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数学三角恒等式


三角恒等式
三角函数两角和与差 内容

证明 取直角坐标系,作单位圆;取一点 A,连接 OA,与 X 轴的夹角为 α; 取一点 B,连 接 OB,与 X 轴的夹角为 β, 则 OA 与 OB 的夹角即为 α-β ∵A(cosα,sinα),B (cosβ,sinβ),O(0,0) ∴OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)(向量) ∴OA·OB=|OA| |OB| cos (α-β) =cos α cos β + sin α sin β ∵|OA| = |OB| = 1 ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 取 β=-β,可得 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

以上内容来自:[3]
三角函数和差化积

三角函数积化和差

三角函数二倍角公式

三角函数三倍角公式 sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan?α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot?α-1) 三角函数 n 倍角公式 根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ 将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式 sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-… cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α 三角函数半角公式 sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2] cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2] tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)] csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)] 三角函数辅助角公式

公式:

(其中 φ 满足



) 三角函数万能公式 sina=[2tan(a/2)]/[1+tan? (a/2)] cosa=[1-tan? (a/2)]/[1+tan? (a/2)] tana=[2tan(a/2)]/[1-tan? (a/2)] 三角函数降幂公式 sin?α=[1-cos(2α)]/2 cos?α=[1+cos(2α)]/2 tan?α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)] 三角函数三角和 sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 三角函数幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中 c0,c1,c2,...cn...及 a 都是常数, 这种级数称 为幂级数。 三角函数泰勒展开式 泰勒展开式又叫幂级数展开法 f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…… 实用幂级数:

e^x = 1+x+x?/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞) ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞) cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞) arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k+1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !! 表示双阶乘[4] arccos x = π/2 -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1) sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞) cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞) arcsinh x =x - x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) -1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1) 在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结 合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。


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