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大庆一中高三数学2016年全国卷 2 文模拟试题(二) (1)


大庆一中高三数学 2016 年全国卷 2 文模拟试题(二)
一、选择题(共 12 小题;共 60 分) 1. 已知全集 U = 1,2,3,4,5 ,集合 A = x x2 ? 3x + 2 = 0 ,B = x x = 2a, a ∈ A ,则集合 ?U A ∪ B 中元素的 个数为 ( A. 1 A. ?2, ?4 C. 6,10 3. i 是虚数单位,复数 A. 1 + 2i
1 2 3+i 1?i

) B. 2 ) B. 3,4 D. ?6, ?10 =( ) C. ?1 ? 2i
1 4

C. 3

D. 4

2. 若向量 BA = 2,3 ,CA = 4,7 ,则 BC = (

B. 2 + 4i
1 3

D. 2 ? i )
1 6

4. 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ( A. B. C. D.

5. 已知抛物线 C: y 2 = 8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且 AK = 2 AF ,则 △ AFK 的面 积为 ( A. 4 ) B. 8
3 2

C. 16
2 3 3

D. 32 ) π
1 2

6. 如果圆台的母线与底面成 60? 角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ( A. 2π B. π C. π ) D. 15 D.

7. 若等差数列 an 的前 5 项和 S5 = 25,且 a2 = 3,则 a7 = ( A. 12 B. 13 C. 14

8. 函数 y = sin ωx + φ A. ω = 2 ,φ = C. ω = ,φ =
4 π π π 4 π 4

x ∈ , ω > 0,0 ≤ < 2 的部分图象如图,则 ( B. ω = 3 ,φ = D. ω = ,φ =
4 π π π 6 5π 4

)

9. 如果执行下图所示的程序框图,输入 n = 6,m = 4,那么输出的 p 等于 ( A. 720 B. 360 C. 240

) D. 120

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10. 设 f x = A. ?1,2

x ? a 2,
1

x ≤ 0,

x + x + a, x > 0,

若 f 0 是 f x 的最小值,则 a 的取值范围为 ( C. 1,2 ).

)

B. ?1,0

D. 0,2

11. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 (

A. 28 + 6 5 12. 函数 y =
cos 6x 2x ?2?x

B. 30 + 6 5 的图象大致为 ( )

C. 56 + 12 5

D. 60 + 12 5

A.

B.

C. 二、填空题(共 4 小题;共 20 分)

D.

13. 已知等比数列 an 为递增数列.若 a1 > 0,且 2 an + an+2 = 5an+1 ,则数列 an 的公比 q = 14. 已知函数 f x = ax + x + 1 的图象在点 1, f 1
3



处的切线过点 2,7 ,则 a = .



x + y ? 2 ≤ 0, 15. 若 x,y 满足约束条件 x ? 2y + 1 ≤ 0, 则 z = 3x + y 的最大值为 2x ? y + 2 ≥ 0,
x2 y2

16. 过双曲线 C:a 2 ? b 2 = 1 a > 0, > 0 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐 标为 2a,则 C 的离心率为 三、解答题(共 6 小题;共 78 分) 17. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,点 n, (1) 求数列 an 的通项公式; (2) 设 bn =
3 a
n a n +1



Sn n

n ∈ ? 均在函数 y = 3x ? 2 的图象上.
m 20

,Tn 是数列 bn 的前 n 项和,求使得 Tn <

对所有 n ∈ ? 都成立的最小正整数 m.

第 2 页(共 8 页)

18. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥ 底面 ABCD,AB ⊥ AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB.

