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江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 文


南昌二中 2015—2016 学年度下学期期末考试 高二数学(文)期末考试
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1. 已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A ? B 中的元素个数为的( A.5 B. 4 C.3 B. AB ? 0 或 AD ? 0 D. ABCD 是正方形 2 ,2 2 ,则函数 f ( x) 的表达式为( D.2 ) 2.在平行四边形 ABCD 中,若 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,则必有( A. ABCD 是矩形 C. AD ? 0 3.已知幂函数 f ? x ? 过点 )

?

?


1

1 2 3 A. f ? x ? ? B. f ? x ? ? x C. f ? x ? ? x D. f ? x ? ? x 2 x 4. 已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) A. ?2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i k? ? k? ? ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则( 5.已知集合 M ? {x | x ? 2 4 4 2 A. M ? N B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ?
? ?



6.已知向量 a, b , | a |? 2, | b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 45? ,则 a ? b ? ( A.4 B. 4 2 C. 4 3 D.8 7.在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, ?A ? 60? ,则此三角形解的个数为( A. 0 8.已知 sin( A. B. 2 C. 1

) )

D.不确定

?
4

??) ?

2 2

3? 3 ) , 则 sin( ? ? ) ? ( 4 2 2 3 B. ? C. 2 2

D. ?

3 2

9.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( A. y ? 4sin(4 x ? C. y ? 2sin(4 x ? )

? ? ,直线 x ? 是其图象的 2 3

?

)?2 3 6 1 3 2 10.已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 2 在区间 ?1, 4? 上是单调递增函数,则实数 a 的最小值是( 3 1 A. ?1 B. ?4 C. ? D. 1 4
11. 在 ?ABC 中,若 lg ? a ? c ? ? lg ? a ? c ? ? lg b ? lg A. 90o 12.已知函数 f ? x ? ? ? ( ) A.8 B. 60o

?

6

) )?2

B. y ? 2sin(4 x ? D. y ? 2sin(4 x ?

?
3

)?2

?



2x

? , g ? x ? ? x ? cos x ? sin x ,当 x ? ? ?3? ,3? ? 时,方程 f ? x ? ? g ? x ? 根的个数是
B.6 C.4 D.2

1 ,则 A ? ( b?c C. 120o

) D. 150o

1

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分) ? ? ? ? ? ? 13.已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (?2, m) ,且 a / / b ,则 2a ? 3b ? 14. 已知 cos( x ?

.

?
4

)?

2 ? 3? ?? , x ? ( , ) ,则 sin ? 2 x ? ? =___________. ? 10 2 4 3? ?

15. 设单位向量 e1 , e2 对于任意实数 ? 都有 | e1 ? 16.若函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ①图象 C 关于直线 x ?

?
3

1 e2 |?| e1 ? ? e2 | ,则向量 e1 , e2 的夹角为 2
.

.

) 的图象为 C,则下列结论中正确的序号是

11? 2? , 0) 对称;②图象 C 关于点 ( 对称; 12 3 ? 5? ) 内是增函数; ③函数 f ( x ) 在区间 ( ? , 12 12
④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 三、解答题 17. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? m sin 2 x ? cos 2 x ?

? 个单位长度可以得到图象 C. 3

3 1 , x ? R, 若 tan ? ? 2 3 ,且 f (? ) ? ? . 26 2

(I)求实数 m 的值及函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x ) 在 ? 0, ? ? 上的递增区间.

18. (本题满分 12 分) x (2 ? x)e x 已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? . e e2 (I)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (II)求证:当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) .

19.(本题满分 12 分)

a b ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 2 cos C ( cos B ? cos A) ? 1 . c c (I)求 C ; (II)若 c ? 7 , ?ABC 的周长为 5 ? 7 ,求 ?ABC 的面积 S .

2

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a ln x(a ? R). (Ⅰ)当 a ? ?4 时,求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值范围

21. (本题满分 12 分) 已知△ ABC 是圆 O ( O 为坐标原点)的内接三角形,其中 A(1, 0), B(? , ? 分别是 a, b, c .

1 2

3 ) ,角 A, B, C 的对边 2

2 2 , ) ,求 cos 2 A ; 2 2 AB 上运动,求 a ? b 的最大值. (Ⅱ)若点 C 在优弧 ?
(Ⅰ)若点 C 的坐标是 (?

