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2015潮州市二模文数试题及其(纯word)


绝密★启用前

潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试
数学(文科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对 应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂 其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式: 球的表面积 S

? 4?R 2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若复数 (2 ? i)(1 ? ai) 是纯虚数( i 是虚数单位, a 是实数),则 a 等于( A. -1 B. ? )

1 2

C.2

D. 3

2.从匀速传递的新产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检 测,这样的抽样是( A.系统抽样 ) B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.随机数法 )

3.在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有( A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

4.已知数列 {an} 的前 n 项和 S n ? n 2 ,则 a3 ? a 2 的值为( A. ? 2 B. 2 C. ? 3

D. 3 ) D.不能确定

2 2 2 5. 在 ?ABC 中,若 a ? b ? c ,则 ?ABC 的形状是(

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

1

6.若将一个质点随机投入下图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2BC=4,则质点落在以 AB 为直径的半 圆内的概率是( π A. 2 ) π B. 4 π C. 6 π D. 8 ) 开始 输入 p

127 7.执行右边的程序框图,若输出 s ? ,则输入 p ? ( 128
A.6 B. 7 C.8 D.9

n ? 0, S ? 0

n? p




8.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1的 圆心的抛物线的方程是( A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2

n ? n ?1
S?S? 1 2n

输出 S 结束

) B. y ? 3x
2

C. y 2 ? ?9 x 或 y ? 3x 2

D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x )

9.已知 A(1,?2) , B(a,?1) , C (?b,0) 三点共线,其中 a ? 0, b ? 0 ,则 ab 的最大值是( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 8

10.已知奇函数 y ? f ( x) 的导函数 f ? ? x ? ? 0 在 R 恒成立,且 x , y 满足不等式

f ( x 2 ? 2x) ? f ( y 2 ? 2 y) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是(
A. [0,2 2 ] B. [0, 2 ] C. [1,2]

) D. [ 2 ,2 2 ]

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的 表面积是________. 12.已知 a ? b ? 6, a ? b ? 10 ,则 a ? b ?

r

r

r

r

r r



13.函数 f ( x ) 定义域为 D,若满足:① f ( x ) 在 D 内是单调函数;②存在 [a, b] ? D 使 f ( x ) 在 。若函数 f ( x) ? log (a ? a, b? 上的值域为 ?2a,2b? ;那么就称 y ? f ( x) 为“域倍函数”
a x

? 2t )(a ? 0, a ? 1) 是

“域倍函数” ,则 t 的取值范围为

.
2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程 ? ? 2cos ? , 直线的极坐标方程为 ? cos ? ? 2? sin ? ? 7 ? 0 ,则圆心到 直线距离为 .

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,⊙ O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P ,与⊙ O 相切于 A, B 两点,

C 是⊙ O 上的一点,若 ?P ? 70? ,则 ?ACB ? ________。

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(

x ? ? ) , ( A ? 0) 的最大值为 2. 3 6

(1)求 A 及 f (0) 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
2

] , f (3? ?

?
2

)?

10 6 , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 13 5

3

17. (本小题满分 12 分) 为调查学生每周平均体育运动时间的情况, 某校收集到高三 (1) 班 20 位学生的样本数据 (单位:小时) , 将他们的每周平均体育运动时间分为 6 组:[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]加以统计,得到如图 所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值; (2) 若在该班每周平均体育运动时间低于 4 小时的学生中任意抽取 2 人, 求抽取到运动时间低于 2 小时的 学生的概率。

4

18. (本小题满分 14 分)

如图 1,平面五边形 SABCD 中 SA ?

15 , AB ? BC ? CD ? DA ? 2, ?ABC ? 2? , ?SAD 沿 AD 折 2 3
1 . 2

起成.如图 2,使顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O , M 为 BC 上一点, BM ? (1)证明: BC ? 平面SOM ; (2)求四棱锥 S ? ABMO 的体积

D S A 如图 1 B

C D O A 如图 2

S C M B

5

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 a n?1 ? 2S n ? 6 ,且 a1 ? 6 . (1)求 a 2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 bn ?

2a n (3 ? 1)(S n ? 2)
n

,证明: b1 ? b2 ?

