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中职数学第二册 6.3等比数列_图文

6.3 等比数列

在空格内填上合适的数字:

① 1,3,9, 27
② 2,-4, 8

,81,243。 q=3
,-16,32。 1 。
q=-2

③ 0.5,0.25,0.125,0.0625 。 q=0.5 ④ 0, 1, 0, 1, 0 ,

数列①、②、③有什么共同的特点?

一、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它前面一 项的比都等于同一个不为零的常数,那么这样的 数列称为等比数列,这个常数称为公比,通常用q (q≠0)来表示

an?1 a2 a3 a4 ? ? ??? ? q(q ? 0) a1 a2 a3 an

在等比数列1,2,4,8,16,…中,试回答: a ? 32 , 问题1: a ? 512 。 问题2:
6
10

如何用等比数列的首项a1和公比q 表示该数列的其他项?

an?1 a2 a3 a4 ? ? ??? ? q(q ? 0) a1 a2 a3 an
a2 ? a1q a3 ? a2 q ? a1q a4 ? a3 q ? a1q ? an ? ?
2 3

an ? a1 ? q

n?1

此为等比数列的通项公式

二、等比数列的通项公式

例3:已知等比数列2,6,18,54,…求此数列的通项公式

an ? a1 ? q

n?1

1 n a ? ? 10 例4:已知等比数列的通项公式 n ,求其首项 4 和公比
例5:在等比数列中, a2 的通项公式及 a11

? 6, a5 ? 48。求这个数列

古希腊数学家阿基米德将数学运用于战争并建立 了卓越的功绩,传说国王要嘉奖他。阿基米德的要 求是在64个方格棋盘上,第1个方格放1粒米,第2 个方格放2粒米,第3个方格放4粒米,第4个方格放 8粒米,依此类推,棋盘上的米粒就是他的奖品。棋 63 S ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? 2 盘上共有多少粒米? 64

等比数列?an ?的前n项和为Sn ? a1 ? a2 ? ?? an

怎样求一般等比数列的前n项和呢?
Sn ? a1 ? (a1q ? a1q ?? a1q )
2 n?1

qSn ? (a1q ? a1q ? ?? a1q ) ? a1q
2

n?1

n

(1 ? q)Sn ? a1 (1 ? q )
n

上述两式相减
n

当q ? 1时

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q

等比数列的前n项和公式
公式1

a ( 1 1? q ) Sn ? 1? q
n

q ?1
公式2
当q ? 1时,Sn ? na1

an ? a1q

n?1

a1 ? an q Sn ? 1? q

知 三 求 二

例6:已知数列为等比数列 (1)若 a1 ? 5, q ? ?2 ,求 S11 (2)若 a4 ? 128, q ? 4 ,求S4

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q a1 ? an q Sn ? 1? q

?1? (3)若 an ? ? ? ,求 S8 ?2?
例7:求等比数列1,3,9,27,…的前n项和

n


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