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2011届全国名校高三数学模拟试卷压轴题汇编


2011 届全国名校高三数学模拟试卷压轴题汇编
江苏省金陵中学 2011 届高三第二次模拟考试试卷 1 3 2 19. 19.已知函数 f ( x ) = x ? 2 x + 3 x ( x ∈ R )的图象为曲线 C . 3 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; 上存在两点处的切线互相垂直, 的切点的横坐 (2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐
标的取值范围; 标的取值范围; 试问: 同时切于两个不同点?如果存在, (3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条 件的所有直线方程;若不存在,说明理由. 件的所有直线方程;若不存在,说明理由. 解: (1) f ′( x) = x 2 ? 4 x + 3 ,则 f ′( x) = ( x ? 2) 2 ? 1 ≥ ?1 , 即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 [? 1,+∞ ) ;------------4 分 (2)由(1)可知, ? 1

? k ≥ ?1 ? ---------------------------------------------------------6 分 ? ≥ ?1 ? k ?

2 2 解得 ? 1 ≤ k < 0 或 k ≥ 1 ,由 ? 1 ≤ x ? 4 x + 3 < 0 或 x ? 4 x + 3 ≥ 1

得: x ∈ ? ∞,2 ? 2 U (1,3) U 2 +

(

]

[

2 ,+∞ ;-------------------------------9 分

)

(3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x 2 , y 2 ) ,

x1 ≠ x2 ,
则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 + 3 x1 ) = ( x1 ? 4 x1 + 3)( x ? x1 ) ,
3 2 2

1 3

化简得: y = ( x1 ? 4 x1 + 3) x + ( ?
2

2 3 2 x1 + 2 x1 ) ,--------------------------11 分 3 2 3 2 2 而过 B ( x 2 , y 2 ) 的切线方程是 y = ( x 2 ? 4 x 2 + 3) x + ( ? x 2 + 2 x 2 ) , 3
由于两切线是同一直线, 则有: x1 ? 4 x1 + 3 = x 2 ? 4 x 2 + 3 ,得 x1 + x 2 = 4 ,----------------------13 分
2 2

又由 ? 即?

2 3 2 3 2 2 x1 + 2 x1 = ? x 2 + 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 + x1 x 2 + x 2 ) + 2( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) = 0 3

1 2 2 2 ? ( x1 + x1 x 2 + x 2 ) + 4 = 0 ,即 x1 ( x1 + x 2 ) + x 2 ? 12 = 0 3
即 ( 4 ? x 2 ) × 4 + x 2 ? 12 = 0 , x 2 ? 4 x 2 + 4 = 0
2 2

得 x2 = 2 ,但当 x2 = 2 时,由 x1 + x 2 = 4 得 x1 = 2 ,这与 x1 ≠ x 2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。----------------------------------16 分
1

20. 本小题满分 18 分) 20. (本小题满分 (
n ?1 已 知 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 是 a n = 2 , 数 列 {bn } 是 等 差 数 列 , 令 集 合

A = {a1 , a 2 , L , a n , L} , B = {b1 , b2 , L , bn , L} , n ∈ N * .将集合 A U B 中的元素按从小
到大的顺序排列构成的数列记为 {c n } . 的通项公式; (1)若 c n = n , n ∈ N ,求数列 {bn } 的通项公式;
*

若 项成等比数列, ( 2) A I B = φ , 数列 {c n } 的前 5 项成等比数列, c1 = 1 ,c9 = 8 , 且 求满足 的个数. 的正整数 n 的个数. 解: (1)若 c n = n ,因为 5,6,7 ? A ,则 5,6,7 ∈ B , 由此可见,等差数列 {bn } 的公差为 1,而 3 是数列 {bn } 中的项, 所以 3 只可能是数列 {bn } 中的第 1,2,3 项, 若 b1 = 3 ,则 bn = n + 2 , 若 b2 = 3 ,则 bn = n + 1 ,

c n +1 5 > cn 4

若 b3 = 3 ,则 bn = n ;----------------------------------------------------------4 分 (注:写出一个或两个通项公式得 2 分,全部写出得 4 分) (2)首先对元素 2 进行分类讨论: ①若 2 是数列 {c n } 的第 2 项,由 {c n } 的前 5 项成等比数列,得

c 4 = 2 3 = 8 = c9 ,这显然不可能;
②若 2 是数列 {c n } 的第 3 项,由 {c n } 的前 5 项成等比数列,得 b1 = 2 ,
2

