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贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)

什么时候 你来到 我身边

2017—2018 学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个 选项符合题意) .... 1. 设集合 A. 【答案】A 【解析】由题意,集合 A={x||x-2|<1}={x|1<x<3},∵集合 B={x|x<m},A? B ∴m≥3,∴m 的取值范围是{m|m≥3} 故选 A. 2. 下列双曲线中,焦点在 轴上且渐近线方程为 A. 【答案】C B. C. D. 的是 B. , C. D. ,若 ,则 的取值范围是

.................. 考点:1.双曲线的标准方程;2.双曲线的简单几何性质.

3. 已知 A. 【答案】B B.

,则 C.

= D.

【解析】





故选 B. 4. 下列说法正确的是 A. ,则 的充分条件是

-1-

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B. 若 C. 对任意 D.

,则 ,

的充要条件是 的否定是存在 , , ,则

是一条直线, , 是两个不同的平面,若

【答案】D 【解析】对于 A,当 a<0 时,由 b2-4ac≤0 不能得到 f(x)≥0,则“ax2+bx+c≥0”的充分 条件是“b -4ac≤0”错误. 对于 B,若 m,k,n∈R,由 mk >nk 的一定能推出 m>n,但是,当 k=0 时,由 m>n 不能推 出 mk2>nk2,故 B 错误, 对于 C,命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x0∈R,有 x02<0”,故 C 错误, 对于 D,因为垂直于同一直线的两个平面互相平行,故 D 正确, 故选 D. 5. 体积为 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 A. 【答案】A 【解析】试题分析:因为正方体的体积为 8,所以棱长为 2,所以正方体的体对角线长为 所以正方体的外接球的半径为 ,所以该球的表面积为 ,故选 A. , B. C. D.
2 2 2

【考点】 正方体的性质,球的表面积 【名师点睛】与棱长为 的正方体相关的球有三个: 外接球、内切球和与各条棱都相切的球, 其半径分别为 、 和 .

6. 设 为抛物线 A. B. C.

的焦点,曲线 D.

与 交于点 ,

轴,则

【答案】D 【解析】试题分析:由抛物线的性质可得 ,故选 D.

考点:1、直线与抛物线;2、抛物线的几何性质;3、反比例函数.

-2-

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7. 已知 为等差数列

的前 项和,若

,则

=

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】∵3a1+4a9=a17,∴4a1+4a9=a1+a17,即 4(a1+a9)=2a9,即 4a5=a9,则

故选 C. 8. 若执行右侧的程序框图,当输入的 的值为 时,输出的 的值为 ,则空白判断框中的条件 可能为( )

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】由题意得 9. 设函数 A. 奇函数,且在 B. 奇函数,且在

时判断框中的条件应为不满足,所以选 B. ,则 上是增函数 上是减函数
-3-



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C. 偶函数,且在 D. 偶函数,且在 【答案】A

上是增函数 上是减函数

【解析】函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x) ,函数的定义域为(-1,1) ,函数 f(-x)=ln(1-x) -ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x) ,所以函数是奇函数.排除 C,D,正确结果在 A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0 时,f(0)=0;x= 时, ,显然 f(0)<f 故选 A. 10. 如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的体积为 ,函数是增函数,所以 B 错误,A 正确.

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥,其直观图如下图所示:

故其体积 V 故选 A. 11. 已知三棱锥 为球 的直径,且 A. B. C.



的所有顶点都在球 的球面上, ,则点 到底面 D. 的距离为

满足





-4-

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【答案】C 【解析】∵三棱锥 P-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,PA 为球 O 的直径且 PA=4,∴球心 O 是 PA 的中点, 球半径 R=OC= PA=2, 过 O 作 OD⊥平面 ABC, 垂足是 D, ∵△ABC 满足 AB=2 =90°,∴D 是 AB 中点,且 AD=BD=CD= 离为 d=2OD=2 , ∴OD= ,∠ACB

∴点 P 到底面 ABC 的距

故选 C. 点睛:本题考查点到平面的距离的求法,关键是分析出球心 O 到平面 ABC 的距离,找到 的外接圆的圆心 D 即可有 OD⊥平面 ABC,求出 OD 即可求出点 到底面 12. 过抛物线 点 在 上且 A. 【答案】D 【解析】抛物线 C:y =4x 的焦点 F(1,0) ,且斜率为 y2=4x 的焦点 F,且斜率为 可得 N(-1,2
2

的距离.

