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2017年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2017 年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项) 1.设集合 A={x|x<1 或 x>2},B={x|3x﹣4>0},则 A∩B=( A. (﹣ ,1) B. ( ,2) 2.下列函数中为奇函数的是( C. (1, ) ) D.y=xcosx ) D. (2,+∞) )

A.y=x2+2x B.y=ln|x| C.y=( )x

3.过原点且与圆 x2+y2﹣4x+3=0 相切的直线的倾斜角为( A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 )

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 值为(

A.

B.

C.

D.

5. b 分别在两个不同的平面 α, β 内. 已知直线 a, 则“直线 a 和直线 b 垂直”是“平 面 α 和平面 β 垂直”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 6.已知向量 D.既不充分也不必要条件 =(1, ) , =(﹣1, ) ,则∠BAC=( )

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A.30° B.45° C.60° D.120° 7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为( )

A.8

B.8+4

C.4

+2

D.2

+

8.某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践 能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每 10 人推选一 名候选人,当各班人数除以 10 的余数大于 7 时再增选一名候选人,那么,各班 可推选候选人人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x] ([x]表示不 大于 x 的最大整数)可以表示为( A.y=[ ] B.y=[ ] C.y=[ ) ] D.y=[ ]

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.复数 z=(1﹣i) (2+i)的实部为 10.在△ABC 中,a=7,b=8,c=5,则∠A= 11.3﹣2,21.5,log23 三个数中最大的数是 . . . .

12.若抛物线 y2=8x 上的点 P 到焦点的距离为 6,则 P 到 y 轴的距离是

13. 在平面上, 过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影. 由 区域 中的点在 x 轴上的投影构成的线段记为 AB,则|AB|= .

14.若直线 l 与曲线 M(x0,y0)满足下列两个条件: (1)直线 l 在点 M(x0,y0)处与曲线 C 相切; (2)曲线 C 在点 M 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 M 处“内切”曲线 C. 下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)

①直线 l:y=0 在点 M(0,0)处“内切”曲线 C:y=x3 ②直线 l:y=x 在点 M(0,0)处“内切”曲线 C:y=sinx
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③直线 l:y=x﹣1 在点 M(1,0)处“内切”曲线 C:y=lnx.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 15.已知函数 f(x)=sinxcosx+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. cos(π﹣x)cosx

16.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an,数列{bn}满足:b1=3,b4=11,且{an+bn} 为等差数列. (I) 求数列{an}和{bn}的通项公式; (II) 求数列{bn}的前 n 项和. 17.某高中学校为了解学生体质情况,从高一和高二两个年级分别随机抽取了 40 名男同学进行“引体向上”项目测试.样本的测试成绩均在 0 至 30 个之间,按 照[0,5) ,[5,10) ,[10,15) ,[15,20) ,[20,25) ,[25,30]的分组分别作 出频率分布直方图.记样本中高一年级的“引体向上”成绩的方差为 s12,高二年 级的“引体向上”成绩的方差为 s22.

(Ⅰ) 已知该学校高二年级男同学有 500 人, 估计该学校高二年级男同学引体向 上成绩不少于 10 个的人数; (Ⅱ)从样本中高一年级的成绩不小于 20 个男同学中随机抽取 2 人,求至少有 1 人成绩在[25,30]中的概率. (Ⅲ)比较 s12 与 s22 的大小(只需写出结果) . 18.如图,正三角形 ABE 与菱形 ABCD 所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,
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M 是 AB 的中点,N 是 CE 的中点. (I)求证:EM⊥AD; (II)求证:MN∥平面 ADE; (III)求点 A 到平面 BCE 的距离.

19.已知函数 f(x)=1+lnx﹣aex (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)若对任意 x∈(0,+∞) ,不等式 f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 20.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ) ,离心率 e= .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程, (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相切,切点为 T,且直线 l 与直线 x=4 相交 于点 S.试问:在坐标平面内是否存在一定点,使得以 ST 为直径的圆恒过该定 点?若存在,求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.

