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浙江省五校联考高三数学第一次联考试题 理

2011 学年浙江省第一次五校联考数学(理科)试题卷
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合要求的. 1.在复平面内,复数 A.第一象限 2 .若 ( x ? ( ) A.45 3.若数列 ?an ? 满足 B.90 C.180 D.360

i 2 +(1+ 3 i) 对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限

(

)

D.第四象限

2 n ) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x2

2 an ?1 ? p( p 为常数, n ? N * ) ,则称数列 ?an ? 为等方比数列.已知甲: 2 an

?an ?是等方比数列, ?an ?为等比数列, 乙: 则命题甲是命题乙的
A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件





4. 已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯炮, 这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯炮使用, 电工师傅每次从中任取一只且不放回, 则他直到第 3 次才取 得卡口灯炮的概率是( A. )

21 40

B.

17 40

C.

3 10

D.

7 120

5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如图,则 f ( x) 的解析式和

S ? f (0) ? f (1) ? f (2) ??? f (2011) 的值分别是
( )

1 sin 2?x ? 1 , S ? 2011 2 1 ? B. f ( x ) ? sin x ? 1 , S ? 2012 2 2 1 ? C. f ( x ) ? sin x ? 1 , S ? 2012 2 4
A. f ( x) ?

y
3 2

1
1 2

o

2

4

x

D. f ( x ) ?

1 ? sin x ? 1 , S ? 2011 2 2

6.函数 y ? f ( x) 的定义域是 (??,??) ,若对于任意的正数 a,函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x) 是其定义域上 的 增 ( 函 ) 数 , 则 函 数

y ? f ( x)













A ? t ? 1, t a n B ? t ?1 , 则 t 的 取 值 范 围 是 7 . 在 锐 角 三 角 形 ?ABC 中 , t a n
( ) B. (1,??) C. (1, 2 ) D. (?1,1)

A. ( 2 ,??)

8 . 已 知 向 量 OA ? (1, sin ? , ) OB ? (cos? ,1) , ? ? (0, ( ) A. 1 B.

?
2

) , 则 ?AOB面积的最小值 是

1 8

C.

1 2

D.

1 4
( )

9.若函数 f(X)=x2+2ax+b 有两个不同的零点,则 a ? b 的取值范围是 A. (0,3] B. (0, 2) C. (1,3) D. [0,3]

10.设三位数 n ? abc,若以 a, b, c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则 这 ( ) A.185 个 B.170 个 C.165 个 D.156 个 样 的 三 位 数

n





第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是 .

12.定义:区间 [ x1 , x2 ](x1 ? x2 ) 长度为 x 2 ? x1 .已知函数 y ?| log0.5 x | 定义域为 [ a, b] ,值 域为 [0,2] ,则区间 [ a, b] 长度的最大值为 .

13.随机变量 ? 的分布列如下:

?
P
其中 a,b,c 成等差数列,若 E? ?

?1

0 b

1

a

c
.

1 ,则 D? 的值是 3

14. 对于等差数列{ an },有如下一个真命题:“若{ an }是等差数列,且 a1 =0,s、t 是互 不相等的正整数,则 (s ?1)at ? (t ?1)as ? 0 ”.类比此命题,对于等比数列{ bn },有如下 一 个 真 命 题 : 若 { bn } 是 等 比 数 列 , 且 b1 = 1 , s 、 t 是 互 不 相 等 的 正 整 数 , 则 .

?y ? 0 ? 15 . 若 不 等 式 组 ? y ? 2 x 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围 ? y ? a ( x ? 1) ? 1 ?
是 .

16.设 G 为 ?ABC 的内心, AB ? 5, AC ? 4, CB ? 3 , AG ? xAB ? yBC (X,Y∈R) ,则 y 的值是 .

17.已知函数 f ( x ) ? ? 围是 .

? x2 , x ? 1 ? 2 ,若 f (2m ? 1) ? f (m ? 2) ,则实数 m 的取值范 2 ? ? x ? 4 x ? 4, x ? 1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题 14 分)设集合 A ? {x

1 ? 2? x ? 4} , B ? x x 2 ? 3mx ? 2m 2 ? m ? 1 ? 0 . 32

?

