 北京高考数学(理) )已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n

从而 an?t ? an .

项之后各项 an ?1 , an?2 ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn . (I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N , an? 4 ? an ),写出 d1,d2,d3,d4
*

的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.

【答案】(I) d1

? d2 ? 1, d3 ? d4 ? 3.

(II)(充分性)因为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? . 因此 An ? an , Bn ? an?1 , dn ? an ? an?1 ? ?d (n ? 1, 2,3,?) . (必要性)因为 dn ? ?d ? 0 (n ? 1,2,3, ? ) ,所以 An ? Bn ? dn ? Bn . 又因为 an ? An , an?1 ? Bn ,所以 an ? an?1 . 于是 An ? an , Bn ? an?1 .

因此 an?1 ? an ? Bn ? An ? ?dn ? d ,即 ?an ? 是公差为 d 的等差数列. (III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A 1 ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B 1 ? 1. 假设 ?an ? (n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,. 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? dm ? 2 ?1 ? 1 , Bm?1 ? min ?am , Bm? ? 2 .
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故 dm?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 dm?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1 ,有 an ? 2 ,即非负整数列 ?an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1 , an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? dn ? 2 ?1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ?an ? 有无穷多项为 1.
36. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)给定有限单调递增数列{xn}(n∈N ,n≥2)且 xi≠0(1≤ i
*

≤n),定义集合 A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且 i,j∈N }.若对任意点 A1∈A,存在点 A2∈A 使得 OA1⊥OA2(O 为 坐标原点),则称数列{xn}具有性质 P. (I)判断数列{xn}:-2,2 和数列{yn}:-2,-l,1,3 是否具有性质 P,简述理由. (II)若数列{xn}具有性质 P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj =0: ②若 x1=-1, xn>0 且 xn>1,则 x2=l. (Ⅲ)若数列{xn}只有 2013 项且具有性质 P,x1=-1,x3 =2,求{xn}的所有项和 S2013.
【答案】

*

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37. (2013 届北京西城区一模理科)已知集合 Sn

? {X | X ? ( x1, x2 ,?, xn ), xi ? N* , i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) .

对于 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) ? Sn ,定义 AB ? (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?, bn ? an ) ;

??? ?

? (a1, a2 ,?, an ) ? (?a1, ?a2 ,?, ?an ) (? ? R) ; A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1

n

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2, a5 ) , B ? (2, 4, 2,1,3) .若 d ( A, B) ? 7 ,求 a5 ; (Ⅱ) (ⅰ)证明:若 A, B, C ? Sn ,且 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,则 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ; (ⅱ)设 A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) .是否一定 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ? 说明理由; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? Sn .若 A , B ? Sn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,求 d ( A, B) 的最大值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

第 43 页,共 53 页

【答案】 (Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 d ( A, B) ?

?| a ? b | ? 7 ,
i ?1 i i

5

得 |1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? |1 ? 2 | ? | 2 ?1| ? | a5 ? 3| ? 7 ,即 | a5 ? 3| ? 2 . 由 a5 ? N* ,得 a5 ? 1 ,或 a5 ? 5 . ??????3 分

(Ⅱ) (ⅰ)证明:设 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) , C ? (c1 , c2 ,?, cn ) . 因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC , 所以 ?? ? 0 ,使得 (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?,bn ? an ) ? ? ((c1 ? b1, c2 ? b2 ,?,cn ? bn ) , 即 ?? ? 0 ,使得 bi ? ai ? ? (ci ? bi ) ,其中 i ? 1, 2,?, n . 所以 bi ? ai 与 ci ? bi (i ? 1, 2,?, n) 同为非负数或同为负数. 所以 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? 5分

??? ?

??? ?