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2017 年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项) 1.设集合 A={x|x<1 或 x>2},B={x|3x﹣4>0},则 A∩B=( A. (﹣ ,1) B. ( ,2) 【考点】1E:交集及其运算. 【分析】根据集合交集的定义进行求解即可. 【解答】解:B={x|3x﹣4>0}={x|x> }, 则 A∩B={x|x>2}, 故选:D C. (1, ) D. (2,+∞) )

2.下列函数中为奇函数的是(

) D.y=xcosx

A.y=x2+2x B.y=ln|x| C.y=( )x 【考点】3K:函数奇偶性的判断.

【分析】直接利用基本函数的奇偶性判断选项即可. 【解答】解:A.函数 y=x2+2x 为非奇非偶函数,故本选项错误; B.函数 y=ln|x|定义域不关于原点对称,非奇非偶函数,故本选项错误; C.函数 y=( )x 不满足 f(﹣x)=﹣f(x)不是奇函数,故本选项错误; D.f(﹣x)=﹣xcos(﹣x)=﹣xcosx=﹣f(x) ,则 f(x)为奇函数,故本选项正 确; 故选:D.

3.过原点且与圆 x2+y2﹣4x+3=0 相切的直线的倾斜角为( A. 或 B. 或 C. 或 D. 或



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【考点】I2:直线的倾斜角. 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和圆的半径,设出直线 l 的方程,由圆心 到 l 的距离等于半径求得斜率,则直线 l 的倾斜角可求. 【解答】解:由 x2+y2﹣4x+3=0,得(x﹣2)2+y2=1, ∴圆的圆心为(2,0) ,半径为 1, 设直线 l 的方程为 kx﹣y=0, 由圆与直线相切得: 解得 k= . =1,

设直线 l 的倾斜角为 θ(0≤θ<π) , 由 tanθ=± ,得 θ= 或 或 . .

∴直线 l 的倾斜角为 故选:B.

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 值为(



A.

B.

C.

D.

【考点】EF:程序框图.
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【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 s,k 的值,当 k=4 时不 满足条件 k<4,退出循环,输出 S 的值即可得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 s=1,k=1 满足条件 k<4,执行循环体,k=2,s=1+ 满足条件 k<4,执行循环体,k=3,s=1+ + 满足条件 k<4,执行循环体,k=4,s=1+ + + 不满足条件 k<4,退出循环,输出 s 的值为 s=1+ + + = 故选:C. .

5. b 分别在两个不同的平面 α, β 内. 已知直线 a, 则“直线 a 和直线 b 垂直”是“平 面 α 和平面 β 垂直”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据直线垂直和面面垂直的判定条件分别进行判断即可. 【解答】解:当 a⊥b 时,满足条件,但此时 α∥β,即充分性不成立, 当平面 α 和平面 β 垂直时, 直线 a 和 b 平行, 则直线 a 和直线 b 垂直不一定成立, 故必要性不成立, 则“直线 a 和直线 b 垂直”是“平面 α 和平面 β 垂直”

的既不充分也不必要条件, 故选:D

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6.已知向量

=(1,

) ,

=(﹣1,

) ,则∠BAC=(



A.30° B.45° C.60° D.120° 【考点】9R:平面向量数量积的运算. 【分析】方法一:判断△ABC 为等边三角形,问题得以解决, 方法二:根据向量的夹角公式计算即可 【解答】解:方法一:∵ ∴| ∴| |=2,| |=2, |=2, = =(1, ﹣ ) , =(﹣1, ) ,

=(﹣2,0) ,

∴△ABC 为等边三角形, ∴∠BAC=60°, 方法二: :∵ ∴| |=2,| =(1 , |=2, ) , ? =(﹣1, ) , × =2,

=1×(﹣1)+

∴cos∠BAC= ∵0°≤∠BAC≤180°, ∴∠BAC=60°, 故选:C.

