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2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期末数学试题(文科)(解析版)

2016-2017 学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期末数学试卷 (文科) 一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. (5 分)命题“若 a>b,则 2a>2b”的逆否命题是( A.若 a≤b,则 2a≤2b B.若 a>b,则 2a≤2b C.若 2a≤2b,则 a≤b D.若 2a≤2b,则 a>b 2. (5 分)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实 根”时,要做的假设是( A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 3. (5 分)双曲线 A. B. 的焦点坐标是( ) ) ) C. (±2,0) D. (0,±2) ) 4. (5 分) 甲、 乙两人下棋, 和棋概率为 , 乙获胜概率为 , 甲获胜概率是 ( A. B. C. D. ) 5. (5 分)设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=( A.e2 B.e C. D.ln2 6. (5 分)如图是 2016 年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出 的分数的茎叶图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和众数依 次为( ) 1 A.84,84 B.84,85 C.86,84 D.84,86 7. (5 分)如图,M 是半径 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点 N, 连接 MN,则弦 MN 的长度超过 R 的概率是( ) A. B. C. D. ) 8. (5 分)已知 a 为函数 f(x)=x3﹣12x 的极小值点,则 a=( A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 9. (5 分) 对具有线性相关关系的变量 x, y 有一组观测数据 (xi, yi) (i=1, 2, …8) , 其回归直线方程是 的值是( A. B. ) C. D. ) ) x+a,且 x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,则实数 a 10. (5 分) 若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9, 则点 P 的坐标为 ( A. (7,± ) B. (14,± ) C. (7,±2 ) D. (﹣7,±2 11. (5 分)已知函数 f(x)=x3﹣ax2+1 在区间(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.a≥3 ) D.0<a<3 和双曲线 ,P 是 B.a=3 C.a≤3 12. (5 分)已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆 它们的一个交点,则△F1PF2 的形状是( A.锐角三角形 B.B 直角三角形 ) C.钝有三角形 D.等腰三角形 13. (5 分)若命题“? x∈R,ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. (﹣8,0] C.[﹣8,0) D. (﹣8,0) A.[﹣8,0] 14. (5 分)设 f(x) ,g(x)是定义域为 R 的恒大于零的可导函数,且 f'(x)?g (x)﹣f(x)?g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( ) A.f(x)?g(x)>f(b)?g(b) B.f(x)?g(a)>f(a)?g(x) C. ( f x) 2 ?g(b)>f(b)?g(x) D.f(x)?g(x)>f(a)?g(a) 15. (5 分)已知抛物线 C:y2=4x 的交点为 F,直线 y=x﹣1 与 C 相交于 A,B 两 点,与双曲线 E: ﹣ =2(a>0,b>0)的渐近线相交于 M,N 两点,若线 ) 段 AB 与 MN 的中点相同,则双曲线 E 离心率为( A. B.2 C. D. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分. 16. (3 分)已知 i 是虚数单位,则 = . 17. (3 分)对任意非零实数 a、b,若 a?b 的运算原理如图程序框图所示,则 3? 2= . 18. (3 分)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 10 行 从左向右的第 3 个数为 . 19. (3 分)曲线 C 的方程为 ,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次 所得的点数, 记事件 A 为“方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆”, 那么事件 A 3 发生的概率 P(A)= . 20. (3 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图象 上的动点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于 点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 21. (8 分)已知曲线 C 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ=2. (1)将 C 测参数方程化为普通方程; (2)直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 AB 的长度. 22. (8 分)设 p:实数 x 满足(x﹣a) (x﹣3a)<0,其中 a>0,q:实数 x 满足 . (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 23. (8 分)某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4500 人.为 调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时) . (1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方

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