?| ai ? bi | ??| bi ? ci |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? ai | ? | ci ? bi |)
i ?1 n

n

? ? | ci ? ai | ? d ( A, C ) .??6 分
i ?1

? d ( B, C ?) ( ⅱ ) 解 : 设 A, B, C ? Sn , 且 d ( A, B)

d ( A,, C) 此 时 不 一 定 ?? ? 0 , 使 得

? ? ?? ? ? ?? . A B? ? B C

??????7 分

反例如下:取 A ? (1,1,1,?,1) , B ? (1, 2,1,1,?,1) , C (2, 2, 2,1,1,?,1) , 则 d ( A, B) ? 1 , d ( B, C ) ? 2 , d ( A, C ) ? 3 ,显然 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) . 因为 AB ? (0,1,0,0,?,0) , BC ? (1,0,1,0,0,?,0) , 所以不存在 ? ? ? ,使得 AB ? ? BC . (Ⅲ)解法一:因为 d ( A, B) ?
n i i

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?8 分

?| b ? a | ,
i ?1

设 bi ? ai (i ? 1, 2,?, n) 中 有 m (m ? n) 项 为 非 负 数 , n ? m 项 为 负 数 . 不 妨 设 i ? 1, 2,?, m 时

bi ? ai ? 0 ; i ? m ? 1, m ? 2,?, n 时, bi ? ai ? 0 .
所以 d ( A, B) ?

?| b ? a |
i ?1 i i

n

? [(b1 ? b2 ? ?? bm ) ? (a1 ? a2 ? ?? am )] ? [(am?1 ? am?2 ? ?? an ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? bn )]
第 44 页,共 53 页





d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,
所以

? (ai ?1) ? ? (bi ?1) , 整理得
i ?1 i ?1

n

n

? a ? ?b .
i ?1 i i ?1 i

n

n





d ( A, B) ? ? | bi ? ai |? 2[b1 ? b2 ? ? ? bm ? (a1 ? a2 ? ? ? am )]
i ?1

n







b1 ? b2 ? ?? bm ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? bn )
? ( p ? n) ? (n ? m) ?1 ? p ? m ;
又 a1 ? a2 ? ?? am ? m ?1 ? m , 所以 d ( A, B) ? 2[b1 ? b2 ? ?? bm ? (a1 ? a2 ? ?? am )]

? 2[( p ? m) ? m] ? 2 p .即 d ( A, B) ? 2 p .

?????12 分

对于 A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) ,有 A , B ? Sn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . 13 分 解法二:首先证明如下引理:设 x, y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | , 即 | x ? y | ?| x | ? | y | . 所以 d ( A, B) ?
n

?| bi ? ai | ? ?| (bi ?1) ? (1 ? ai ) |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? 1| ? |1 ? ai |)
i ?1

? ? | ai ? 1| ? ? | bi ? 1| ? 2 p ??11 分
i ?1 i ?1

n

n

上式等号成立的条件为 ai ? 1 ,或 bi ? 1 ,所以 d ( A, B) ? 2 p .

12 分

对于 A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) ,有 A , B ? Sn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . 13 分

38. (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) )数列 ?an ? 的各项都是正数,前 n 项和为 Sn ,且对任
3 3 3 3 2 意 n ? N ? ,都有 a1 . ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn 2 (Ⅰ)求证: an ? 2Sn ? an ;

第 45 页,共 53 页

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.
【答案】证明:(I)当 n ? 1 时, a1 ? a1
3 2

因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 1
3 3 3 3 2 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn 3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? Sn ?1





3 ①-②得, an ? an (2a1 ? 2a2 ? ? ? 2an?1 ? an )

因为 an ? 0

2 ? 2a1 ? 2a2 ??? 2an-1 ? an , 所以 an

2 ? 2Sn-an 即 an

因为 a1 ? 1 适合上式

2 ? 2Sn-an (n ? N ? ) 所以 an 2 ? 2Sn -an (n ? N ? ) ③ (Ⅱ)由(I)知 an 2 当 n ? 2 时, an ?1 ? 2 Sn ?1 ? an ?1



2 2 ③-④得 an - an -1 ? 2( Sn -Sn -1 )-an ? an -1 ? 2an -an ? an -1 ? an ? an -1

因为

an ? an -1 ? 0 ,所以 an -an -1 ? 1

所以数列 ?an ? 是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an ? n

39. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )现有一组互不相同且从小到大排列的数据

a0 , a1, a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 a0 ? 0 .
记 T ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , xn ?

n 1 , yn ? ? a0 ? a1 ? ? ? an ? ? n ? 0,1,2,3,4,5? ,作函数 5 T

y ? f ? x ? ,使其图象为逐点依次连接点 P n ? xn , yn ?? n ? 0,1,2,3,4,5? 的折线.
(Ⅰ)求 f ? 0? 和 f ?1? 的值; (Ⅱ)设直线 P n?1P n 的斜率为 kn ? n ? 1,2,3,4,5? ,判断 k1 , k2 , k3 , k4 , k5 的大小关系; (Ⅲ)证明:当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? x .

