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金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷数学


华中师范大学 史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)

金陵中学 2011 届高三第二次模拟考试试卷 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致. 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3. 答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效. 4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

S ? 4πR2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

其中 R 表示球的半径

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果随机变量 ? ? B(n, p), 那么

球的体积公式

V?

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径

A.必做题部分
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ≤ 0 , x ? Z } ,则集合 A 中所有元素之和为 2.如果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 pa ? ( p ? 1)b ? 0 ,则向量 a 和 b (填“共线”或“不共线”. ) 3. ABC 中, sin A ? 2 sin B ,AC ? 2 , BC ? △ 若 则 . . .

4 . 设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 , a 为 常 数 . 若 存 在 x0 ? (0,1) , 使 得

f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是



5. 已知复数 z1 ? ?1 ? ai ,z 2 ? b ? 3i ,a, b ? R , z1 ? z 2 与 z1 ? z 2 且 均为实数,则

z1 ? z2



6.右边的流程图最后输出的 n 的值是



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7.若实数 m 、 n ?{ ? 1 , 1 , 2 , 3 },且 m ? n ,则曲线 的双曲线的概率是 .

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上 m n

8. 已知下列结论: ①

? x1 ? x 2 ? 0 , x1 、 x2 都是正数 ? ? ? x1 x 2 ? 0



? x1 ? x 2 ? x3 ? 0 ? x1 、 x2 、 x3 都是正数 ? ? x1 x 2 ? x 2 x3 ? x3 x1 ? 0 , ? x1 x 2 x3 ? 0 ?
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0

则由①②猜想:

x1 、x2 、x3 、x4 都是正数 ?

x1 x2 ? x1 x3 ? x1 x4 ? x2 x3 ? x2 x4 ? x3 x4 ? 0

x1 x2 x3 x4 ? 0.

9.某同学五次考试的数学成绩分 别是 120, 129, 121,125,130,则这五次考试成绩的方差是



10.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 ,以 A 为圆心,1 为半径作四分之一个 圆 弧 DE , 在 圆 弧 DE 上 任 取 一 点 P , 则 直 线 AP 与 线 段 BC 有 公 共 点 的 概 率 是 . 11.用一些棱长为 1cm 的小正方体码放成一个几何体,图 1 为其俯视图,图 2 为其主视图 则这个几何体的体积最大是 cm3.

图 1(俯视图) 图 2(主视图) 12.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据, 4.5 4 3 2.5 由其散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程 是 . 13.已知 xOy 平面内一区域 A ,命题甲:点 (a, b) ?{( x, y) || x | ? | y |? 1} ;命题乙:点 月份 x 用水量 y 1 2 3 4

(a, b) ? A .如果甲是乙的充分条件,那么区域 A 的面积的最小值是



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14.设 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任意一点, A 和 F 分别是椭圆的左顶点和右焦点, 25 16
1 PA ? AF 的最小值为 4


则 PA ? PF ?

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AC ? BC ? BB1 ? 1 , AB1 ? 3 . (1)求证:平面 AB1C ? 平面 B1CB ; (2)求三棱锥 A1 ? AB1C 的体积.

C1 A1 B1

C 16.某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理 设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费 一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以 后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理 设备? A B

17.如图,已知圆心坐标为 ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 y ? 3x 分别相切于 A 、 B 两点, 另一圆 N 与圆 M 外切、且与 x 轴及直线 y ? 3x 分别相切于 C 、 D 两点. (1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.
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y
D N B M O A C

x

18.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , x ? R . (1)求函数 f (x) 在 [0,2? ] 内的单调递增区间; (2)若函数 f (x) 在 x ? x0 处取到最大值,求 f ( x0 ) ? f (2x0 ) ? f (3x0 ) 的值; (3)若 g ( x) ? e x ( x ? R ) ,求证:方程 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,??? 内没有实数解. (参考数据: ln 2 ? 0.69 , ? ? 3.14 )

19.已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ( x ? R )的图象为曲线 C . 3

(1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐 标的取值范围; (3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件 的所有直线方程;若不存在,说明理由.

