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广东省东莞市四校2013-2014学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案




东莞市四校联考 2013—2014 学年度第二学期期中考试 高一年级 数学学科 试卷
( C. (1,?3),2 D. (?1,3), 2 ( C. 13 D. 2 3 ( D. ) ) ) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 1.圆 ( x ?1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 的圆心和半径分别为 A. (?1,3),2 B. (1,?3), 2

2.设 A(2,1,3) , B(0,1,0) 则点 A 到点 B 距离为 A. 13 B. 12

3.一个扇形的弧长与面积都是 5 ,则这个扇形圆心角的弧度数为

3 rad 2 5 , 则cosa ? 4.已知 a 是第二象限角, sin a ? 13 12 5 A. ? B. ? 13 13
A. 2 rad B.

C. 1rad

5 rad 2
( )

C.

5 13

D.

12 13
( )

5.圆 O1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 和圆 O1 : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.外离 D.内含

6.已知函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
2

) ,下面结论错误的是
B.函数 f ( x) 在区间 [0, D.函数 f ( x) 为奇函数





A.函数 f ( x) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 0 对称

?
2

] 上是增函数

7.函数 y ? sin 2 x 的图像可由函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 A.向左平移

? 3

得到

(

)

? ? 个单位 B.向右平移 个单位 3 3 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 6 6 1 ? 7 8.已知 cos ? ? , cos ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,则 cos(? ? ? ) ? 3 2 9 1 23 1 A. ? B. C. 2 27 2

( D. ?



23 27

9.函数 y ? Asin(?x ? ?)(A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 在一个周期内的图像如图所示, 则此函数的解析式为 ( ) A. y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

B. y ? 2 sin(

x ? ? ) 2 3

。 C. y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)
?) c ?oxs?(?

D. y ? 2 sin( 2 x ?

n (x? ? 10. 设 函 数 f ( x)? s i?

? ? ?) ( ? ?0的 , 最小) 正周期为? ,且
2

2? ) 3

f (? x)? f ( x )则 ,
A. f ( x) 在 ? 0,


B. f ( x ) 在 ?



? ?? ? 单调递减 ? 2? ? ?? ? 单调递增 ? 2?

? ? 3? ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 单调递增 ?

C. f ( x) 在 ? 0,

D. f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。

2 ,则 sin 2? 的值为 3 1 cos ? ? sin ? ? 12.已知 tan ? ? ,则 2 2 cos ? ? sin ?
11.已知 sin ? ? cos ? ?
2 2

. . .

13.经过点 M ( 2,1) ,并且与圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 24 ? 0 相切的直线方程是 14.函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? ) 的图像为 C ,下列命题: ②函数 f ( x ) 在区间 ( ?

? 3 11 ? 对称; ①图像 C 关于直线 x ? 12
数; ③将 y ? sin( 2 x ?

? 5? , ) 内是增函 12 12

) 的图像上的点横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 3 倍即可得到图像 C ; 3 ? ④图像 C 关于点 ( ,0) 对称. 3
其中,正确命题的编号是 . (写出所有正确命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15.(本小题满分 12 分)如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是单位圆上的两点, O 是坐标原点, ?AOP ?

?

?
6

, ?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ?,

(I)求 P 点坐标; (II)若 Q ( , ) ,求 cos? ? ?

3 4 5 5

? ?

??

? 的值. 6?



16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) . (I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)若点 ?

?? ?? 1? ? , ? 在函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像上,求 ? 的值. 6? ? 6 2? ?

17.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ? 期为 ? . (I)求 f ? x ? 的解析式; (II)求 f ? x ? 的单调增区间.

? ?

??

? (其中 A ? 0 , ? ? 0 )的振幅为 2,周 3?

18.(本小题满分 14 分)已知圆 C 与直线 l1 : x ? 6 y ? 10 ? 0 相切于点 P ( 4,?1) ,且圆心 C 在直线

l 2 : 5 x ? 3 y ? 0 上,求圆 C 的方程.



19.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?

) ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ), x ? R 3 4 4

?

?

(I)将 f ( x ) 化为 f ( x) ? Asin(?x ? ? ) ? b, ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) ; (II)若对任意 x ? [ ?

, ] ,都有 f ( x) ? a 成立,求 a 的取值范围; 12 2

? ?

(III)若将 y ? f ( x) 的图像先纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,后向左平移 数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x ) ?

? 个单位得到函 6

1 在区间 [?2? ,4? ] 内所有零点之和. 3

20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b ( x ? R ) 的图像
2

与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C .求: (I)求实数 b 的取值范围; (II)求圆 C 的一般方程; (III)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.



2013----2014 年高一四校联考数学评分标准 一.选择题
BCDAA 二.填空题 11. ? DCBDA

5 9

12.

1 3

13. x ? 2或4 x ? 3 y ? 5 ? 0

14.①②③

三.解答题 15.解:(I)设 P ? x, y ? 则 x ? cos

?
6

?

3 ? 1 , y ? sin ? , 2 6 2

所以 P ?

