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正弦定理和余弦定理及其应用


第6节 课时训练 【选题明细表】

正弦定理和余弦定理及其应用 练题感 提知能

知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 与三角形面积有关的问题 判断三角形的形状 实际应用问题 综合应用

题号 1、3、9、11、14 2、5 4、13 8、15 6、7、10、12、16

一、选择题 1.(2013 广东湛江十校联考)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别 是 a、b、c,已知 b=2,B=30°,C=15°,则 a 等于( (A)2 (B)2 (C) (D)4 A )

解析:A=180°-30°-15°=135°, 由正弦定理 = ,得 = ,

即 a=2 .故选 A. 2.(2014 四川攀枝花模拟)已知△ABC 的一个内角是 120°,三边长构 成公差为 4 的等差数列,则三角形的面积是( (A)10 (B)30 (C)20 (D)15 D )

解析:设 A、B、C 所对边长分别为 b-4,b,b+4,

则 cos 120°= ∴b2-10b=0, ∴b=10 或 b=0(舍去), ∴b=10,b-4=6,

,

∴三角形的面积 S= ×10×6× =15 .故选 D. 3.已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ ,则此三角形的最大内 角的度数是( B )

(A)60° (B)90° (C)120° (D)135° 解析:依题意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶ ,且 c 最大. 设 a=k,b=k,c= k(k>0), 由余弦定理得,cos C= =0,

又 0°<C<180°,所以 C=90°,故选 B. 4.在△ABC 中,若 lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC 的形 状是( D )

(A)直角三角形 (B)等腰直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰三角形 解析:由条件得 =2,

即 2cos Bsin C=sin A. 由正、余弦定理得,2· ·c=a,

整理得 c=b,故△ABC 为等腰三角形.

故选 D. 5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且 a=1,b= ,则 S△ABC 等于( (A) (B) (C) (D)2 C )

解析:∵A、B、C 成等差数列, ∴A+C=2B,∴B=60°. 又 a=1,b= , ∴ = , = × =,

∴sin A=

∴A=30°,∴C=90°. ∴S△ABC= ×1× = .故选 C. 6.(2011 年高考四川卷)在△ABC 中, sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( (A) (C) (B) (D) C )

解析:在△ABC 中, 由正弦定理及 sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C 可得,a2≤b2+c2-bc,即 b2+c2-a2≥bc. ∴cos A= ≥,

∵0<A<π , ∴0<A≤ .故选 C. 7.(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b 等于( (A)10 (B)9 (C)8 (D)5 解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0, 即 cos2A= , 又因为△ABC 为锐角三角形, 所以 cos A= . 在△ABC 中,由余弦定理知 72=b2+62-2b×6× , 即 b2- b-13=0, 即 b=5 或 b=- (舍去), 故选 D. 8.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、 60°,则塔高是( (A) 米 (C)200 米 (B) A ) 米 D )

(D)200 米

解析:如图所示,AB 为山高,

CD 为塔高, 则由题意知,在 Rt△ABC 中, ∠BAC=30°,AB=200 米. 则 AC= = (米).

在△ACD 中,∠CAD=60°-30°=30°,∠ACD=30°, ∴∠ADC=120°. 由正弦定理得 ∴CD= 故选 A. 二、填空题 9.(2012 年高考北京卷)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b= . = ,

= (米).

解析:由已知根据余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 得 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(- ), 即:15b-60=0,得 b=4. 答案:4

10.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边长,已知 a,b,c 成等 比数列,且 a2-c2=ac-bc,则 A= 解析:由题意知 b2=ac, ∵a2-c2=ac-bc, ∴a2-c2=b2-bc, 即 b2+c2-a2=bc, ∴cos A= ∴A= . 答案: 11.(2013 四川外国语学校月考)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、 C 的对边,B= ,且 sin A∶sin C=3∶1,则 的值为 解析:sin A∶sin C=a∶c=3∶1, ∴a=3c. 由余弦定理 cos = ∴ =, =, . =, .

7c2=b2, ∴ =7,

∴= . 答案: 12.在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 若 a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B),且 a⊥b,则 B= 解析:由 a⊥b,得 a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得 sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, 即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, 因为 sin A≠0,故 cos B= ,因此 B= . 答案: 13.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c 若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC 的形状为 解析:由 sin C+sin (B-A)=sin 2A 得 sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A, 2sinBcos A=2sin Acos A. ∴cos A=0 或 sin A=sin B. ∵0<A、B<π ,∴A= 或 A=B, ∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 答案:等腰或直角三角形 . .

三、解答题 14.(2013 年高考北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值. (2)求 c 的值. 解:(1)因为 a=3,b=2 ,∠B=2∠A, 所以在△ABC 中,由正弦定理得 所以 = , = .

故 cos A= .

(2)由(1)知 cos A= ,所以 sin A= 又因为∠B=2∠A, 所以 cos B=2cos 2A-1= .

= .

所以 sin B= 在△ABC 中,

= .

sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 所以 c= =5.

15.如图所示,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰

角分别为 75°,30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.

(1)试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求 B、D 的距离. 解:(1)如图所示,在△ADC 中,

∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km, 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, ∴∠CED=90°, ∴CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, ∴BD=BA. (2)在△ABC 中,∠ABC=75°-60°=15°, 由正弦定理得 ∴AB= = = (km), ,

∴BD=

(km). km.

故 B、D 间的距离是

16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. (1)证明:∵在△ABC 中, sin B(tan A+tan C)=tan Atan C, ∴sin B = · ,

∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, ∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C, ∵A+C=π -B, ∴sin(A+C)=sin B, ∴sin2 B=sin Asin C, 由正弦定理得,b2=ac, ∴a,b,c 成等比数列. (2)解:∵a=1,c=2, ∴b2=ac=2, ∴b= , ∴cos B= = =,

∵0<B<π , ∴sin B= = = .

∴△ABC 的面积 S= acsin B= ×1×2× = .


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