= ,

7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为(



A.8

B.8+4

C.4

+2

D.2

+

【考点】L!:由三视图求面积、体积. 【分析】首先由三视图还原几何体,根据图中数据计算侧面斜高,进一步计算侧 面积. 【解答】解:由三视图得到几何体的直观图如图:四棱锥 P﹣ABCD,其中 OP=3,
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AB=CD=4,AD=BC=2, 所以 PE= ,PF= , ;

所以侧面积为 2(S△PAB+S△PBC)= 故选:C.

8.某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践 能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每 10 人推选一 名候选人,当各班人数除以 10 的余数大于 7 时再增选一名候选人,那么,各班 可推选候选人人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x] ([x]表示不 大于 x 的最大整数)可以表示为( A.y=[ ] B.y=[ ] C.y=[ ) ] D.y=[ ]

【考点】36:函数解析式的求解及常用方法. 【分析】由题意,根据规定 10 推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 7 时再增加一名代表,即余数分别为 8,9 时可以增选一名代表,也就是 x 要进一 位,所以最小应该加 2.进而得到解析式. 【解答】由题意,根据规定 10 推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 7 时再增加一名代表,即余数分别为 8,9 时可以增选一名代表,也就是 x 要进一 位,所以最小应该加 2.因此利用取整函数可表示为 y=[ 故选 B. ];

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.复数 z=(1﹣i) (2+i)的实部为 3 .

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【考点】A2:复数的基本概念. 【分析】直接把两个复数采用多项式乘多项式运算即可. 【解答】解:z=(1 一 i) (2+i)=1×2+i﹣2i﹣i2=3﹣i, 所以复数 z 的实部是 3. 故答案为 3.

10.在△ABC 中,a=7,b=8,c=5,则∠A= 【考点】HR:余弦定理.



【分析】由已知利用余弦定理可求 cosA 的值,结合 A 的范围即可得解. 【解答】解:∵a=7,b=8,c=5, ∴cosA= = = , .

∴由 A∈(0,π) ,可得 A= 故答案为: .

11.3﹣2,21.5,log23 三个数中最大的数是 【考点】4M:对数值大小的比较.

21.5



【分析】由于 3﹣2= ,21.5>2,log23<2,即可判断 【解答】解:3﹣2= ,21.5>2,log23<2, ∴3﹣2,21.5,log23 三个数中最大的数是 21.5, 故答案为:21.5

12.若抛物线 y2=8x 上的点 P 到焦点的距离为 6,则 P 到 y 轴的距离是 【考点】K8:抛物线的简单性质.

4



【分析】根据抛物线的焦半径公式,求得 x+ =6,即可求得 x 的值,求得 P 到 y 轴的距离. 【解答】解:∵抛物线 y2=8x,则 p=4,则焦点 F(2,0) ,设 P(x,y) 由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,
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∴|MF|=6=x+2=6, ∴x=4, P 到 y 轴的距离 4, 故答案为:4.

13. 在平面上, 过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影. 由 区域 中的点在 x 轴上的投影构成的线段记为 AB,则|AB|= .

3

【考点】7C:简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用投影的定义,利用数形结合进行求 解即可.

【解答】解:作出不等式组

对应的平面区域如图: (阴影部分) ,

区域内的点在直线 x+y﹣2=0 上的投影构成线段 A′B′, 由 由 得 A(﹣1, ) 得 B(2,﹣2) ,

则|AB|=|2+1|=3, 故答案为:3.

