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高中数学必修1函数单调性,最值,以及奇偶性

函数专题:单调性与最值
一、增(减)函数
1.概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自 变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 注意: ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②增(减)函数是相对于相应区间而言的,不能离开相应的区间讨论增减性。

二、判断函数单调性的常用方法
1、 (图像法)根据函数图象说明函数的单调性. (直观) 例 1、 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以 及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

2.利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 例、证明函数 y ? x ?
1 在(0,1)上为减函数. x

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例、判断函数 y ? x ?

p 单调性.(p>0) x

【归纳小结】 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 3、直接法 对基本初等函数,如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间. (1) 一次函数 y=kx+b,当 k>0 时,增区间是(-∞,+∞) ;当 k<0 时,减区间是(-∞,+∞) (2)

〖针对性练习〗
1 1.函数 y ? ? 的单调区间是( x

) B.(- ? ,0)和(1, ? , ) D. (- ? ,1) ? (1, ? )

A. (- ? ,+ ? ) C.(- ? ,1)和(1, ? )

2. 若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+ ? ),求 a 的值。

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3.函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 的增区间是(

)。
1 (??, ?3) 3

A.[-3,-1]

B.[-1,1]

C. ?1 ? a ? ?

D. (?1, ?)

4、已知函数 f ( x) ? x ?

1 判断 f ( x) 在区间〔0,1〕和(1,+ ? )上的单调性。 x,

5、已知函数 y= f ( x) 是定义在[-1,2]上的增函数,且满足:f(a-1)>f(1-3a),求实数 a 的取 值范围。

6、已知 f(x)=x2-2(1-a)x+2 在(-∞,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆ 1 、定义: 设 y=f(u),u=g(x), 当 x 在 u=g(x) 的定义域中变化时,u=g(x) 的值在 y=f(u) 的定义域 内变化,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系,记为 y=f(u)=f[g(x)] 称为复合函数,其中 x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量 ( 即 函数 ) 2、复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律
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如下: 函数
u ? g ( x) y ? f (u )

单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

y ? f ? g ( x)?

例、已知 y ? f (u) ? u ? 1, u ? g ( x) ? ?3x ? 2 ,求 y ? f ? g ( x)? 的单调性。

例、已知 y ? f (u) ? u 2 ? 1, u ? g ( x) ? x ? 1 ,求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。

〖针对性训练〗 1、已知 y ? f (u) ? u 2 ? 1, u ? g ( x) ? ?x ? 1 ,求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。

2、已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x2 ,如果 g ( x) ? f (2 ? x2 ) ,那么 g ( x) ( ) A. 在区间(-1,0)上是减函数 C. 在区间(-2,0)上是增函数 B. 在区间(0,1)上是减函数 D. 在区间(0,2)上是增函数

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3、已知函数 f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),试求 g(x)的单调区间.

三、函数的最大(小)值
1.函数最大(小)值定义 1)最大值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 2)最小值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最小值. 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x? I ,都有
f ( x) ? M ( f ( x? ) m ) .

(2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .

(2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .

例、求函数 y ? x2 ? 2x ? 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 . ① ?1 ? x ? 0 ② 0? x?3 ③ x ? (??, ??)

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例、求函数 y ?

2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

例、设函数 f(x)=(x+a)2 对于任意实数 t∈R 都有 f(1-t)=f(1+t). (1)求 a 的值; (2)如果 x∈[0,5],那么 x 为何值时函数 y=f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最 大值.

【针对性练习】 一、选择题 1.函数 y=4x-x2,x∈[0,3]的最大值、最小值分别为( (A)4,0 2.函数 y ? (A)
1 2
1 x ? x2

) (D)4,3

(B)2,0 的最小值为( (B)1 )

(C)3,0

(C)2
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(D)4

二、填空题 1.函数 y=2x2-4x-1 2.函数 y ?

x∈(-2,3)的值域为______.

2x ? x 2 的值域为______.


3、函数 y ? x2 ? 4x ? 5( x ??0,3? ? 的值域是 三、解答题 1.求函数 f ( x) ? ?
?2 x , x ? 0 的值域. ?? x, x ? 0

2. 已知函数 f(x)在 R 上是减函数, 对于任意的 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),f(1)=-2/3, 求 f(x)在[-3,3]上的最值。

3、求函数 y=

的值域.

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四、奇偶性 1.概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 函数 f(x)就叫做偶函数;如果都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数。 从图像的角度,图像关于 y 轴对称的函数是偶函数,关于原点对称的函数 是奇函数。 例.下面三个结论:①偶函数的图像一定与 y 轴相交;②奇函数的图像一定通过 原点;③偶函数的图像关于 y 轴对称.其中正确的个数有几个?

2.判断函数奇偶性的一般步骤: ①求定义域,判断其定义域是否关于原点对称(不对称→非奇非偶) ②化简函数 f(x)的解析式,并求 f(-x) ③根据 f(-x)与非 f(x)的关系,判断函数 f(x)的奇偶性 例、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= (2)f(x)=

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3.奇(偶)函数的性质 ①f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|) ②若奇函数在原点处有定义,则 f(0)=0 ③偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为 奇函数;奇数个奇函数的积、商为奇函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇 函数。 ④若函数 f(x)为奇函数,则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]具有相 同的单调性;反之,偶函数具有相反的单调性。

例、设 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,试证明 f(x)在(-∞,0)上是 减函数.

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例、判断下列函数的奇偶性: (1)y=ax+b/x,(a,b≠0) (2)y=ax/(x2+1),a≠0

【针对性练习】

1. 已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,求 f(2).

2、设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立 的是() A、f(x)+|g(x)|是偶函数 C、|f(x)|+g(x)是偶函数 B、f(x)-|g(x)|是奇函数 D、|f(x)|-g(x)是奇函数

3、判断函数 f(x)= |x+a|-|x-a|,a∈R 的奇偶性.
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4.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=f(x),当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,求 f(3/2).

5.函数 f(x)=1/x-x 的图像关于( A、y 轴对称 C、坐标原点对称

) B、直线 y=-x 对称 D、直线 y=x 对称

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