(1) 求证:CE ⊥ 平面 PAD; (2) 若 PA = AB = 1,AD = 3,CD = 2,∠CDA = 45?,求四棱锥 P ? ABCD 的体积. 19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤) 的几组对照数据. x 3 4 5 y 2.5 3 4 (参考数值:3 × 2.5 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 4.5 = 66.5) (1) 请画出上表数据的散点图; (2) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = bx + a; (3) 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生 产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 20. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 + y 2 ? 12x + 32 = 0 的圆心为 Q,过点 P 0,2 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B. (1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在常数 k,使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 21. 已知常数 a > 0,函数 f x = ln 1 + ax ?
2x x+2

6 4.5



(1) 讨论 f x 在区间 0, +∞ 上的单调性; (2) 若 f x 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 f x1 + f x2 > 0,求 a 的取值范围. 22. 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ ? 1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1) 写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2) 设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.
π 3

=

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答案
第一部分 1. B 2. A 3. A 6. C 7. B 8. C 11. B 12. D 第二部分 13. 2 14. 1 15. 4 16. 2 + 3 第三部分 17. (1) 依题意,得 Sn = 3n ? 2, n 即 Sn = 3n2 ? 2n. 当 n ≥ 2 时, = Sn ? Sn ?1 = 3n2 ? 2n ? 3 n ? 1 = 6n ? 5. 当 n = 1 时,a1 = S1 = 1,代入上式成立. 因此,an = 6n ? 5 n ∈ ? . (2) 由(1),得 bn 3 3 = an an+1 6n ? 5 6 n + 1 ? 5 1 1 1 = ? , 2 6n ? 5 6n + 1 = 1 2 1 1 1 1 1 + ? + ?+ ? 7 7 13 6n ? 5 6n + 1 an
2

4. B 9. B

5. B 10. D

?2 n?1


n

Tn

=
i=1

bi =

1?

1 1 1 = 1? < . 2 6n + 1 2 由此 1 m ≤ , 2 20 解得 m ≥ 10. 因此,满足要求的最小正整数 m 为 10. 18. (1) 因为 PA ⊥ 平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD. 所以 PA ⊥ CE. 因为 AB ⊥ AD,CE∥AB,所以 CE ⊥ AD. 又 PA ∩ AD = A,所以 CE ⊥ 平面 PAD.
第 4 页(共 8 页)

(2) 由(1)可知 CE ⊥ AD. 在 Rt △ ECD 中,DE = CD ? cos45 所以四边形 ABCE 为矩形. 所以 S四边形 ABCD = S四边形 ABCE + S△ECD 1 = AB ? AE + CE ? DE 2 1 5 =1×2+ ×1×1= . 2 2 又 PA ⊥ 平面 ABCD,PA = 1. 所以 1 1 5 5 VP ?ABCD = S四边形 ABCD ? PA = × × 1 = . 3 3 2 6 19. (1) 如图
?

= 1,CE = CD ? sin45

?

= 1.

又因为 AB = CE = 1,AB∥CE,AB ⊥ AD.

(2) 由对照数据,计算得
4

xi yi
i=1

= 3 × 2.5 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 4.5 = 66.5,

4

3+4+5+6 = 4.5, 4 2.5 + 3 + 4 + 4.5 y = = 3.5, 4 x = xi2 = 33 + 44 + 55 + 66 = 86.

i=1

由最小二乘法确定的回归方程的系数为 b = 故线性回归方程为 y = 0.7x + 0.35. (3) 根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7 × 100 + 0.35 = 70.35, 故耗能减少了 90 ? 70.35 = 19.65 吨标准煤 .
第 5 页(共 8 页)

66.5 ? 4 × 4.5 × 3.5 66.5 ? 63 = = 0.7, 86 ? 4 × 4.52 86 ? 81 a = y ? bx = 3.5 ? 0.7 × 4.5 = 0.35.

20. (1) 圆的方程可写成 x?6
2

+ y 2 = 4,

所以圆心为 Q 6,0 ,过 P 0,2 且斜率为 k 的直线方程为 y = kx + 2. 代入圆方程得 x 2 + kx + 2 整理得 1 + k 2 x 2 + 4 k ? 3 x + 36 = 0? ? ? ① 直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于 Δ = 4 k?3 解得 3 ? < < 0, 4 即 k 的取值范围为 ? 4 , 0 . (2) 设 A x1 , y1 ,B x2 , y2 ,则 OA + OB = x1 + x2 , y1 + y2 , 由方程 ① 可得 x1 + x 2 = ? 又 y1 + y2 = k x1 + x2 + 4. ?? ? ③ 而 P 0,2 ,Q 6,0 ,PQ = 6, ?2 . 所以 OA + OB 与 PQ 共线等价于 ?2 x1 + x2 = 6 y1 + y2 , 将 ② ③ 代入上式,解得 3 k=? . 4 由(1)知 k ∈ ? 4 , 0 ,故没有符合题意的常数 k. 21. (1) 由题知 f? x = a 2 x + 2 ? 2x ax 2 + 4 a ? 1 ? = . ?? ? ① 1 + ax x+2 2 1 + ax x + 2 2
3 3 2 2