14.若直线 l 与曲线 M(x0,y0)满足下列两个条件:
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(1)直线 l 在点 M(x0,y0)处与曲线 C 相切; (2)曲线 C 在点 M 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 M 处“内切”曲线 C. 下列命题正确的是 ①② (写出所有正确命题的编号)

①直线 l:y=0 在点 M(0,0)处“内切”曲线 C:y=x3 ②直线 l:y=x 在点 M(0,0)处“内切”曲线 C:y=sinx ③直线 l:y=x﹣1 在点 M(1,0)处“内切”曲线 C:y=lnx. 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】分别求出每一个命题中曲线 C 的导数,得到曲线在点 M 处的导数值, 求出曲线在点 M 处的切线方程,再由曲线在点 M 两侧的函数值与对应直线上点 的值的大小判断是否满足条件(2) ,则正确的选项可求. 【解答】解:①,由 y=x3,得 y′=3x2,则 y′|x=0=0,直线 y=0 是在点 M(0,0) 处的曲线 C 的切线, 又当 x>0 时 y>0,当 x<0 时 y<0,满足曲线 C 在 M(0,0)附近位于直线 y=0 两侧,故命题①正确; ②,由 y=sinx,得 y′=cosx,则 y′|x=0=1,直线 y=x 是在点 M(0,0)处的曲线的 切线, 满足曲线 C 在 M(0,0)附近位于直线 y=x 两侧,故命题②正确; ③,由 y=lnx,得 y′= ,则 y′|x=1=1,曲线在 M(1,0)处的切线为 y=x﹣1, 由 g(x)=x﹣1﹣lnx,得 g′(x)=1﹣ ,当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,当 x ∈(1,+∞)时, g′(x)>0.则 g(x)在(0,+∞)上有极小值也是最小值,为 g(1)=0. 即 y=x﹣1 恒在 y=lnx 的上方,不满足曲线 C 在点 M 附近位于直线 l 的两侧,故 命题③错误. 故答案为:①②.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 15.已知函数 f(x)=sinxcosx+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;
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cos(π﹣x)cosx

(Ⅱ)求 f(x)在区间[0,

]上的最大值和最小值.

【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象. 【分析】 (Ⅰ)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin(ωx+φ) 的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期. (Ⅱ)x∈[0, ]上时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性

质,即得 f(x)的最大值和最小值. 【解答】解:函数 f(x)=sinxcosx+ 化简可得:f(x)= sin2x﹣ (Ⅰ)f(x)的最小正周期 T= (Ⅱ)∵x∈[0, ∴2x﹣ 当 2x﹣ 当 2x﹣ ∈[ = = , ]上, ] . . . cos(π﹣x)cosx cos2x﹣ =sin(2x﹣ )

cos2x= sin2x

,即 x=0 时,函数 f(x)取得最小值为 ,即 x=

时,函数 f(x)取得最大值为 1﹣ ]上的最大值为 1﹣ ,最小值为

∴f(x)在区间[0,

16.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an,数列{bn}满足:b1=3,b4=11,且{an+bn} 为等差数列. (I) 求数列{an}和{bn}的通项公式; (II) 求数列{bn}的前 n 项和. 【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求 数列的通项公式; (Ⅱ) 利用分组求和的方法求解数列的和, 由等差数列及等比数列的前 n 项和公 式即可求解数列的和. 【解答】解: (I)因为在数列{an}中,a1=1,an+1=2an 所以, =2,n∈N*,
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即数列{an}是以首项为 1,公比为 2 的等比数列. 所以 an=2n﹣1 设等差数列{an+bn}的公差为 d, 由题意得:3d=(a4+b4)﹣(a1+b1 )=(23+11)﹣(1+3)=15 解得 d=5, ∴an+bn=4+5(n﹣1)=5n﹣1, ∴bn=5n﹣1﹣2n﹣1, (II) 由(I)知 bn=5n﹣1﹣2n﹣1, 数列{5n﹣1}的前 n 项和为 4n+ 数列{2n﹣1}的前 n 项和为 = n 2+ n . =2n﹣1,

所以,数列{bn}的前 n 项和 n2+ n﹣2n+1.

17.某高中学校为了解学生体质情况,从高一和高二两个年级分别随机抽取了 40 名男同学进行“引体向上”项目测试.样本的测试成绩均在 0 至 30 个之间,按 照[0,5) ,[5,10) ,[10,15) ,[15,20) ,[20,25) ,[25,30]的分组分别作 出频率分布直方图.记样本中高一年级的“引体向上”成绩的方差为 s12,高二年 级的“引体向上”成绩的方差为 s22.