第 46 页,共 53 页

【答案】 (Ⅰ)解: f ? 0? ?

a0 ?0, a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

????????????2 分

f ?1? ?

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 1; a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

????????????4 分

(Ⅱ)解: kn ? 因为 所以

yn ? yn ?1 5 ? an , n ? 1,2,3,4,5 . ????????????6 分 xn ? xn ?1 T

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? k5 .
????????????8 分

(Ⅲ)证:由于 f ? x ? 的图象是连接各点 P n ? xn , yn ?? n ? 0,1,2,3,4,5? 的折线,要证明

f ? x ? ? x ? 0 ? x ? 1? ,只需证明 f ? xn ? ? xn ? n ? 1,2,3,4? .
事实上,当 x ? ? xn?1, xn ? 时,

????9 分

f ? x? ?
?

f ? xn ? ? f ? xn?1 ? ? ? x ? xn?1 ? ? f ? xn?1 ? xn ? xn?1

xn ? x x ? xn?1 f ? xn?1 ? ? f ? xn ? xn ? xn ?1 xn ? xn ?1 xn ? x x ? xn ?1 xn ?1 ? xn xn ? xn ?1 xn ? xn ?1

?

? x.
下面证明 f ? xn ? ? xn . 法一:对任何 n ? n ? 1,2,3,4? ,

5 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? ?n ? ? 5 ? n ? ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ??????10 分

? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? ? ?5 ? n??a1 ? a2 ? ?? an ? ? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? ? ?5 ? n? nan ??????????????11 分
? n? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 5 ? n ? an ? ?

? n ? a1 ? a2 ? ?? an ? an?1 ? ?? a5 ? ? nT ??????????12 分

第 47 页,共 53 页

所以

f ? xn ? ?

a1 ? a2 ? ? ? an n ? ? xn .??????????13 分 T 5

法二:对任何 n ? n ? 1,2,3,4? , 当 kn ? 1 时,

yn ? ? y1 ? y0 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?? ? yn ? yn?1 ?
? 1 n ? k1 ? k2 ? ? ? kn ? ? ? xn ;???????????????10 分 5 5

当 kn ? 1 时,

yn ? y5 ? ? y5 ? yn ?
? 1? ? ?? yn ?1 ? yn ? ? ? yn ?2 ? yn ?1 ? ? ? ? ? y5 ? y4 ? ? ?

1 ? kn?1 ? kn ?2 ? ? ? k5 ? 5 1 n ? 1 ? ? 5 ? n ? ? ? xn . 5 5 ? 1?
综上, f ? xn ? ? xn . ???????????????13 分
2

40. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )将正整数 1, 2,3, 4,?, n ( n ? 2 )任意排成 n

行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数 a , b ( a ? b )的比值 值中的最小值为这个数表的“特征值”. (Ⅰ)当 n ? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ;

a ,称这些比 b

(Ⅱ)若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) ,且满足

?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j, 请分别写出 n ? 3, 4,5 时数表的 “特征值” , 并由此归纳此类数表的 “特 aij ? ? ?i ? (n ? i ? j ? 1)n,i ? j,
征值” (不必证明) ;

?? (Ⅲ) 对于由正整数 1, 2,3, 4,?, n 排成的 n 行 n 列的任意数表, 记其 “特征值” 为? , 求证:
2

n ?1 . n

【答案】证明: (Ⅰ)显然,交换任何两行或两列,特征值不变.