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20. (本小题满分 18 分) 已 知 数 列 {an } 的 通 项 公 式 是 an ? 2 n?1 , 数 列 {bn } 是 等 差 数 列 , 令 集 合

A ? {a1 , a2 ,?, an ,? , B ? {b1 , b2 ,?, bn ,?} , n ? N * .将集合 A ? B 中的元素按从小 }
到大的顺序排列构成的数列记为 {cn } . (1)若 cn ? n , n ? N ,求数列 {bn } 的通项公式;
*

(2) A ? B ? ? , 若 数列 {cn } 的前 5 项成等比数列, c1 ? 1 ,c9 ? 8 , 且 求满足 的正整数 n 的个数.

c n ?1 5 ? cn 4

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B.附加题部分
三、附加题部分(本大题共 6 小题,其中第 21 和第 22 题为必做题,第 23~26 题为选做题, 请考生在第 23~26 题中任选 2 个小题作答,如果多做,则按所选做的前两题记分.解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 21. (本小题为必做题,满分 12 分) ... 已知直线 y ? 2 x ? k 被抛物线 x 2 ? 4 y 截得的弦长 AB 为 20, O 为坐标原点. (1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时,△ ABC 面积最大?

22. (本小题为必做题,满分 12 分) ... 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分, 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取) ,两次考试过程相互 独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分 别是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 ? ,求随机变量 ? 的期望 E (? ) .

23. (本小题为选做题,满分 8 分) ... 如图,在△ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BD 的中点, AE 的延长线交 BC 于 F . (1)求

BF 的值; FC

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(2)若△ BEF 的面积为 S1 ,四边形 CDEF 的面积为 S 2 ,求 S1 : S 2 的值.
A

D E

B

F

C

24. (本小题为选做题,满分 8 分) ... 已知直线 l 的参数方程: ?

x ? t ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? y ? 1 ? 2t

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4
(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

25. (本小题为选做题,满分 8 分) ... 试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式,其中 M = ?

?1 ? ?1 0 ? 0? . ,N = ? 2 ? ? 0 1? ?0 2 ? ? ?

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26. (本小题为选做题,满分 8 分) ... 用数学归纳法证明不等式:

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1(n ? N ?且n ? 1) . n n ?1 n ? 2 n

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参考答案
A.必做题部分
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.? 2 2. 共线 3. 4 4.(??, ?1) ? ( , ??)

1 2

5.?

1 3 ? i 2 2
1 3

6. 5

7.

1 4

8. x1 x2 x3 ? x1 x2 x4 ? x1 x3 x4 ? x2 x3 x4 ? 0 13.2 14. ? 9

9.16.4 10.

11.7

? 12. y ? ?0.7 x ? 5.25

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分. ) 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 则 BB1⊥AB,BB1⊥BC,-----------------------------------------------------3 分 又由于 AC=BC=BB1=1,AB1= 3 ,则 AB= 2 , 则由 AC2+BC2=AB2 可知,AC⊥BC,---------------------------------------6 分 又由上 BB1⊥底面 ABC 可知 BB1⊥AC,则 AC⊥平面 B1CB, 所以有平面 AB1C⊥平面 B1CB;----------------------------------------------9 分 (2)三棱锥 A1—AB1C 的体积 V A1 ? AB1C ? VB1 ? A1 AC ? (注:还有其它转换方法) 16. (本小题满分 14 分) 解: (1) y ?

1 1 1 ? ? 1 ? .-----14 分 3 2 6

100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) x 100 ? 1. 5 ( x ? 0 ) 即y ? x? ;------------------------------------------7 分 x
(不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ? N 也行)
*

(2)由均值不等式得:

y ? x?
当且仅当 x ?