(Ⅰ) 已知该学校高二年级男同学有 500 人, 估计该学校高二年级男同学引体向 上成绩不少于 10 个的人数; (Ⅱ)从样本中高一年级的成绩不小于 20 个男同学中随机抽取 2 人,求至少有 1 人成绩在[25,30]中的概率.
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(Ⅲ)比较 s12 与 s22 的大小(只需写出结果) . 【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;B8:频率分布直方图. 【分析】 (Ⅰ)先求出样本中高二年级男同学引体向上成绩不少于 10 个的频率, 由此能估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于 10 个的人数. (Ⅱ)记“从样本中高一年级的成绩不小于 20 个的同学中随机抽取 2 人,至少有 1 人成绩在[25,30]中”为事件 M,样本中高一年级的成绩在[20,25)的人数为 4 人,记这 4 名同学为 A1,A2,A2,A4,样本中高一年级的成绩在[25,30]的人 B2, 数为 2 人, 记这两名同学为 B1, 由此利用列举法能求出至少有 1 人成绩在[25, 30]中的概率. (Ⅲ)由频率分布直方图能比较 , 的大小.

【解答】解: (Ⅰ)因为样本中高二年级男同学引体向上成绩不少于 10 个的频率 为(0.08+0.04+0.01)×5=0.65, 所以估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于 10 个的人数为: 500×0.65=325 人. (Ⅱ)记“从样本中高一年级的成绩不小于 20 个的同学中随机抽取 2 人, 至少有 1 人成绩在[25,30]中”为事件 M, 样本中高一年级的成绩在[20,25)的人数为 40×0.02×5=4 人, 记这 4 名同学为 A1,A2,A2,A4, 样本中高一年级的成绩在[25,30]的人数为 40×0.01×5=2 人, 记这两名同学为 B1,B2, 则从样本中高一年级的成绩不小于 20 个的同学中,随机抽取 2 人,所有可能的 结果有 15 种,分别为: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A4) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,A3) , (A2,A4) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,A4) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A4,B1) , (A4,B2) , (B1,B2) , 事件 M 包含的结果有 9 种,分别是: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A4,B1) , (A4,B2) , (B1,B2) , 所以至少有 1 人成绩在[25,30]中的概率 P(M)=
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(Ⅲ)





18.如图,正三角形 ABE 与菱形 ABCD 所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°, M 是 AB 的中点,N 是 CE 的中点. (I)求证:EM⊥AD; (II)求证:MN∥平面 ADE; (III)求点 A 到平面 BCE 的距离.

【考点】LS:直线与平面平行的判定;MK:点、线、面间的距离计算. 【分析】 (Ⅰ)推导出 EM⊥AB,从而 EM⊥平面 ABCD,由此能证明 EM⊥AD. (Ⅱ)取 DE 的中点 F,连接 AF,NF,推导出四边形 AMNF 是平行四边形,从而 MN∥AF,由此能证明 MN∥平面 ADE. (III)设点 A 到平面 BCE 的距离为 d,由 VA﹣BCE=VE﹣ABC,能求出点 A 到平面 BCE 的距离. 【解答】证明: (Ⅰ)∵EA=EB,M 是 AB 的中点,∴EM⊥AB, ∵平面 ABE⊥平面 ABCD,平面 ABE∩平面 ABCD=AB,EM? 平面 ABE, ∴EM⊥平面 ABCD, ∵AD? 平面 ABCD,∴EM⊥AD. (Ⅱ)取 DE 的中点 F,连接 AF,NF, ∵N 是 CE 的中点. ,∴NF ∵M 是 AB 的中点,∴AM ∴NF CD, ,