? bn ? 1

6

20.(本小题满分 14 分) 已知直线 l : y ?

x2 y2 3 x ? 1 过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点。 3 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴交于点 M,求常数 ? 使得 k AM ? ?k BD

7

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a ? x ? 1? ,其中 a>0. (1) 若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上有极大值 0,求 a 的值; (2) 讨论并求出函数 f ( x ) 在区间 [ , e ] 上的最大值; (3)在(2)的条件下设 h( x) ? f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x1 , x2 ? (0, ??)( x1 ? x2 ) 证明:不等式 ,

1 e

x1 ? x2 x ? x2 ? 1 恒成立. h( x1 ) ? h( x2 ) 2

8

潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试 数学(文科)参考答案及评分说明 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 A 6 B 7 B 8 D 9 D 10 A

部分题解析:

1 1 127 ? 1? n ? ?p?7. n 2 2 128 1 2 1 9 2 2 2 8.圆心为 (1, ?3) ,设 x ? 2 py, p ? ? , x ? ? y ;设 y ? 2 px, p ? , y ? 9 x 选 D. 6 3 2
7.

S?

1 1 ? ? 21 22

?

9.由 AC ? ? ?b ? 1, 2? , AB ? ? a ? 1,1? 共线,有 2a ? b ? 1 ,所以 2a ? b ? 2 2ab , 即 2 2ab ? 1,从而 ab ?

1 8

10. 因为函数 y= f ( x ) 为奇函数,所以 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ,由函数 y= f ( x ) 的导函数 f ? ? x ? ? 0 在 R 恒成立,知函数 y= f ( x ) 为减函数,? x 2 ? 2x ? 2 y ? y 2
2 2 即?( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,故 x ? y 的最小值为 0,最大值为直径 2 2

二、填空题: 11. 12π ; 12. 1 ; 13. ? 1 ? t ? 0 ; 14. 8

8 5 ; 5

15.

550

解析: 11. 由三视图可得几何体的直观图上面是半径为 1 的球,下面是一个底面半径为 1,高为 3 的 圆柱,表面积 S=S 球+S 圆柱=4π·12+2π·1·3+π·1·2=12π, 12. 由 a ? b ? 5, a ? b ? 10 分别平方后相减得 a ? b ? 1
f ( a ) ? 2a 13. .题有函数 f ( x) ? loga (a x ? 2t )(a ? 0, a ? 1) 是增函数,由“域倍函数”定义有 ? , ? ? f (b) ? 2b

r

r

r

r

即方程 f ( x) ? 2 x 有两个不同实根,即方程 a x ? 2t ? a2 x (a x ? u ? 0), u 2 ? u ? 2t ? 0 有两个不同
9

? ? 1 ? 8t ? 0 1 正实根? ? ?? ? t ? 0 ? 8 ??2t ? 0

14.由 ? ? 2cos? ? ? 2 ? 2? cos? ? x2 ? y 2 ? 2x ? 0 ? ( x ?1)2 ? y 2 ? 1,

? cos? ? 2? sin ? ? 7 ? 0 ? x ? 2 y ? 7 ? 0 ,∴ d ?

1? 2? 0 ? 7 12 ? 22

?

8 5 . 5
1 ?AOB ? 55 . 2

15.连接 OA, OB ,则 OA ? PA, OB ? PB .故 ?AOB ? 110O ,∴ ?ACB ?

三、解答题: 16、解:因为函数 f ( x) ? A sin( 所以 A=2, 所以 f ( x) ? 2 sin(

x ? ? ) , ( A ? 0) 的最大值为 2, 3 6
…………………………………………………2 分

x ? ? ) 3 6

…………………………………………………3 分

f ( x) 的最小正周期 T ?

2? ? 6? 1 3

…………………4 分

(2)

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

…………………5 分

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
? sin ? ?