因为数列 {c n } 是将集合 A U B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的, 所以 bn > 0 ,则 b1 = 这样 bn =

2 ,因此数列 {c n } 的前 5 项分别为 1, 2 ,2, 2 2 ,4,

2n ,

则数列 {c n } 的前 9 项分别为 1, 2 ,2, 2 2 ,4, 3 2 , 4 2 , 5 2 ,8, 上述数列符合要求;---------------------------------------------------------10 分 ③若 2 是数列 {c n } 的第 k 项( k ≥ 4 ) ,则 b2 ? b1 < 2 ? 1 , 即数列 {bn } 的公差 d < 1 , 所以 b6 = b1 + 5d < 2 + 5 = 7 ,1,2,4< c9 ,所以 1,2,4 在数列 {c n } 的 前 8 项中,由于 A I B = φ ,这样, b1 , b2 ,…, b6 以及 1,2,4 共 9 项, 它们均小于 8, 即数列 {c n } 的前 9 项均小于 8,这与 c9 = 8 矛盾。 综上所述, bn =

2n ,-------------------------------------------------------12 分
c n +1 5 = 2> , cn 4

其次,当 n ≤ 4 时,

c 6 3 2 5 c7 4 5 = < , = > ,------------------------------------------14 分 c5 4 4 c6 3 4
2

当 n ≥ 7 时, c n ≥ 4 2 ,因为 {bn } 是公差为 2 的等差数列, 所以 c n +1 ? c n ≤ 所以

2 ,--------------------------------------------------------16 分

c n +1 c n + c n +1 ? c n c ? cn 2 5 = = 1 + n +1 ≤ 1+ = , cn cn cn 4 2 4

此时的 n 不符合要求。所以符合要求的 n 一共有 5 个。-----------------18 分

山东省潍坊市 2011 届高三第一学期期末考试
21. 本小题满分 12 分)已知椭圆 21. (本小题满分 (

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点为 F1,F2,椭圆上一 a 2 b2

点 M(

2 6 3 , ) 满足 MF1 ? MF2 = 0. 3 3

(1)求椭圆的方程; 求椭圆的方程; (2)若直线 L:y= kx +

2 与椭圆恒有不同交点 A、B,且 OA ? OB > 1(O 为坐标原点) 为坐标原点) ,

范围。 求 k 的范围。 解: (1)设 F1(-c,0) 2(c,0) ,F

MF1 = ( ?c ?

2 6 3 ,? ) 3 3

MF 2 = (c ?

2 6 3 ) ,? 3 3

Q MF1 ? MF2 = 0
∴ ?c 2 + ( 2 6 2 3 ) + ( )2 = 0 3 3

∴c 2 = 3 ……………………………………………………2 分 ∴ a2 ? b2 = 3 ①
又点 M 在椭圆上



8 1 + 2 =1 ② 2 3a 3b

由①代入②得

8 1 + =1 2 2 3a 3(a ? 3)
整理为: a ? 6a + 8 = 0
4 2

3

∴ a 2 = 2或a 2 = 4 Q a2 > 3

∴ a 2 = 4, b 2 = 1 …………………………4 分
∴椭圆方程为

x2 + y 2 = 1 …………………………5 分 4

? x2 2 1 ? + y =1 (2)由 ? 4 , 消去y解得( + k 2 ) x 2 + 2 2kx + 1 = 0 ………………7 分 4 ? y = kx + 2 ?
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 则 OA ? OB = x1 x 2 + y1 y 2 = x1 x 2 + ( kx1 +