的焦点 ,且斜率为 ,则 到直线 C. 的距离为 D.

的直线交 于点 ( 在 轴上方) , 为 的准线,

B.

的直线:y=

(x-1) ,过抛物线 C:

的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方) ,联立 (x-1) ,即 则 M 到直线 NF 的距离为:

) ,NF 的方程为:y=,

故选 D. 点睛:本题考查了直线与抛物线的位置关系,联立直线与抛物线得出点 M 坐标,从而得出点 N
-5-

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坐标是关键,注意计算的准确性. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知向量 【答案】 【解析】向量 7. 14. 若 【答案】 满足约束条件 ,则 的最小值为 ______ , , ,则 ,解得 m=7,故填 .若向量 与 垂直,则 =_______________

【解析】

由约束条件

作出可行域如图, 联立

, 解得

, 化目标函数



,由图可知,当直线 ,故答案为 .



时,直线在 轴上的截距最大, 有最小值为

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”: (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ; (2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最 后通过的顶点就是最优解) ; (3)将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15. 函数 【答案】 的最大值为___________________

-6-

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【解析】∵ ,∴当 时, 有最大值为 4,故答案为 4.

16. 平面直角坐标系

中, 双曲线

的渐近线与抛物线

交于点 【答案】 【解析】设

.若

的垂心为

的焦点,则

的离心率为_______________

所在的直线方程为

,则

所在的直线方程为

,

解方程组

得:

,所以点 的坐标为

,

抛物线的焦点 的坐标为:

.因为 是

的垂心,所以

,

所以,

.

所以,

.

考点:1、双曲线的标准方程与几何性质;2、抛物线的标准方程与几何性质. 视频 三、解答题(本题 6 小题,第 17 小题 10 分,第 18-22 小题,每小题 12 分, 共 70 分。解 . 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) .................. 17. 已知 分别是 内角 的对边,

(I)求 的值; (II)若角 为锐角,求 的值及 【答案】 (1) (2) 的面积.

【解析】试题分析: (I)由已知等式化简得:sin2A=6sin2C,结合 sinA>0,sinC>0,可得 sinA= ,进而可求 sinA,由正弦定理可求 a 的值;

(II)由同角三角函数基本关系式可求 cosA 的值,由余弦定理得 b2-2b-15=0,解得 b 的值,
-7-

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进而利用三角形面积公式即可计算得解. 试题解析: (I)由 得 均为三角形内角, , 化简得:

又因为



所以

. 结合已知



由正弦定理

,得



(II)由





由余弦定理

,得



解得



(舍负) . 所以



18.

为数列

的前项 和,已知



.

(I)求

的通项公式;

(II)设

,求数列

的前项 和.

【答案】 (1)

(2)

试题解析: (1)由 可得

,可知 ,即



-8-

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, 由于 又 所以 (2)由 ,可得 ,解得 . (舍去) , .

是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 可知,



设数列

的前 项和为

,则

考点:等差数列的通项公式;数列的求和. 19. 某大学艺术专业 从中随机抽取了 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法 , ,…, ,

名学生,记录他们的分数,将数据分成 组:

并整理得到如下频率分布直方图:

(I)从总体的

名学生中随机抽取一人,估计其分数小于

的概率; 内的人数; 的男女生人数相等.

(II)已知样本中分数小于

的学生有 人,试估计总体中分数在区间 ,且样本中分数不小于

(III)已知样本中有一半男生的分数不小于 试估计总体中男生和女生人数的比例. 【答案】 (1)0.4(2)20(3)

【解析】试题分析: (Ⅰ)根据频率=组距×高,可得分数小于 70 的概率为:1﹣(0.04+0.02)

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×10; (Ⅱ)先计算样本中分数小于 40 的频率,进而计算分数在区间[40,50)内的频率,可 估计总体中分数在区间[40,50)内的人数; (Ⅲ) 已知样本中有一半男生的分数不小于 70, 且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等. 进 而得到答案. 试题解析: (1)由频率分布直方图知, 分数在 分数在 的频率为 的频率为 , , , .