…6 分

? 5 3 , cos ? ? , ? , ? ? [0, ] 2 13 5
2 2

…………………8 分

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ?
4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2 2

…………………9 分

…………………10 分

cos(? ? ? )= cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?
17(1)解:根据频率分布直方图,

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

……………12 分

10

各组的频率分别为:0.05,0.2,0.3,0.25,0.15,0.05 各组的中点分别为:1,3,5,7,9,11 该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为

……………………2 分 ……………………4 分

0.05 ? 1 ? 0.2 ? 3 ? 0.3 ? 5 ? 0.25 ? 7 ? 0.15 ? 9 ? 0.05 ? 11 ? 4.45
(2)依题意可知,

…………………6 分

平均运动时间低于 4 小时的学生中,在[0,2)的人数有 0.05 ? 20 ? 1 ,记为 1, 在[2,4)的人数有 0.2 ? 20 ? 4 ,记为 2,3,4,5 从这 5 人中随机抽取 2 人的可能情况有 10 种,分别为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5) ; ……10 分 其中,抽取到运动时间低于 2 小时的学生的可能情况有 4 种,分别为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) ; 故所求概率 p ? ………………………………11 分 ……………………………………………………12 分 …………………8 分

4 2 ? 10 5

18.解: (1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形, O 为菱形中心,连结 OB , 则 AO ? OB , ……………………………………………………1 分

因 ?BAD

?

?
3

,故 OB ? AB ? sin ?OAB ? 2sin

?
6

?1

…………………………2 分

又因为 BM

?

1 ? ,且 ?OBM ? ,在 ?OBM 中 3 2
2

1 ? 3 ?1? OM 2 ? OB2 ? BM 2 ? 2OB ? BM ? cos ?OBM ? 12 ? ? ? ? 2 ?1? ? cos ? ……4 分 2 3 4 ?2?
2 2 2 所以 OB ? OM ? BM ,故 OM ? BM ,即 OM ? BC

……………………5 分

又顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O ,有 SO ? 平面ABCD,

11

所以 SO ? BC ,

………………………6 分 ………7 分

从而 BC 与平面 SOM 内两条相交直线 OM,SO 都垂直,所以 BC ? 平面SOM (2)解:由(Ⅰ)可知, OA ? AB ? cos ?OAB ? 2 ? cos

?
6

? 3
…………………9 分 …………………………10 分

由题意及如图 2 知由 SO ? 底面 ABCD , SO ? OA 所以 SO ?

SA2 ? OA2 ?

15 3 ?3 ? 4 2

此时 S ABMO ? S?AOB ? S?OMB ?

1 1 1 1 1 3 5 3 ? AO ? OB ? ? BM ? OM ? ? 3 ?1 ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 8

…12 分

所以四棱锥 S ? ABMO 的体积 VP ? ABMO ?

1 1 5 3 3 5 ? S ABMO ? SO ? ? ? ? 3 3 8 2 16

………14 分

19.解: (1)当 n ? 1 时, a 2 ? 2S1 ? 6 ? 2a1 ? 6 ? 18 ,? a 2 ? 18 (2)由 a n?1 ? 2S n ? 6 ①,得 a n ? 2S n?1 ? 6(n ? 2) ② ①-②:得 a n?1 ? a n ? 2S n ? 2S n?1 即 an?1 ? 3an (n ? 2) , 又 a1 ? 6 , a 2 ? 18,所以 a2 ? 3a1

……………………2 分

……………………4 分 ……………………6 分 ……………………7 分 …………8 分

∴数列 ?an ? 是以 6 为首项,公比为 3 的等比数列,∴ an ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n (3)由(2)得: an?1 ? 2 ? 3n?1 , 故 Sn ?

……………………9 分 ………………11 分

1 a n ?1 ? 3 ? 3 n ?1 ? 3 , 2

bn ?

2an 4 ? 3n 2(3n?1 ? 1) ? (3n ? 1) 1 ? ? 1 ? ? ? 2? n ? n?1 ? n n n ?1 n n ?1 (3 ? 1)(S n ? 2) (3 ? 1)(3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) ? 3 ?1 3 ?1?
……………………………………………………………12 分

? b1 ? b2 ?

? bn ? 2(

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
1

?

1 1 ? n ?1 ) 3 ?1 3 ?1
n

1 1 ? 2 ? ( ? n ?1 ) ? 1 . 2 3 ?1

………………………………………14 分.

12

20.解: (1)直线 l : y ?

3 x ? 1 过两点 ? 0,1? , ? 3, 0 3

?

?

………………………1 分

因为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点在 x 轴时,故焦点为 ? 3, 0 ,顶点为 ?0,1? …………2 分. a2 b2
………………………………………3 分. ………………………………………4 分.