2 )(kx 2 + 2 )

= (1 + k 2 ) x1 x 2 + 2k ( x1 + x 2 ) + 2 =

6 ? 4k 2 > 1 ………………10 分 1 + 4k 2

5 1 1 ∴ k 2 < , 又由? = k 2 ? > 0得k 2 > , 8 4 4 1 5 ∴ < k2 < , 4 8

∴k ∈(

10 1 1 10 ,? ) U ( , ) ……………………12 分 4 2 2 4

y 22. (本小题满分 22. 本小题满分 14 分)定义 F ( x, y ) = (1 + x ) , x, y ∈ (0,+∞) , (

(1)令函数 f ( x ) = F (1, log 2 ( x 2 ? 4 x + 9)) 的图象为曲线 C1,曲线 C1 与 y 轴交于点 A ,过坐标原点 的切线, n,t) n>0) (n>0 , ,设曲线 (0,m) 过坐标原点 O 作曲线 C1 的切线,切点为 B(n,t) n>0) 设曲线 C1 在点 , ( OA、 的值。 A、B 之间的曲线段与线段 OA、OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值。 (2)当 x, y ∈ N * 且x < y时, 证明F ( x, y ) > F ( y, x);
3 2 (3)令函数 g ( x ) = F (1, log 2 ( x + ax + bx + 1)) 的图象为曲线 C2,若存在实数 b 使得

曲线 C2 在 x 0 ( ?4 < x 0 < ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围。 处有斜率为- 的切线, 的取值范围。 解: (1)Q F ( x, y ) = (1 + x ) y

∴ f ( x) = F (1, log 2 ( x 2 ? 4 x + 9) = 2 log 2 ( x


2

? 4 x ?9 )

= x 2 ? 4 x + 9 ,故 A(0,9)……1

4

又过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t) (n>0) f ′( x ) = 2 x ? 4. ,

?t = n 2 ? 4n + 9 ? ∴? t , 解得B(3,6) …………3 分 ? = 2n ? 4 ?n

∴ S = ∫ 3 ( x 2 ? 4 x + 9 ? 2 x)dx = ( 0

x3 ? 3 x 2 + 9 x ) | 3 = 9. 0 3

………………5 分

x ? ln(1 + x) ln(1 + x) 1+ x , x ≥ 1,由h ′( x) = ,…………6 分 (2)令 h( x ) = x x2
又令 p ( x ) =

x 1 1 ?x ? ln(1 + x), x > 0, ∴ p ′( x) = ? = < 0, 2 1+ x 1 + x (1 + x) 2 (1 + x)

∴ p( x)在[0,+∞) 单调递减.……………………7 分 ∴当x > 0时有p( x) < p (0) = 0, ∴当x ≥ 1时有h′( x) < 0,

∴ h( x)在[1,+∞) 单调递减,………………8 分
∴1 ≤ x < y时, 有 ln(1 + x) ln(1 + y ) > ,∴ y ln(1 + x) > x ln(1 + y ),∴ (1 + x ) y > (1 + y ) x , x y

∴当x, y ∈ N ?且x < y时F ( x, y ) > F ( y, x). ………………9 分
(3) g ( x ) = F (1, log 2 ( x 2 + ax 2 + bx + 1) = x 3 + ax 2 + bx + 1, 设曲线 C 2 在x 0 (?4 < x < ?1) 处有斜率为-8 的切线, 又由题设 log 2 ( x 3 + ax 2 + bx + 1) > 0, g ′( x) = 3 x 2 + 2ax + b,
2 ?3 x0 + 2ax0 + b = ?8 ? ∴存在实数 b 使得 ?? 4 < x 0 < ?1 ? 3 2 ? x0 + ax0 + bx0 + 1 > 1
2 2

