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《平面向量共线的坐标表示》教学设计


《平面向量共线的坐标表示》教学设计 教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特 别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 2.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) . 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 二、讲解新课: ? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 ? ? 设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2) ? ? 其中 b ? a . ? ? 由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2) ? x ? ?x2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2 消去λ ,x1y2-x2y1=0 ? 探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0 中至少有一个不为 0 (2)充要条件不能写成 ∴x2, y2 y1 y 2 ? x1 x 2 ∵x1, x2 有可能为 0 ? ? (3) 从 而 向 量 共 线 的 充 要 条 件 有 两 种 形 式 : a ∥ b ? (b ?0 )? 三、讲解范例: a ? ?b x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ? ? ? ? 例 1 已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y. 例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间的位 置关系. 例 3 设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1)当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. ? ? 例 4 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x ? ? 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线 ∴x=± 2 ∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x= 2 ? ? ∵ a 与 b 方向相同 例 5 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平 行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB ∥ CD , CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2, 6

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