? 3 1? ? 2 ,2? ? …………………………………………………………………………………………4 分 ? ?
3 4 5 5 4 3 , cos ? ? ……………………………………………………8 分 5 5

(II)因为 Q ( , ) ,所以 sin ? ? 所以 cos( ? ?

?

6

) ? cos ? sin

?
6

? sin ? cos

?

6

………………………………………………………10 分

3 3 4 1 3 3?4 ………………………………………………………12 分 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
16.解:(I)∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? , …………………………………………………………………2 分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .………………………………………………………………4分 (II)∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,…………………………………………………6分 6? 6 ? ?

又点 ?

?? ?? 1? ? , ? 在函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像上, 6? ? 6 2? ?

∴ sin ? 2 ? 即 cos ? ?

? ?

?
6

?

?

? 1 ? ? ? ? .………………………………………………………………………8分 6 ? 2

1 .………………………………………………………………………………………10分 2

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?

3

.…………………………………………………………………………12分

17.解:(I)∵函数 f ( x) ? A sin(?x ?

?
3

) (其中 A ? 0, ? ? 0 )的振幅为 2 ,周期为 ? .

。 ∴ A ? 2, ? ?

2?

?

解得 ? ? 2 .………………………………………………………………… 4 分

f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
(II)由 ?

?
3

) .……………………………………………………………………………6 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,…………………………………………………………8 分

5? ? ? k? ? x ? ? k? ……………………………………………………………12 分 12 12 5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z …………………………………………14 分 f ( x) 的单调增区间为 [? 12 12
解得 ?

18.解:∵ x ? 6 y ? 10 ? 0


y?

1 5 x ? ………………………………………………………………………………………2分 6 3

∴与直线 x ? 6 y ? 10 ? 0 垂直的直线斜率为 ? 6 …………………………………………4分 ∴与直线 x ? 6 y ? 10 ? 0 垂直且过点 P(4,?1) 的直线方程为: y ? 1 ? ?6( x ? 4) 即: y ? ?6 x ? 23…………………………………………………………………………8分

由?

? y ? ?6 x ? 23 ? x ? 3 得? ?y ? 5 ?5 x ? 3 y ? 0
2 2 2

即圆心为 (3,5) …………………………………………10分

∴ r ? (3 ? 4) ? (5 ? 1) ? 37 ………………………………………………………………12 分 ∴所求圆的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 37 ………………………………………………………14 分
2 2

19.解:(I) f ( x) ? cos( 2 x ?

?

) ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ) 3 4 4

?

?

? cos( 2 x ? ) ? sin( 2 x ? ) ……………………………………………………………………2 分 3 2

?

?

1 3 ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x …………………………………………………………………4 分 2 2

?

? 3 1 sin 2 x ? cos2 x ? sin( 2 x ? ) …………………………………………………………6 分 6 2 2
, ] ,都有 f ( x) ? a 成立,则只需 f min ( x) ? a 即可 12 2

(II)若对任意 x ? [?

? ?



?? ?

?
12

?x?

?
2



?
3

? 2x ?

?
6

?

5? ………………………………………………………………8 分 6

∴当 2 x ?

?

6

??

?

3

即x??

?

12

时, f ( x ) 有最小值即

f min ( x) ? f (?

?
12

)??

3 2 3 ………………………………………………………………10 分 2

故求 a 的取值范围为: a ? ?

(III)依题意可得: g ( x) ? sin x 由 g ( x) ?

1 1 ? 0 得 sin x ? 3 3

由图可知,原函数有6个零点: x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 根据对称性有:

x1 ? x2 3? x3 ? x4 ? x5 ? x6 5? ?? , ? , ? 2 2 2 2 2 2
从而,所有零点和为: x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? 3? …………………………………………14 分

20.解:(I)∵ f ( x) 与坐标轴有三个交点, ∴必是与 y 轴有一个、与 x 轴有二个. 令 x ? 0 ,得抛物线与 y 轴的交点 (0, b)(b ? 0) .…………………………………………2 分 令 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? 0 ,则它有二个不同的解,
2

? ? 4 ? 4b ? 0 ,解得 b ? 1 . ∴

………………………………………………………4 分 ………………………………………………5 分

∴ b 的取值范围是 {b | b ? 1 且 b ? 0} .

。 (II)设圆的方程为 x ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2

令 y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0 ,其解是圆与 x 轴交点的横坐标.
2

∴ x ? Dx ? F ? x ? 2 x ? b ? 0 ,∴ D ? 2, F ? b .…………………………………7 分
2 2

令 x ? 0 得 y 2 ? Ey ? F ? 0 , ∴ 此方程有一个根为 b ,∴ E ? ?1 ? b .………………………………………………9 分 ∴ 所求圆的方程是 x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 . …………………………………………………10 分 (III)答:圆 C 必过定点 (0,1) 和 (?2,1) . …………………………………………………………13 分 圆的方程是 x2 ? y 2 ? 2x ? y ? (1 ? y)b ? 0 当 y ? 1 时, x ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 0, x ? ?2
2

∴ 圆 C 过定点 (0,1) 和 (?2,1) .

……………………………………………………………14 分


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