有解,…………11 分

由①得 b = ?8 ? 3 x 0 ? 2ax 0 , 代入③得 ? 2 x 0 ? ax 0 ? 8 < 0 ,…………12 分

?2 x 2 + ax0 + 8 > 0 有解, 2 × ( ?4) 2 + a × ( ?4) + 8 > 0或2 × ( ?1) 2 + a × (?1) + 8 > 0 , 得 ∴由? 0 ?? 4 < x 0 + 8 > 0

∴ a < 10或a < 10,

∴ a < 10. ………………14 分

5

届高三上期末模拟一数学试题( 重庆南开中学 2011 届高三上期末模拟一数学试题(理)
21. (本小题满分 21. 本小题满分 12 分) ( 如图, 内的空地上植出一块“ ABD” 如图,某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植出一块“绿地 ? ABD” 其中 AB 长为 , 长可根据需要进行调节( 足够长) 。现规划在 定值 a,BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长) 现规划在 ? ABD 的内接正方形 BGEF 。 内种花,其余地方种草, 内种花,其余地方种草,且把种草的面积 S1 与种花的面积 S 2 的比值 。 y” 的函数关系式。 (1)设 ∠DAB = θ ,将 y 表示成 θ 的函数关系式。 为多长时, 有最小值?最小值为多少? (2)当 BE 为多长时,y 有最小值?最小值为多少? 解:(1)因为 BD= a tan θ , 所以 ?ABC 的面积为 长为 t, 则由

S1 称为“ 称为“草花比 S2

1 2 π a tan θ , θ ∈ (0, ). 设正方形 BEFG 的边 2 2

FG DG t a tan θ ? t a tan θ a 2 tan 2 θ = ,得 = , 解得t = , 则S 2 = , AB DB a a tan θ 1 + tan θ (1 + tan θ ) 2 1 2 a tan θ ? S 2 2 S1 (1 + tan θ ) 2 = ?1 S2 2 tan θ

所以 S1 =

故,y =

(2)因为 tan θ > 0, 所以 y = 号, 此时 BE=

1 1 1 1 (tan θ + + 2) ? 1 = (tan θ + ) ≥ 1, 当且仅当tanθ = 1 时 取 等 2 tan θ 2 tan θ

a a , 所以当 BE 长为 时,y 有最小值 1. 2 2 1? a ? 1 (a ∈ R) . x

22. (本小题满分 22. 本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x) = ln x ? ax + ( 1) 当 a ≤

1 的单调性; 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 ( 2 ) 设 g ( x) = x ? 2bx + 4. 当 a = 时 , 若对任意 x1 ∈ (0, 2) , 存在 x2 ∈ [1, 2] , 使 4 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 恒成立,求实数 b 取值范围. 恒成立, 取值范围.

解: (Ⅰ)因为 f ( x) = ln x ? ax +
'

1? a ?1 , x

1 a ? 1 ax 2 ? x + 1 ? a 所以 f ( x) = ? a + 2 = x ∈ (0, +∞) , x x x2
令 h( x) = ax 2 ? x + 1 ? a, x ∈ (0, +∞) ,

6

(Ⅱ)因为 a=

1 1 ∈ (0, ) ,由(Ⅰ)知, x1 =1, x2 =3 ? (0, 2) , 4 2

当 x ∈ (0,1) 时, f ' ( x ) p 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;

[ g ( x)]min = g (2) = 8 ? 4b ≥ 0b ∈ (2, +∞) ≤

1 ?17 ? b ≥ ? , +∞ ? 2 ?8 ?

7

当 x ∈ (1, 2) 时, f ( x) f 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
'

所以 f ( x) 在(0,2)上的最小值为 f (1) = ?