则分数小于 70 的频率为

故从总体的 400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70 的概率为 (2)由频率分布直方图知, 样本中分数在区间 的人数为

(人),

已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人, 所以样本中分数在区间 设总体中分数在区间 则 ,得 , 内的人数为 20 人. 内的人数为 内的人数为 , (人),

所以总体中分数在区间 (3)由频率分布直方图知, 分数不小于 70 的人数为

(人),

已知分数不小于 70 的男女生人数相等, 故分数不小于 70 分的男生人数为 30 人, 又因为样本中有一半男生的分数不小于 70, 故男生的频率为: 即女生的频率为: , , .

即总体中男生和女生人数的比例约为:

点睛:利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时,易出错,应注意区分这三者.在频 率分布直方图中: (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;

- 10 -

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(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘 以小长方形底边中点的横坐标之和. 20. 如图, 在四棱锥 .设 (I)求证:平面 (II)求二面角 中, 分别为 平面 ; 的中点. , , ,

的平面角的余弦值.

【答案】 (1)见解析(2) 【解析】试题分析: (1)证明 ,然后证明平面 坐标系,求出平面 平面 ,推出 平面 ,证明 为 轴, ,即可证明 平面

; (2)以点 为原点,

为 轴建立空间直角

的法向量,平面

的法向量,利用空间向量的数量积求解面角

的平面角的余弦值. 试题解析: (1) 证明: ∵ 、 分别为 平面 ∵ ∵ (2) ∵ ∴ 平面 ,∴ ,∴ ,∴平面 平面 , 平面 .在 .∵ 平面 平面 . 平面 , 又∵ , 平面 平面 , , 的中点, 则 , 平面 ,∴ . 又∵ ,∴ 平面 ,又 平面 , ,又

中, ,

, ∴平面

- 11 -

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如图, 以点 为原点, , ,即 ∴

为 轴,

为 轴建立空间直角坐标系, ∴ ,设 ,可取 ,又平面 是平面



, 的法向量,则



的法向量为





,由图可知,二面角

的平面角为锐角,∴二面



的平面角的余弦值为

. ,渐近线方程为 .

21. 中心在原点的双曲线 的右焦点为 (I)求双曲线 的方程; (II) 直线 与双曲线 交于

两点, 试探究, 是否存在以线段

为直径的圆过原点.

若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由. 【答案】(1) (2) 存在,

【解析】试题分析: (Ⅰ)设双曲线的方程为 c =a +b ,解得即可; (Ⅱ)由
2 2 2

, (a>0,b>0) ,则有 c=





得(2-k2)x2+2kx-2=0,根据韦达定理和向量的数量积 得出关于 k 的方程,即可求出 k 的值.

试题解析:

- 12 -

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(Ⅰ)设双曲线的方程为

,则有



,所以双曲线方程为



(Ⅱ)由





依题意有

解得 且 设 依题意有 又 所以 ,

且 ,

,① , , ,所以 , ,化简得 , ,

符合①,所以存在这样的圆. 22. 已知函数 (I)当 时,求函数 ,不等式 , ;(2) ,判断函数的单 ; 的最值; 恒成立,求实数 的取值范围.

(II)如果对任意的 【答案】(1)

【解析】试题分析: (I)化简函数 调性,然后求解函数的最值; (II)由 利用换元法令 ,得 ,所以 对

恒成立.利用分类

- 13 -

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讨论①当

时,

;②当

时,分离得

,求右侧函数的最小值即得实数

的取值范围. 试题解析: (Ⅰ) 又 在上 单调递减, , (Ⅱ)由 令 所以 ①当 ②当 由于 所以 综上知 . 在 时, 时, 递减,在 ,则 对 ; ,令 递增. ; 恒成立. ,得 ;

点睛:本题考查不等式恒成立,分类讨论以及转化思想的应用,利用对数的运算性质对函数 进行化简,采用换元法,把函数化繁为简,进行变量分离解决恒成立问题是解题的关键.

- 14 -


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