可设 1 在第一行第一列,考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能, 2, 3 或 2, 4 或 3, 4 . 得到数表的不同特征值是

3 4 或 . 2 3
7 1

????????????3 分
4

第 48 页,共 53 页

(Ⅱ)当 n ? 3 时,数表为

5 3

8 6

2 9

此时,数表的“特征值”为 .
13

4 3

????????????????????4 分
1 14 11 8 5 2 15 12 9 6 3 16

当 n ? 4 时,数表为

10 7 4

此时,数表的“特征值”



5 . 4

?????????????????????5 分
21 1 22 18 14 10 6 2 23 19 15 11 7 3 24 20 16 12 8 4 25

当 n ? 5 时,数表为

17 13 9

此时,数表的“特征值”

5



6 . ??????????????????????6 分 5 n ?1 猜想“特征值”为 . ???????????????????????7 分 n
(Ⅲ)对于一个数表而言, n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数中,要么至少有两个数在一个
2 2 2

数表的同一行(或同一列)中,要么这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中. ①当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数,至少有两个数在数表的同一行(或同一列)中时,
2 2 2

设 a , b ( a ? b )为该行(或列)中最大的两个数,则 ? ?

a n2 ? 2 , b n ? n ?1

因为

n2 n ? 1 n3 ? (n3 ? 1) 1 ? ? ?? ? 0, 2 2 2 n ? n ?1 n n(n ? n ? 1) n(n ? n ? 1)

所以

n2 n ?1 n ?1 ? . ,从而 ? ? 2 n n ? n ?1 n
2 2 2

????????????????10 分

②当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时,
2 2 当它们中的一个数与 n ? n 在同行(或列)中,设 a 为与 n ? n 在同行、同列中的两个最大数中的较

第 49 页,共 53 页

小的一个.则有 ? ? 综上可得 ? ?

a n2 ? 1 n ? 1 ? ? . n2 ? n n2 ? n n
????????????????????????13 分

n ?1 . n

41. (2013 届北京大兴区一模理科)已知数列 {an } 的各项均为正整数,且 a1

? a2 ? ? ? an ,

设集合 Ak ? {x | x ?

? ? a ,?
i ?1 i i

n

i

? ?1,或?i ? 0,或?i ? 1} ( 1 ≤ k ≤ n) 。
k

性质 1 若对于 ?x ? Ak ,存在唯一一组 ?i ( i ? 1,2, ???,k )使 x ? ? ?i ai 成立,则称数列 {an } 为完备数
i ?1

列,当 k 取最大值时称数列 {an } 为 k 阶完备数列。

( ) 性质 2 若记 mk ? ? a ,且对于任意 x ≤ mk , x ? Z ,都有 x ? Ak 成立,则称数列 {an } 为 i 1≤ k ≤ n
i ?1

k

完整数列,当 k 取最大值时称数列 {an } 为 k 阶完整数列。 性质 3 若数列 {an } 同时具有性质 1 及性质 2,则称此数列 {an } 为完美数列,当 k 取最大值时 {an } 称 为 k 阶完美数列; (Ⅰ)若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,求集合 A2 ,并指出 {an } 分别为几阶完备数列,几阶完 整数列,几阶完美数列; (Ⅱ)若数列 {an } 的通项公式为 an ? 10n?1 ,求证:数列 {an } 为 n 阶完备数列,并求出集合 An 中所 有元素的和 S n 。 (Ⅲ)若数列 {an } 为 n 阶完美数列,求数列 {an } 的通项公式。
【答案】解: (Ⅰ) A2

? {?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4} ;

{an } 为 2 阶完备数列, n 阶完整数列,2 阶完美数列;
(Ⅱ)若对于 ?x ? An ,假设存在 2 组 ? i 及 ?i ( i ? 1,2?, n )使 x ?

?? a
i ?1 i

n

i

成立,则有

?1100 ? ?2102 ? ? ? ?n 10n?1 ? ?1100 ? ?2102 ? ? ? ?n10n?1 ,即
(?1 ? ?1 )100 ? (?2 ? ?2 )101 ? ? ? (?n ? ?n )10n?1 ? 0 , 其 中 ?i , ?i ?{?1,0,1} , 必 有

?1 ? ?1 , ?2 ? ? 2 ??n ? ? n ,
所以仅存在唯一一组 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ?