1 。 2

由于“对任意 x1 ∈ (0, 2) ,存在 x2 ∈ [1, 2] ,使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ”等价于

届高三月考试卷( 理科) 长沙市一中 2011 届高三月考试卷(六)数 学(理科)
20.(本小题满分 20.(本小题满分 13 分)

位于高( 的山峰上, 某旅游景区的观景台 P 位于高(山顶到山脚水平面 M 的垂直高度 PO)为 2km 的山峰上, 山脚下有一段位于水平线上笔直的公路 AB,山坡面可近似地看作平面 PAB,且△PAB 为等腰 2 (0° 90° 且 三角形. 三角形.山坡面与山脚所在水平面 M 所成的二面角为α(0°<α<90°), sinα= .现从 5 开始修建一条盘山公路,该公路的第一段、第二段、第三段… 山脚的水平公路 AB 某处 C0 开始修建一条盘山公路,该公路的第一段、第二段、第三段…, 如图所示) 第 n-1 段依次为 C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn(如图所示),且 C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn 1 90° 试问: 与 AB 所成的角均为β,其中 0<β<90°,sinβ= .试问: 4 (1)每修建盘山公路多少米 每修建盘山公路多少米, 若修建盘山公路至半山腰( (1)每修建盘山公路多少米,垂直高度就能升高 100 米.若修建盘山公路至半山腰(高度 为山高的一半) 处修建上山缆车索道站, 依山而建( 为山高的一半),在半山腰的中心 Q 处修建上山缆车索道站,索道 PQ 依山而建(与山坡面平 离坡面高度忽略不计) 问盘山公路的长度和索道的长度各是多少? 行,离坡面高度忽略不计),问盘山公路的长度和索道的长度各是多少? 2 (2)若修建 盘山公路, 万元. 万元/km. (2)若修建 xkm 盘山公路, 其造价为 x +100 a 万元.修建索道的造价为 2 2a 万元/km. 问修建盘山公路至多高时 再修建上山索道至观景台,总造价最少. 山公路至多高时, 问修建盘山公路至多高时,再修建上山索道至观景台,总造价最少. 解:(1)在盘山公路 C0C1 上任选一点 D,作 DE⊥平面 M 交平面 M 于 E,过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,连结 DF,易知 DF⊥C0F.sin 2 1 ∠DFE= ,sin∠DC0F= . 5 4 1 2 1 ∵DF= C0D,DE= DF,∴DE= C0D, 4 5 10 5 所以盘山公路长度是山高的 10 倍,索道长是山高的 倍, 2
8

所以每修建盘山公路 1000 米,垂直高度升高 100 米. 从山脚至半山腰,盘山公路为 10km.从半山腰至山顶,索道长 2.5km.(6 分) 5 (2)设盘山公路修至山高 x(0<x<2)km,则盘山公路长为 10xkm,索道长 (2-x)km. 2 设总造价为 y 万元, 5 则 y= (10x)2+100a+ (2-x)·2 2a=(10 x2+1-5 2x)a+10 2a. 2 10ax 令 y′= 2 -5 2a=0,则 x=1. x +1 当 x∈(0,1)时,y′<0,函数 y 单调递减;当 x∈(1,2)时,y′>0,函数 y 单调递增, ∴x=1,y 有最小值,即修建盘山公路至山高 1km 时,总造价最小,最小值为 15 2a 万元.(13 分) 21.(本小题满分 21.(本小题满分 13 分) 1 2x+ 1 x 已知正项数列{ 已知正项数列{an}的首项 a1= ,函数 f(x)= , g(x)= . 1+ x x+ 2 2 1 * 证明: 是等差数列 并求数列{ (1)若正项数列 若正项数列{ (1)若正项数列{an}满足 an+1=f(an)(n∈N ),证明:{ }是等差数列,并求数列{an}的