100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 (万元)-----------------11 分 x x
100 ,即 x ? 10 时取到等号.-----------------------------------13 分 x

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.---------------------------------------14 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙M 的半
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径,则 M 在∠BOA 的平分线上, 同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 OMN 为∠BOA 的平分线, ∵M 的坐标为 ( 3,1) ,∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1, 则⊙M 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1,-------------------------------4 分 设⊙N 的半径为 r ,其与 x 轴的的切点为 C,连接 MA、MC, 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM:ON=MA:NC, 即

r 1 ? ? r ? 3, 3? r r

则 OC= 3 3 ,则⊙N 的方程为 ( x ? 3 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 ;----------8 分 (2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点直线 MN 的平行线被⊙ N 截得的弦 的长度,此弦的方程是 y ?

3 ( x ? 3 ) ,即: x ? 3 y ? 3 ? 0 , 3 3 ,--------------------- ------------------ -11 分 2

圆心 N 到该直线的距离 d=

则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 .----------------------------------------------------14 分 另解: 求得 B (

3 3 , , ) 再得过 B 与 MN 平行的直线方程 x ? 3 y ? 3 ? 0 , 2 2 3 ,则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 . 2

圆心 N 到该直线的距离 d ? =

(也可以直接求 A 点或 B 点到直线 MN 的距离,进而求得弦长)

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? sin x ? cos x ? 令x?

2 sin( x ?

?
4

),

?
4

? [2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

](k ? Z )

3? ] ,------------------------------------------------2 分 4 4 3? 7? ] 和 [ ,2? ] ; 由于 x ? [0,2? ] ,则 f (x) 在 [0,2? ] 内的单调递增区间为 [0, 4 4 3? 7? ] ? [ ,2? ] 的形式扣 1 分) (注:将单调递增区间写成 [0, 4 4
则 x ? [ 2k? ?

?

,2k? ?

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(2)依题意, x0 ? 2k? ?

3? (k ?Z ) ,-------------------------------------6 分 4

由周期性, f ( x0 ) ? f (2x0 ) ? f (3x0 )

? (sin

3? 3? 3? 3? 9? 9? ? cos ) ? (sin ? cos ) ? (sin ? cos ) ? 2 ?1 ; 4 4 2 2 4 4
-----------------8 分

(3)函数 g ( x) ? e x ( x ? R )为单调增函数, 且 当 x ? [0,

?
4

] 时 , f ( x) ? 0 , g ( x) ? e x ? 0 , 此 时 有 f ( x) ? g ( x) ;
-------------10 分

当x??

1 ? ?? ? ,?? ? 时,由于 ln e 4 ? ? 0.785,而 ln 2 ? ln 2 ? 0.345 , 2 4 ?4 ?
?

?

则有 ln e 4 ? ln 2 ,即 g ( ) ? e 4 ?

?

?

4

2,

又? g ( x) 为增函数,? 当 x ? ?

?? ? ,?? ? 时, g ( x) ? 2 ?4 ?

------12 分

而函数 f (x) 的最大值为 2 ,即 f ( x) ? 则当 x ? ?

2,

?? ? ,?? ? 时,恒有 f ( x) ? g ( x) , ?4 ?

综上,在 ?0,??? 恒有 f ( x) ? g ( x) ,即方程 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,??? 内没有实数 解.--------------------------------------------------------------------------------------------14 分 19. (本小题满分 16 分) 解: (1) f ?( x) ? x ? 4 x ? 3 ,则 f ?( x) ? ( x ? 2) ? 1 ? ?1,
2 2

即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 ?? 1,??? ;------------4 分 (2)由(1)可知, ? 1

? k ? ?1 ? ---------------------------------------------------------6 分 ? ? ?1 ? k ?

2 2 解得 ? 1 ? k ? 0 或 k ? 1 ,由 ? 1 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 或 x ? 4 x ? 3 ? 1

得: x ? ? ?,2 ? 2 ? (1,3) ? 2 ? 2,?? ;-------------------------------9 分 (3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x2 , y 2 ) ,

?

?

?

