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数学:3.2.1《指数概念的扩充》课件(北师大版必修1)_图文

分数指数幂 想一想 在§1的问题2,关于臭氧含量Q与时间t的 函数关系,只讨论了自变量是正整数的情 况,如果时间t是半年,或15年零3个月,此 时自变量不是一个整数,而是分数,那么此 时情况又怎样呢? 把整数指数幂 扩充 分数指数幂 x叫做a的平方根; x叫做a的立方根。 问题1:在正整数指数幂的运算bn=a中,已 知正实数a和正整数n,如何求b? x3 ? a x ?a 2 2 x ? 9, x ? 只有唯一的正数 3, 使得3 ? 9 2 把3记作9 ,即3 ? 9 . 5 5 x ? 32, x ?只有唯一的正数 2, 使得2 ? 32 把2记作32 ,即2 ? 32 1 5 1 5 1 2 1 2 一般地,给定正实数a,对于任意给定的正 整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a,我们 1 1 把b叫作a的 次幂,记作b= n a n 说一说 b 2 3 ?4 b叫做4的 次幂 1 b叫做17的 3 次幂 1 x叫做25的 5 次幂 b ? 17 1 2 x ? 25 5 问题2:在bn= am中,已知正实数a和正整数m,n, 如何求b? 一般地,给定正实数a,对于任意给定的正 整数m,n,存在唯一的正实数b,使得bn=am, m 我们把b叫作a的 次幂,记作 n b?a 它就是正分数指数幂。 m n 说一说 b ?5 3 5 2 2 b叫做5的 次幂 3 x ? 25 4 4 b叫做25的 次幂 5 4 ?8 3 2 2 4叫做8的 次幂 3 例题讲解 例5 把下列各式中的b写成正分数指数幂的形式. (1)b ? 32; 5 (2)b ? 3 ; 4 5 (3)b5n ? ? 3m ?m, n ? N? ?; 解 ?1?b ? 32 1 5 ; ?2?b ? 3 ?3?b ? ? 5 4 ; ; 3m 5n 例题讲解 例6 计算 ?1?27 解 1 3 ; ?4?4 . 1 3 3 2 ?1?因为33 ? 27, 所以27 ?2?因为82 ? 43 , 所以4 ? 3; ? 8; 3 2 正分数指数幂的根式形式: a m n ? a n m 写一写 2 1 2 3 3 (1)8 2 ? __ ( 2 ) 8 27 ? __ 27 3 5 3 (3) 4 ? __ 4 (4)27 ? __ 27 3 2 5 3 5 2 2 3 (5) a ? __ a (6) m ? __ m 5 3 2 正数的负分数指数幂 规定 a ? m n ? 1 a m n ?a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1? 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义. 整数指数幂 扩充 有理数指数幂 例7 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式 ?1?b?5 ? 32; 解 ?2?b?4 ? 35 ; ?3?b?2n ? ? 3m ?m, n ? N? ?. 1 ? 5 5 4 ?1?b ? 32 ?2?b ? 3 ? ; ?3?b ? ? ? 3m 2n ?m, n ? N ? ? 例8 计算 ?1?8 解 ? 1 3 ; 3 ?2?27 ? 2 3 1 ?1?因为2 ? 8, 所以8 ? 1 ? 2 83 1 ? 3 1 ?2?因为27 2 ? 9 , 所以9 ? 27 , 27 3 2 3 ? 2 3 1 ? 2 ? . 9 3 27 1 有理数指数幂的运算 整数指数幂的运算性质对于有理数幂也同样适用 ?1?a a ? a ? ? ?? ?2??a ? ? a ? ? ? ?3??ab? ? a b ? ? ? ?? 其中, a ? 0, b ? 0,? , ?是有理数 . 例9 求值: ?1?625 ; 解 3 4 ?2?4 3 4 ? 3 2 4? ; 3 4 ?1?625 ? ?5 3 4 4 ? ? 16 ? ?3?? ? ; ? 81? 3 ; 5 ? ? 125 ? 3 4 ?5 ?2?4 ? 3 2 ? ?2 ? 3 4 3 ? 2 2 ? ?2 ? 3? 2?? ? ? ? 2? 1 ? 2 ? 8 ?3 ? 16 ? ?3?? ? ? 81? ? 2? ?? ? ? 3? ? 3? 4?? ? ? ? 4? 2? ? ? ? ? ? 27 ? 3? ?3 例10 计算下列各式(式中字母都是正数),并 把结果化为只含正有理数指数的形式 5 ? 3 ? 4 2? ? ?1?? x y ? ; ? ? 4 1 1 1 ? ?? ? ? ? 1 2 4 ?? 2 4? ?2?? 2 x ? 3 y 2 x ? 3 y ? ?? ?. ? ?? ? 解 ? ? ? 3 ? 4 ? ? ?1?? x y ? ? ? ? ?x ? ? ? ? ? 3 4 5 2 4 4 ? ?y ? ? 5 2 ? ? ? x 3 y10 ? ? 1 2 4 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? 1 2 4 2 4 ?? 2 x ? 3 y ? ? ? 2 x ?2?? 2 x ? 3 y ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?3y ? ? ? ? ? 1 2 2 1 ? 4 ? ? ? ? 2 ? 4x ? 9 y ? 4x ? 9 y 1 2 . 练习 1.计算 : 5 3 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ; 25 ; ? ? ? ? ; ? 2 2 ? . 4 ; 8 ; 81 ; ? 2 ? ? ? ? ?? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 3 1 4 1 3 3 2 0 3 5 4 3 2.计算 1 2 ?1?a a a ; 3 1 3 1 4 5

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