?

(1)当 x ? Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.

19.(本题 14 分)(如右图)半径为 1,圆心角为 1200 的扇形,点 P 是扇形 AB 弧上的动点, 设 ?POA ? x . (1)用 x 表示平行四边形 ODPC 的面积 S ? f ( x) ; (2)求平行四边形 ODPC 面积的最大值.

20.(本题 14 分)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? (1)证明:数列 { (2)设 bn ?

n ?1 Sn } 是等差数列,并求 Sn ; n

1 , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2

Sn ,求证: b1 ? b2 ? n3

? bn ? 1 .

21. (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? px ? qx ? r,( p ? 0) 图象的对称中心为 (1, 0) ,且 f ( x )
3 2

的极小值为 ?2 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)设 T ( x) ? f ( x) ? m ,若 T ( x) 有三个零点,求实数 m 的取值范围; (3)是否存在实数 k ,当 a ? b ? 2 时,使函数 g ( x) ?

1 f '( x) ? k 3

在定义域[a,b] 上的值域恰为[a,b],若存在,求出 k 的范围;若不存在,说明理由.

22. (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数, 且图像在点 (e, f (e)) 然对数的底数)处的切线斜率为 3. (1) 求实数 a 、 b 的值; (2) 若 k ? Z ,且 k ?

(e 为自

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3) 当 n ? m ? 1,(n, m ? Z ) 时,证明: mnn

?

? ? ?nm ? .
m m n

2011 学年浙江省第一次五校联考 数学(理科)答案 一、选择题 题号 选项 1 B 2 C 3 C 4 D 5 B 6 A 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题 11. 2 ; 12.

15 4



13.

5 . 9
5 ; 12



14.

bts ?1 ?1 bst ?1
(1,3)

15. a ? (??,0) ;

16.

17. m ? (?3, ?1)

三、解答题 18. 解:化简集合 A= x ? 2 ? x ? 5 ,集合

?

?

B ? ?x ( x ? m ? 1)( x ? 2m ?1) ? 0? .

………….4 分

(1)? x ? Z ,? A ? ?? 2,?1,0,1,2,3,4,5?,即 A 中含有 8 个元素,? A 的非空真子集数
8 为 2 ? 2 ? 254个.

.7 分

(2)①m= -2 时, B ? ? ? A ;………….9 分 ②当 m<-2 时,? 2m ? 1? ? ? m ? 1? ? 2 ? m ? 0 , 所以 B= ? 2m ? 1, m ? 1? ,因此, 要 B ? A, 则只要 ?

?2m ? 1 ? ?2 3 ? ? ? m ? 6 ,所以 m 的值不存在;…………11 分 2 ? m ?1 ? 5
③ 当 m> - 2 时 , B= ( m-1,2m+1 ) , 因 此 , 要 B ? A , 则 只 要

?m ? 1 ? ?2 ? ?1 ? m ? 2 . ? ?2m ? 1 ? 5
综上所述,知 m 的取值范围是:m=-2 或 ? 1 ? m ? 2. 19.由题意得: …………14 分

a 1 1 ? ? 0 0 sin(120 ? x) sin 60 3 2

………….3 分

a?

2 sin(1200 ? x) 3 ? 2 sin(1200 ? x)sin x, x ? (00 ,1200 ) 3
…………7 分

S

ODPC

?

? 2 ? 3 1 cos x ? sin x ? sin x ? 2 3? 2 ?

? cos x sin x ?

1 sin 2 x 3

?

1 ? 3 1 ? cos x ? ? sin x ? ? 2 ? 3? 2 1 ? 3 1 1? ? cos x ? ? ?sin 2 x 2 2 2? 3?

?

?

1 ? 1? sin ? 2 x ? 300 ? ? ? ? 2? 3?
0 0

………….11 分

当 2 x ? 30 ? 90 时达最大值

2 x ? 900 ? 300 ? 1200
即,当 x ? 60 ? (0 ,120 ) 平行四边形面积达到最大值
0 0 0

3 . 2

………….14 分

20.解: (1)由 Sn ? n an ? n ? n ?1? ? n ? 2 ? 得: Sn ? n (Sn ? Sn?1 ) ? n ? n ?1? ,即
2 2

(n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n ? n ?1? ,所以

1?1 S1 ? 1 1 n ?1 Sn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 { n

n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1

………………………4 分

S1 ? a1 ?