?? a
i ?1 i

n

i

成立,

第 50 页,共 53 页

即数列 {an } 为 n 阶完备数列;

S n ? 0 , 对 ?x ? An , x ? ? ?i ai , 则 ? x ? ?? ?i ai ?? (??i )ai , 因 为 ?i ? {?1,0,1} , 则
i ?1

n

n

n

i ?1

i ?1

? ?i ? {?1,0,1} ,所以 ? x ? An ,即 S n ? 0
(Ⅲ) 若存在 n 阶完美数列, 则由性质 1 易知 An 中必有 3 个元素, 由 (Ⅱ) 知 An 中元素成对出现 (互 为相反数) ,且 0 ? An ,又 {an } 具有性质 2,则 An 中 3 个元素必为
n n

An ? {?

3n ? 1 3n ? 3 3n ? 3 3n ? 1 3n ? 1 ,? ,? ? 1,0,1,? , } , mn ? 。 2 2 2 2 2

下面用数学归纳法证明 a n ? 3 n ?1 显然 n ? 1,2 时命题成立,假设当 n ? k ( k ? 1, k ? N ) 时命题成立,即

Ak ? {?

3k ? 1 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 1 ,? , ? ? 1,0,1, ? , } 2 2 2 2

当 n ? k ? 1 时,只需证

Ak ?1

3k ? (3k ? 2) 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 3k ? 2 n 3k ?1 ? (3k ? 2) 3k ?1 ? 1 ? {? ,0, ,? , , ?, ,3 , ?, } 由 2 2 2 2 2 2

于对称性只写出了 Ak ?1 元素正的部分,其中 1 ?

3 k ? (3 k ? 2) 2

既 Ak 中正的部分的

3k ? 1 3k ? i k 个元素统一为 ,其中 i ? 1,3,5, ?,3 ? 2 2 2

则 Ak ?1 中 从

3k ? 1 3k ? 1 3k ? i 3k ? i 3k ? 3k ? 2 k ? ,到 这 个 元 素可以 用 3 ? 唯 一 表 示其 中 2 2 2 2 2

i ? 1,3,5, ?,3k ? 2 ,
Ak ?1 中从( 3 k +1)到最大值
其中 i ? 1,3,5, ?,3 ? 2
k
n 3 k ?1 ? 1 个元素都存在唯一一组 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ? ? ?i ai 成立, Ak ?1 中正的部分 2 i ?1

3 k ?1 ? 1 3 k ? 1 3 k ? i 3 k ?1 ? i k ? 这 个元素可用 3 ? 唯一表示 2 2 2 2

第 51 页,共 53 页

所以当 n ? k ? 1 时命题成立。 即{ an }为 n 阶完美数列, an ? 3n?1
42. (2010 年高考(北京理) )已知集合 Sn

? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), xi ?{0,1}, i ? 1, 2,…, n}(n ? 2) 对于
, 定 义

A ? (a1 , a2 ,…an ,)

,

B ? (b1, b2 ,…bn ,) ? Sn

A



B







A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数; (Ⅲ) 设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d (P), 证明: d (P)≤

mn . 2(m ? 1)

【答案】证明:(I)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn

因为 ai , bi ??0,1 ? ,所以 ai ? bi ??0,1? , (i ? 1, 2,..., n) 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn 又 d ( A ? C, B ? C ) ?

?|| a ? c |? | b ? c ||
i ?1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) . 当 ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?|| ai ? bi | ; 当 ci ? 1 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi | 所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?| a ? b | ? d ( A, B)
i ?1 i i

n

(II)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .
记 O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知
第 52 页,共 53 页

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k , d ( A, C) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 | bi ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 的 1 的个数为 l ? 设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数? (III) d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B) ,其中 ? d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,设 P 种所有
A, B?P

元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0,则

A, B?P

?

d ( A, B) = ? ti (m ? ti )
i ?1

n

由于 ti (m ? ti ) ?

m2 nm 2 (i ? 1, 2,..., n) ,所以 ? d ( A, B) ? 4 4 A, B?P

1 从而 d ( P) ? 2 Cm

nm mn d ( A, B) ? ? ? 2 4Cm 2(m ? 1) A, B?P

2

第 53 页,共 53 页



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