an

通项公式; 通项公式;
* (2)若正项数列{ 数列{ (2)若正项数列{an}满足 an+1≤f(an)(n∈N ),数列{bn}满足 bn= 若正项数列 *

an 证明: ,证明:b1+b2+… n+ 1

<1; +bn<1; 3 3 n- 1 (3)若正项数列{ 求证: (3)若正项数列{an}满足 an+1=g(an),求证:|an+1-an|≤ ·( ) . 若正项数列 10 7 1+an 1 an 1 1 1 证明:(1)∵an+1=f(an)= ,∴ = = +1,即 - =1, an an 1+an a n+ 1 a n+ 1 a n 1 ∴{ }是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. an 1 1 ∴ =2+(n-1),即 an= .(3 分) an n+1 1+an an 1 1 1 (2)证明:∵an+1≤ ,an>0,∴ ≥ ,即 - ≥1. an an 1+an a n+ 1 a n+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 n≥2 时, - =( - )+( - )+…+( - )≥n-1, an a1 a2 a1 a3 a2 a n a n- 1 1 1 ∴ ≥n+1,∴an≤ . an n+1 1 当 n=1 时,上式也成立,∴an≤ (n∈N*), n+1 an 1 1 1 1 ∴bn= ≤ < = - , n+1 (n+1)2 n(n+1) n n+1 1 1 1 1 1 1 ∴b1+b2+…+bn<(1- )+( - )+…+( - )=1- <1.(8 分) 2 2 3 n n+1 n+1 1 4 4 1 3 (3)∵a1= ,a2=g(a1)= ,a2-a1= - = >0. 2 5 5 2 10 2an+1 2an-1+1 3(an-an-1) 又∵an+1-an= - = , 2+an 2+an-1 (an+2)(an-1+2) 1 由迭代关系可知,an+1-an>0,∴an≥a1= . 2 2an-1+1 又∵(2+an)(2+an-1)=(2+ )(2+an-1)=5+4an-1≥7, 2+an-1

9



3 3 ≤ , (2+an)(2+an-1) 7

济南外国语学校高中部
3 2

高三质量检测

22、已知函数 f(x)=x3-ax2-3x.? 22、 3x.? f(x)在区间 在区间[ 上是增函数, 的取值范围; (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围;? x=f(x)的极值点 的极值点, 上的最大值; (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值;? (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的 的条件下, 个交点,若存在, 的取值范围;若不存在,试说明理由. 图象恰有 3 个交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.? 2 解 (1) f ′(x ) =3x -2ax-3,∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,? ∴ f ′(x ) 在[1,+∞)上恒有 f ′(x ) ≥0, ---------2 分 即 3x -2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立.则必有 ∴a≤0.?
1 3 1 3 2 3
3 2 2

1 3

a ≤1 且 f ′(1) =-2a≥0, ,--------4 分 3

------------5 分

(2)依题意, f ′(? ) =0,即 + a-3=0,∴a=4,∴f(x)=x -4x -3x. ----------7 分 令 f ′( x ) =3x -8x-3=0,得 x1=- ,x2=3.则当 x 变化时, f ′( x ) ,f(x)的变化情况如下表:? x
f ′( x )
2

1 3

1

(1,3) -

3 0 -18

(3,4) + ↗

4

f(x)

-6



-12

----9 分 ∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6.? -----------10 分 3 2 (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,即方程 x -4x -3x=bx 恰有 3 3 2 个不等实根?∴x -4x -3x-bx=0,∴x=0 是其中一个根 -------------12 分 ∴方程 x -4x-3-b=0 有两个非零不等实根, ? ∴ 合条件的实数 b,b 的范围为 b>-7 且 b≠-3.
2

?? = 16 + 4(3 + b) > 0 ,∴ b > ?7且b ≠ ?3. ∴存在符 ?? 3 ? b ≠ 0

-----------14 分

陕西省长安一中 届高三上学期 上学期第三次模拟考试 陕西省长安一中 2011 届高三上学期第三次模拟考试
20. (13 20. 13 分) 已知数列 {a n } 中 a1 = (

2 8 , a 2 = .当 n ≥ 2 时 3a n +1 = 4a n ? a n?1 . n ∈ N * ) ( 3 9

为等比数列; (Ⅰ)证明: {a n +1 ? a n } 为等比数列; 的通项; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项;