AM,∴四边形 AMNF 是平行四边形,

∴MN∥AF, ∵MN?平面 ADE,AF? 平面 ADE,
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∴MN∥平面 ADE. 解: (III)设点 A 到平面 BCE 的距离为 d, 由(I)知 ME⊥平面 ABC,BC=BE=2,MC=ME= 则 CE= ∴ ,BN= , = ∵VA﹣BCE=VE﹣ABC,即 解得 d= ,故点 A 到平面 BCE 的距离为 , , . = , ,

19.已知函数 f(x)=1+lnx﹣aex (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)若对任意 x∈(0,+∞) ,不等式 f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点 切线方程. 【分析】 (Ⅰ)根据导数和几何意义即可求出, (Ⅱ)分离参数,构造函数,利用导数,求出函数的最值,即可求出参数的取值 范围 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=1+lnx﹣aex, ∴f′(x)= ﹣aex,x∈(0,+∞) . 由于曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行, ∴f′(1)=1﹣ae=0, 解得 ,

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(Ⅱ)由条件知对任意 x∈(0,+∞) ,不等式 f(x)≤0 恒成立, 此命题等价于 a≥ 令 ∴ 对任意 x∈(0,+∞)恒成立

,x∈(0,+∞) . = ( ﹣1﹣lnx) ,x∈(0,+∞) .

令 g(x)=( ﹣1﹣lnx) ,x∈(0,+∞) . 则 g′(x)=﹣ ﹣ <0.

∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)上单调递减. 注意到 g(1)=0,即 x=1 是 g(x)的零点, 而当 x∈(0,1)时,g(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0. 又 ex>0,所以当∈(0,1)时,h′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0. 则当 x 变化时,h′(x)的变化情况如下表: x h′(x) h(x) (0,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,+∞) ﹣ ↘ ,所以实数 a≥ .

因此,函数 h(x)在 x∈(0,+∞) ,取得最大值

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点(1, ) ,离心率 e= .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程, (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相切,切点为 T,且直线 l 与直线 x=4 相交 于点 S.试问:在坐标平面内是否存在一定点,使得以 ST 为直径的圆恒过该定 点?若存在,求出该点的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】KL:直线与椭圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)由题意可知:将点代入椭圆方程,利用椭圆的离心率公式即可求 得 a 和 b 的值,即可求得椭圆方程; (Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,由△=0,求得 4k2﹣m2+3=0,利用韦达定理及
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中点坐标公式,求得 T 点坐标,联立即可求得 S 点坐标,由 数量积的坐标运算,可得 直径的圆恒过该定点(1,0) .

?

=0,根据向量

,即可求得 A 点坐标,即可求得以 ST 为

【解答】解: (Ⅰ)由点(1, )在椭圆上得,代入椭圆方程: ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,①

椭圆的离心率 e= = ,则 a=2c,a2=4c2,b2=3c2,②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②代入①解得 c2=1,a2=4,b2=3, 故椭圆 C 的标准方程为 ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅱ)由

,消去 y,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0;

因为动直线 l 与椭圆 C 相切,即它们有且只有一个公共点 T,可设 T(x0,y0) , m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0, ∴4k2﹣m2+3=0,③﹣﹣﹣﹣ 此时,x0= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由 ,得 S(4,4k+m) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =﹣ =﹣ ,y0=kx0+m= ,则 T(﹣ , ) .﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 假设平面内存在定点满足条件,不妨设为点 A. 由图形对称性知, 点 A 必在 x 轴上.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设 A(x1,0) ,则由已知条件知 AS⊥AT, 即 ? =0 对满足③式的 m,k 恒成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由 =(4﹣x1,4k+m) , +3=0,
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=(﹣

﹣x1, ) ,由

?

=0 得:﹣

+



4x1+x12+

整理得(4x1﹣4) +x12﹣4x1+3=0,④﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣ 由②式对满足①式的 m,k 恒成立,则 ,解得 x1=1.

故平面内存在定点(1,0) ,使得以 ST 为直径的圆恒过该定点.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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2017 年 6 月 15 日

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