1 n2 ,所以 Sn ? ,当 n ? 1 时,也成立。 ………………………8 分 2 n ?1

Sn 1 1 1 …………………11 分 ? ? ? 3 n n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? b1 ? b2 ? ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1 ……………14 分 2 2 3 n n ?1 n ?1
(2) bn ? 21.解: (1) f ( x) ? x ? 3x ? 2
3 2

…………………………………………4 分 ……………………7 分

(2)

? m ? (?2, 2) f ( x)的极大值为2,极小值为-2,
2 2

(3) f '( x) ? 3x ? 6x , g ( x) ? x ? 2x ? k ①当 a ? b ? 1 时,在 [ a, b] 上单调减,
2 ? (1) ?b ? k ? 2a ? a    ? 2 (2) ? ?a ? k ? 2b ? b   

? (1) ? (2)得a ? b ? 1…………………9 分
?1 ? a ? k ? 2a ? a 2    (3) ? ? 2 (4) ? ?1 ? b ? k ? 2b ? b   
2 ? (5) ?0 ? k ? 1 ? a ? a    ? 2 (6) ? ?0 ? k ? 1 ? b ? b    所以方程

0 ? k ? 1 ? x ? x 2在x ? 1上有两个不同的解 5 k ? [1, ) 4
…………………11 分 ② 若a ? 1 ? b 且 1 ? a ? b ? 1 , a ? b ? 2 在 [ a, b] 上不单调时,

a ? f ( x)min ? f (1) ? k ?1 ,
b ? k ? 2a ? a 2 , b ? 2 ? a

b ? k ? 2a ? a2 ? 1 ? a ? 1 ? 2a ? a2 ? 2 ? a ? a ?[?1,0]

? k ? [0,1]

…………………14 分

综上得: k ? [0, )

5 4

…………………15 分

22. 解: (1) 由 f ( x ) ? ax ? x ln x ? b ? x(a ? ln x ? b 是奇函数 则 y ? a ? ln x ? b 为偶函数

? b?0
又 x ? 0 时, f ( x ) ? ax ? x ln x

………………………………1 分

?

f ' ( x) ? a ? 1 ? ln x

?

f ' (e ) ? 3

?

a?1

…………3 分

(2) 当 x ? 1 时,令 g( x ) ?

f ( x ) x ? x ln x ? x ?1 x ?1
令 h( x ) ? x ? 2 ? ln x

? g' ( x) ?

x ? 2 ? ln x

? x ? 1?2

? h' ( x ) ? 1 ?

1 x ?1 ? ?0 x x

? y ? h( x ) 在 (1,??) 上是增函数………………6 分

? h' (1) ? ?1 ? 0, h' (3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h' (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ? 存在 x0 ? ?3,4? ,使得 h' ( x0 ) ? 0
则 x ? ?1, x0 ?, h' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0, y ? g( x) 为减函数;

x ? ? x0 ,???, h' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0, y ? g( x) 为增函数

………………8 分

? g( x ) min ? g( x 0 ) ?

x 0 ? x 0 ln x 0 ? x0 x0 ? 1

? k ? x0 , 又 x0 ? ?3,4? , k ? Z ? kmax =3
(3) 要证 即证 即证 ………………10 分

?mn ? ? ?nm ?
n m

m n

m ln m ? nm ln n ? n ln n ? nm ln m
n ln n m ln m ? n?1 m ?1
………………12 分



? ( x) ?

x ln x x ?1

' , ? ( x) ?

x ? 1 ? ln x

? x ? 1?2

令g ( x) ? x ? 1 ? ln x 1 g '( x) ? 1 ? ? 0, ( x ? 1) x ? g ( x) g (1) ? 0 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ? 0
' 所以 ? ( x ) ? 0

………………14 分

? ?

y ? ? ( x ) 是增函数,又 n ? m ? 1

?mn ? ? ?nm ?
n m

m n

………………15 分


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