?

?

? b ? 1, c ? 3

? a ? b2 ? c2 ? 2
所以,所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

………………………………………5 分

(2)设 A( x1 , y1 )( x1 y1 ? 0), D( x2 , y2 ) ,则 B(? x1 , ? y1 ) ,直线 AB 的斜率 k AB ?

y1 ,…6 分 x1

又 AB ? AD ,所以直线 AD 的斜率 k ? ?

x1 , y1

…………………………………7 分

设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题意知 k ? 0, m ? 0 ,

………………………8 分

? y ? kx ? m 8mk ? 由 ? x2 ,可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4m2 ? 4 ? 0 .所以 x1 ? x2 ? ? , …………………9 分 2 2 1 ? 4 k ? y ? 1 ? ?4
因此 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 由题意知, x1 ? x2 ,所以 kBD ?

2m , 1 ? 4k 2

y1 ? y2 y 1 ?? ? 1 , x1 ? x2 4k 4 x1

……………………………11 分

所以直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

y1 ( x ? x1 ) , 4 x1

令 y ? 0 ,得 x ? 3x1 ,即 M (3x1 ,0) .可得 k AM ? ?

y1 . 2 x1

………………………13 分 ………………14 分

所以 k AM ? ?2kBD ,即 ? ? ?2 .因此存在常数 ? ? ?2 使得结论成立. 21.解: (1) f '( x) ?

1 1 ? ax ?a ? ………………………………1 分 x x 1 1 明显,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 ………………2 分 a a 1 1 故函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减,………………………3 分 a a 1 因此函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有极大值 f ( ) ? ? ln a ? 1 ? a ? 0 …………………4 分 a
13

∴ ln a ? a ? 1 (2)∵ f '( x) ?

解得 a ? 1

…………………5 分

1 1 ? ax ?a ? x x 1 1 1 ①若 ? e ,即 0 ? a ? ,则当 x ? [ , e] 时,有 f '( x) ? 0 , e a e 1 ∴函数 f (x)在 [ , e ] 上单调递增,则 f ( x)max ? f (e) ? 1 ? ea ? a . ………6 分 e 1 1 1 1 1 1 ②若 ? ? e ,即 ? a ? e ,则函数 f (x)在 ( , ) 上单调递增,在 ( , e) 上单调递减, e a e a e a 1 ∴ f ( x) max ? f ( ) ? ? ln a ? 1 ? a . ………………………………7 分 a 1 1 1 1 ③若 ? ,即 a ? e ,则当 x ? [ , e] 时,有 f '( x) ? 0 ,函数 f (x)在 [ , e ] 上单调递减, a e e e 1 a 则 f ( x) max ? f ( ) ? ?1 ? ? a . ………………………………8 分 e e 1 综上得,当 0 ? a ? 时, f ( x)max ? 1 ? ea ? a ; e 1 当 ? a ? e 时, f ( x)max ? ? ln a ? 1 ? a ; e a 当 a ? e 时, f ( x) max ? ?1 ? ? a . …………………………9 分 e

(3)要证明

x1 ? x2 x ? x2 ? 1 h( x1 ) ? h( x2 ) 2 x1 ? x2 x ?x ? 1 2 ln x1 ? ln x2 2
…………………………………………10 分

只需证明

x1 ?1 x2 x1 ? x2 1 1 x ? ln 1 , ? ? ln x1 ? ln x2 ? 即证明 只需证明 x1 2 x2 x1 ? x2 2 ?1 x2
不妨设 x1 ? x2 ? 0 ,令

……………………11 分

t ?1 1 x1 ? ln t ? 0 ? t ,则 t>1,则需证明 t ?1 2 x2

…………12 分

令 ? ( x) ?

t ?1 1 ? (t ? 1) 2 ? ln t (t ? 1) ,则 ? ?( x) ? 1, ? ?)上单调递减 ? 0 ?? (t )在( t ?1 2 2t (t ? 1) 2 t ?1 1 ? ln t ? 0 t ?1 2
………………14 分

? ? (t ) ? ? (1) ? 0即
故不等式

x1 ? x2 x ? x2 ? 1 得证 h( x1 ) ? h( x2 ) 2

14



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