?

x1 ? x 2 ,
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则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 ? 3 x1 ) ? ( x1 ? 4 x1 ? 3)( x ? x1 ) ,
3 2 2

1 3

2 3 2 x1 ? 2 x1 ) ,--------------------------11 分 3 2 3 2 2 而过 B ( x2 , y 2 ) 的切线方程是 y ? ( x 2 ? 4 x 2 ? 3) x ? (? x 2 ? 2 x 2 ) , 3
化简得: y ? ( x1 ? 4 x1 ? 3) x ? (?
2

由于两切线是同一直线, 则有: x1 ? 4x1 ? 3 ? x2 ? 4x2 ? 3 ,得 x1 ? x2 ? 4 ,----------------------13 分
2 2

又由 ? 即?

2 3 2 3 2 2 x1 ? 2 x1 ? ? x 2 ? 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 2( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0 3

1 2 2 ? ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,即 x1 ( x1 ? x2 ) ? x2 2 ? 12 ? 0 3
即 (4 ? x2 ) ? 4 ? x2 ? 12 ? 0 , x2 ? 4x2 ? 4 ? 0
2 2

得 x2 ? 2 ,但当 x2 ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 4 得 x1 ? 2 ,这与 x1 ? x 2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。----------------------------------16 分 20. (本小题满分 18 分) 解: (1)若 cn ? n ,因为 5,6,7 ? A ,则 5,6,7 ? B , 由此可见,等差数列 {bn } 的公差为 1,而 3 是数列 {bn } 中的项, 所以 3 只可能是数列 {bn } 中的第 1,2,3 项, 若 b1 ? 3 ,则 bn ? n ? 2 , 若 b2 ? 3 ,则 bn ? n ? 1 , 若 b3 ? 3 ,则 bn ? n ;-----------------------------------------------------------4 分 (注:写出一个或两个通项公式得 2 分,全部写出得 4 分) (2)首先对元素 2 进行分类讨论: ①若 2 是数列 {cn } 的第 2 项,由 {cn } 的前 5 项成等比数列,得

c4 ? 23 ? 8 ? c9 ,这显然不可能;
②若 2 是数列 {cn } 的第 3 项,由 {cn } 的前 5 项成等比数列,得 b1 ? 2 ,
2

因为数列 {cn } 是将集合 A ? B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的, 所以 bn ? 0 ,则 b1 ? 这样 bn ?

2 ,因此数列 {cn } 的前 5 项分别为 1, 2 ,2, 2 2 ,4,

2n ,

则数列 {cn } 的前 9 项分别为 1, 2 ,2, 2 2 ,4, 3 2 , 4 2 , 5 2 ,8, 上述数列符合要求;---------------------------------------------------------10 分 ③若 2 是数列 {cn } 的第 k 项( k ? 4 ) ,则 b2 ? b1 ? 2 ? 1 , 即数列 {bn } 的公差 d ? 1 , 所以 b6 ? b1 ? 5d ? 2 ? 5 ? 7 ,1,2,4< c9 ,所以 1,2,4 在数列 {cn } 的
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前 8 项中,由于 A ? B ? ? ,这样, b1 , b2 ,?, b6 以及 1,2,4 共 9 项, 它们均小于 8, 即数列 {cn } 的前 9 项均小于 8,这与 c9 ? 8 矛盾。 综上所述, bn ?

2n ,---------------------------------------------------------12 分
cn ?1 5 ? 2? , cn 4

其次,当 n ? 4 时,

c6 3 2 5 c 7 4 5 ? ? , ? ? ,-------------------------------------------14 分 c5 4 4 c6 3 4
当 n ? 7 时, cn ? 4 2 ,因为 {bn } 是公差为 2 的等差数列, 所以 cn?1 ? cn ? 所以

2 ,----------------------------------------------------------16 分

cn?1 cn ? cn?1 ? cn c ?c 2 5 ? ? 1 ? n?1 n ? 1 ? ? , cn cn cn 4 2 4
B.附加题部分

此时的 n 不符合要求。所以符合要求的 n 一共有 5 个。-------------------18 分

三、附加题部分: 21. (必做题) (本小题满分 12 分)
2 解: (1)将 y ? 2 x ? k 代入 x ? 4 y 得 x ? 8x ? 4k ? 0 ,----------------------2 分
2

由△ ? 64 ? 16 k ? 0 可知 k ? ?4 , 另一方面,弦长 AB ? 5 ? 64 ? 16k ? 20 ,解得 k ? 1 ;-------------6 分 (2)当 k ? 1 时,直线为 y ? 2 x ? 1 ,要使得内接△ABC 面积最大,

? 则只须使得 y C ?

