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高三数学一轮复习 7 正弦定理和余弦定理学案 文(无答案)


学案 7

正弦定理和余弦定理

班级________姓名_______ 【导学目标】1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题. 2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 【知识梳理】 1.三角形的有关性质 (1)在△ABC 中,A+B+C=________;(2)a+b____c,a-b<c; (3)a>b?sin A____sin B?A____B; 1 1 1 (4)三角形面积公式:S△ABC= ah= absin C= acsin B=_________________; 2 2 2 (5)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B 或____________?三角形为_____________三角 形; (6)sin(A + B) = sin C , sin __________; 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理
2

A+B
2

= ________; cos(A + B) = ________ , cos

A+B
2



余弦定理

内容

________________ =2R

a =____________________, b2=____________________, c2=_____________________.

①a=__________,b=__________, 变形 形式

c=__________;
②sin A=________,sin B=________, sin C=________; ③a∶b∶c=_____________; ①已知两角和任一边,求另一角和其他

cos A=________________;

cos B=________________;

cos C=________________. ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角, 求第三边和

解决 的问题

两边. ②已知两边和其中一边的对角,求另一 边和其他两角.

其他两个角.

3.已知 a,b,A,解的情况如下表:

A 为锐角

A 为钝角或直角

1

图形 关系式 解的个数 【自我检测】 1.在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于 ( A.5 2 B.10 2 C. 10 6 3 D.5 6 ).

a<bsin A
无解

a=bsin A
一解

bsin A<a<b
两解

a≥b
一解

a>b
一解

a≤b
无解

→ → 2.在△ABC 中 AB=3,AC=2,BC= 10 ,则AB ? AC等于 ( 3 A.- 2 2 B.- 3 C. 2 3

) D.
2 2

3 2

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a -b = 3bc,sinC=2 3sin B, 则 A 等于( A.30° ) B.60° C.120° D.150° )

4.若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2, 则角 A 的大小为________. 2π 6.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3 探究点一 正弦定理的应用 例1 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,求角 A、C 和边 c;

2

变式 1

1 (1)在△ABC 中,若 tan A= ,C=150°,BC=1,则 AB=________; 3

(2)在△ABC 中,若 a=50,b=25 6,A=45°,则 B=________. 探究点二 余弦定理的应用 例 2 已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a +c -b =ac. (1)求角 B 的大小;(2)若 c=3a,求 tan A 的值.
2 2 2

变式 2

2π 在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,B= ,b= 13,a+c=4,求 a. 3

探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3
2 2

在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A-B)=

2

2

(a -b )sin(A+B),试判断该三角形的形状.

3

AC cos B 变式 3 在△ABC 中, = . AB cos C
值.

π? 1 ? (1)证明:B=C;(2)若 cos A=- ,求 sin?4B+ ?的 3? 3 ?

【课后练习与提高】 1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B 等于 2 2 A.- 3 2 2 B. 3 C.- 6 3 D. 6 3 ) ( )

2.在△ABC 中,A=60°,b=1,△ABC 的面积为 3,则边 a 的值为( A.2 7 B. 21 C. 13 D.3

π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面 6 4 积为( ). B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1 )

A.2 3+2

c-b 2A 4.在△ABC 中,sin = (a,b,c 分别为角 A,B,C 对边),则△ABC 的形状为( 2 2c
A.正三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形 )

5.在△ABC 中,若 A=60°,BC=4 3,AC=4 2,则角 B 的大小为( A.30° B.45°

4

C.135°

D.45°或 135°

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120°,

c= 2a,则
A.a>b C.a=b
2

( B.a<b

)

D.a 与 b 的大小关系不能确定

7.在△ABC 中,B=60°,b =ac,则△ABC 的形状为________________. 8.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B, 则 sin C=________. 9. 在锐角△ABC 中, AD⊥BC, 垂足为 D, 且 BD∶DC∶AD=2∶3∶6, 则∠BAC 的大小为________. 10.在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (1)求△ABC 的面积;(2)若 b+c=6,求 a 的值.

A 2 5 →→ ,ABAC=3. ? 2 5

5

12. 在 ?ABC

中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 长 分 别 为 a, b, c. 已 知 a -c =2b , 且

2

2

sinAcosC=3cosAsinC,求 b.

13.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3b +3c -3a =4 2bc. π? ? π? ? 2sin?A+ ?sin?B+C+ ? 4 4? ? ? ? (2)求 的值. 1-cos 2A

2

2

2

(1)求 sin A 的值;

6


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