10

(Ⅲ)若数列 {bn } 满足 bn = n ? a n ,求 {bn } 的前 n 项和 S n . 解. (Ⅰ)证明:Q 数列 {a n } 中 a1 =

2 8 , a 2 = .当 n ≥ 2 时 3a n +1 = 4a n ? a n?1 . n ∈ N * ) ( 3 9 1 ∴ 当 n ≥ 2 时 3a n +1 ? 3a n = a n ? a n ?1 ,即 a n+1 ? a n = (a n ? a n ?1 ) . 3 2 1 所以 {a n +1 ? a n }是以 a 2 ? a1 = 为首项,以 为公比的等比数列 9 3 2 1 n ?1 2 1 n? 2 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a n +1 ? a n = ( ) ,故 a n ? a n ?1 = ( ) , 9 3 9 3 2 1 n ?3 2 1 0 an ?1 ? an ? 2 = ( ) ,… a 2 ? a1 = ( ) , 9 3 9 3 1 1 n 1 n 累加得 a n ? a1 = ? ( ) ,所以 a n = 1 ? ( ) . 3 3 3 n 1 2 n (Ⅲ)Q bn = n ? n ,∴ S n = (1 ? ) + ( 2 ? 2 ) + .... + ( n ? n ) = (1 + 2 + ... + n) 3 3 3 3 1 2 n 3 2n + 3 n(n + 1) ? ( + 2 + ... + n ) = ? + . 3 3 4 4 ? 3n 2 3

21. (14 的中心在原点, 轴上, 21. 14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 3 倍,其上一 ( 点到右焦点的最短距离为 3 ? 2 . (1)求椭圆C的标准方程; 求椭圆C的标准方程; 与圆O: (2)若直线 l : y = kx + m 与圆O: x + y =
2 2

3 相切, 两点, 相切,且交椭圆 C 于 A、B 两点,求 4

的方程. 当△AOB 的面积最大时直线 l 的方程. 解.(1)设椭圆 C :

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 右焦点 (c,0) a2 b2 (1) ( 2)
代 a ? b = c 得 c = 2b
2 2 2 2 2

则?

? ?a = 3b ?a ? c = 3 ? 2 ?
2 2

由(1)得 a = 3b 代(2)得 3b ?

2b = 3 ? 2 ∴ b = 1

a= 3

∴C :

x2 + y2 = 1 3
2 2

(2)Q y = kx + b 与圆 x + y =

3 相切 4



b k 2 +1

=

3 2

11

∴b2 =
由?

3 2 (k + 1) 4
消y得

? y = kx + b
2 2 ?x + 3 y = 3

(1 + 3k 2 ) x 2 + 6kbx + 3(b 2 ? 1) = 0
(3)Q x1 + x2 = ?
2

6kb 3(b 2 ? 1) , x1 ? x 2 = 1 + 3k 2 1 + 3k 2

∴ AB = (1 + k 2 )( x1 ? x 2 ) 2

? 6kb 2 3(b 2 ? 1) ? = (1 + k 2 ) ? ?(? ) ? 4? ? 2 1 + 3k 2 ? ? 1 + 3k
36k 2 b 2 ? 12(b 2 ? 1)(1 + 3k 2 ) = (1 + k ) ? (1 + 3k 2 ) 2
2

= (1 + k 2 ) ?

? 12b 2 + 36k 2 + 12 (1 + 3k 2 ) 2

3 ? 12 ? (k 2 + 1) + 36k 2 + 12 4 = (1 + k 2 ) ? (1 + 3k 2 ) 2 = 27 k 4 + 30k 2 + 3 12k 2 = 3+ 4 9k 4 + 6k 2 + 1 9k + 6 k 2 + 1
2

当 k = 0 时, AB 当 k ≠ 0 时, AB

= 3,

2

= 3+

12 12 ≤ 3+ =4 1 2 1 2 9k + 2 + 6 2 9k ? 2 + 6 k k

(当 k = ±

3 时“=”成立) 3 ∴ ( S ?AOB ) max = 1 3 3 ×2× = 2 2 2 ∴l : y = ±
3 ±1 3

∴ AB max = 2

此时 b = 1 且(3) 式 ? > 0
2

12



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