1 ? 2 xC ? 2 ,-----------------------------------------------10 分 4

即 xC ? 4 ,即 C 位于(4,4)点处.----------------------------------------12 分 22. (必做题) (本小题满分 12 分) 解: (1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件 A1 、 A2 、 A3 ;

E 表示事件“恰有一人通过笔试”
则 P( E) ? P( A A2 A3 ) ? P( A A2 A3 ) ? P( A A2 A3 ) 1 1 1

? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.38 ---------------------------------------------------------------------6 分
(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为 p ? 0.3 ,
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---------------------------------------------------------------------9 分

0.3) 所以 ? ~ B(3, ,故 E (? ) ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .-------------12 分
解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件 A,B,C , 则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 所以 P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3)2 ? 0.3 ? 0.441,

P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .
于是, E (? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 .

23. (选做题) (本小题满分 8 分) 证明: (1)过 D 点作 DG∥BC,并交 AF 于 G 点, -------------------------2 分 ∵E 是 BD 的中点,∴BE=DE, 又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG, ∴△BEF≌△DEG,则 BF=DG, ∴BF:FC=DG:FC, 又∵D 是 AC 的中点,则 DG:FC=1:2, 则 BF:FC=1:2;----------------------------------------------4 分 (2)若△BEF 以 BF 为底,△BDC 以 BC 为底, 则由(1)知 BF:BC=1:3, 又由 BE:BD=1:2 可知 h1 : h2 =1:2,其中 h1 、 h2 分别为△BEF 和△BDC 的高, 则

S ?BEF 1 1 1 ? ? ? ,则 S1 : S 2 =1:5. -----------------------8 分 S ?BDC 3 2 6
A

G E

D

B

F

C

24. (选做题) (本小题满分 8 分) 解: (1)消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ;-----------------------2 分

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) 即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,
4
2

两边同乘以 ? 得 ? ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 消去参数 ? ,得⊙ C 的直角坐标方程为:

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( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2 --------------------------------------------------------------4 分
(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

| 2 ?1?1| 2 2 ? 12

?

2 5 ? 2, 5

所以直线 l 和⊙ C 相交.---------------------------------------8 分 25. (选做题) (本小题满分 8 分) 解:MN = ?

?1 0? ? 1 0? ? 1 0? ? ? 2 ? = ? 2 ? ,---------------------------------------------------4 分 ?0 2? ? 0 1? ? 0 2? ? ? ? ?

? x? ? x ?? ? ? 1 x ? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,-------------------------------------6 分 ? y? ? y ??? ? 2 y ? ? ?


1 y ?? ? sin 2 x ?? , 2

即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x .----------8 分

26. (选做题) (本小题满分 8 分)

1 1 1 13 ? ? ? ? 1,? n ? 2 时成立 2 3 4 12 1 1 1 1 ? ?? ? 2 ? 1 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时成立,即 ? k k ?1 k ? 2 k
证明: (1)当 n ? 2 时,左边= 那么当 n ? k ? 1 时,左边 ?

----------2 分

1 1 1 1 ?? ? 2 ? ( 2 ??? ) k ?1 k k ?1 (k ? 1)2

?

1 1 1 1 1 1 ? ??? 2 ? ( 2 ??? )? 2 k k ?1 k k ?1 (k ? 1) k

1 1 k 2 ? k ?1 ? 1 ? (2k ? 1) ? 2 ? ? 1? ?1 k ?1 k k (k 2 ? 1)

? n ? k ? 1 时也成立

--------------------------------------------------7 分 根据(1) (2)可得不等式对所有的 n ? 1 都成立 ----------------------------------8 分

Nothing is impossible to a willing heart.



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