? 12x + 32 = 0,

? 4 × 36 1 + k 2 = 42 ?8k 2 ? 6k > 0,

4 k?3 ?? ? ② 1 + k2

当 a ≥ 1 时,f? x ≥ 0,此时 f x 在区间 0, +∞ 上单调递增. 当 0 < < 1 时,由 f? x = 0 得 x1 = 2 当 x ∈ 0, x1 时,f? x < 0; 当 x ∈ x1 , +∞ 时,f? x > 0. 故 f x 在区间 0, x1 上单调递减,在区间 x1 , +∞ 上单调递增. 综上所述,当 a ≥ 1 时,f x 在区间 0, +∞ 上单调递增; 当 0 < < 1 时,f x 在区间 0,2
1?a a 1?a a

1?a 1?a x 2 = ?2 舍去 . a a

上单调递减,在区间 2
第 6 页(共 8 页)

, +∞ 上单调递增.

(2) 由第(1)问知,当 a ≥ 1,f? x ≥ 0,此时 f x 不存在极值点,因而要使得 f x 有两个极值点,必有 0 < < 1. 又 f x 的极值点只可能是 x1 = 2 且由 f x 的定义可知,x > ? a 且 x ≠ ?2,所以 ?2
1 1

1?a 1?a 和 x 2 = ?2 , a a

1?a 1 1?a > ? , ?2 ≠ ?2, a a a

解得 a ≠ 2.此时,由第(1)问易知,x1 , x2 分别是 f x 的极小值点和极大值点,而 f x1 + f x2 2x1 2x2 + ln 1 + ax2 ? x1 + 2 x2 + 2 4x1 x2 + 4 x1 + x2 = ln 1 + a x1 + x 2 + a2 x1 x2 ? x1 x 2 + 2 x1 + x 2 + 4 4 a?1 2 = ln 2a ? 1 2 ? = ln 2a ? 1 2 + ? 2. 2a ? 1 2a ? 1 = ln 1 + ax1 ?
1

令 2a ? 1 = x,由 0 < < 1 且 a ≠ 2 知, 当 0 < < 时,?1 < < 0;当 < < 1 时,0 < < 1.
2 2 1 1 2 2

记 g x = lnx + x ? 2. (i)当 ?1 < < 0 时,g x = 2ln ?x + x ? 2 < 0,故当 0 < < 2 时,f x1 + f x2 < 0; (ii)当 0 < < 1 时,g x = 2lnx + ? 2,所以
x 2 2 1

g? x = 因此,g x 在区间 0,1 上单调递减,从而

2 2 2x ? 2 ? = < 0, x x2 x2

g x > 1 = 0. 故当 < < 1 时,f x1 + f x2 > 0.
2 1 1 2

综上所述.满足条件的 a 的取值范围为 22. (1) 由 ρcos θ ? 3 = 1,得
π

,1 .

ρ 从而 C 的直角坐标方程为

1 3 cosθ + sinθ = 1, 2 2 1 3 x+ y = 1, 2 2

即 x + 3y = 2, 当 θ = 0 时, ρ = 2, 所以 M 2,0 ; 当 θ = 2 时,
第 7 页(共 8 页) π

ρ= 所以 N

2 3 , 3

2 3 π , . 3 2
2 3 3

(2) M 点的直角坐标为 2,0 ,N 点的直角坐标为 0, 所以 P 点的直角坐标为 1,
3 3



,则 P 点的极坐标为

2 3 π 3

,

6



所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= π , ρ ∈ ?∞, +∞ . ρ

第 8 页(共 8 页)


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