22.(本题满分 12 分) 如图点 A、B、C、D 在抛物线 x ? 4 y 上,点 A、 的对称轴对称,过 D 点作抛物线的切线,直线 BC 与此
2

D 关于该抛物线 切线平行,点 D

到 AB、AC 距离分别为 d1 , d 2 , d1 ? d 2 ? (I)求 k AC ? k AB 的值;

2 AD

3

(II)若 ?ABC 的面积为 240,求点 A 的坐标.

南昌二中 2015—2016 学年度下学期期末考试 高二数学(文)期末考试参考答案 1-——5 DACCA 6——10 BCCDC 11-12CB 13、 (?4,?8) 14、 ?
24 ? 7 3 50

2? 15、 3

①②③ 16、

17. 解:(Ⅰ) f (? ) ? m sin 2? ?

1 2 tan ? 1 1 ? tan 2 ? cos 2? ? 1 ? m ? ? ? ?1 2 1 ? tan 2 ? 2 1 ? tan 2 ?

4m 3 ?11 ? ?1 13 26 3 4m 3 ?11 3 又? f (? ) ? ? ? ? ?1 ? ? 26 13 26 26 3 即m ? . ………………4 分 2 3 1 ? 故 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 6 2? ?? ∴函数 f(x)的最小正周期 T ? ………………5 分 2 ? ? ? (Ⅱ) f ( x ) 的增区间是 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 2 6 2 ? ? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 6 3 ? ? ? ? 5? ? 所以增区间是 ?0, ? , ? , ? ? .………………10 分 ? 3? ? 6 ? x 1? x 18. 解:⑴∵ f ( x) = x ,∴ f ?( x) = x . e e ? x ? 1 f ( x ) 令 =0,解得 . x (??,1) (1, ??) 1 ?
f ?( x)

+ ↗

0 极大值



f ( x)

∴ f ( x) 在 (??,1) 内是增函数,在 (1, ??) 内是减函数.

1 e



4

1 . e x (2 ? x)e x ⑵证明: 令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ,则 e e2 1 ? x e x (1 ? x) (1 ? x)(e2 ? e2 x ) ? . F ?( x) = x ? e e2 e x?2 当 x ? 1 时, 1 ? x <0, 2 x >2,从而 e 2 ? e 2 x <0, ∴ F ?( x) >0, F ( x ) 在 (1, ??) 是增函数. 1 1 ∴F ( x) ? F (1) ? ? ? 0, 故当x ? 1时,f ( x) ? g ( x). e e
∴当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) = 19.(本题满分 12 分) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 2 cos C ( cos B ? (1) 求 C ;(2)若 c ? 7, ?ABC 的周长为 5 ? 7 ,求 ?ABC 的面积 S . 解:由正弦定理得: 2cos C (sin A cos B ? sin B cos A) ? sin C , 即 2cos C sin( A ? B) ? sin C ? 2sin C cos C ? sin C 故 cos C ?

a c

b cos A) ? 1 . c

1 ? ?C ? 2 3 a ? b ? c ? 5 ? 7 且 c ? 7 ?a ? b ? 5

由余弦定理得:

a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 7 ? ab ? 6 1 3 3 S?ABC ? ab sin C ? . 2 2
20. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a ln x(a ? R). (Ⅰ)当 a ? ?4 时,求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值范围 【 解 析 】:( Ⅰ ) 因 为 f ( x) ? x ? 2 x ? 4ln x. 所 以 显 然 ,
2

x 的 取 值 范 围 是 x?0 ;

f ' ( x) ? 2 x ? 2 ?

4 2x ? 2x ? 4 ' ' ? ,令 f ( x) ? 0 ,得到 f ( x ) 的增区间为 (1, ??) ;令 f ( x) ? 0 ,得到 x x ,所以 f ( x ) 的最小值为 f ( x)min ? f (1) ? 3 。 f ( x ) 的减区间为(0,1)
2

(Ⅱ) f ( x) ? 2 x ? 2 ?
/

a 2x 2 ? 2x ? a ? ,因为 x ? 0 是 x 的定义域,所以只需对 2 x 2 ? 2 x ? a 进行讨 x x

论。因为函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调函数, 那 么 即 求 u ? x ? ? 2 x ? 2 x ? a 在 区 间 ( 0,1 ) 上 或 者 恒 大 于 0 或 者 恒 小 于 0 ;
2

1 1 1 u ? x ? ? 2 x 2 ? 2 x ? a ? 2( x ? ) 2 ? ? a ,所以 u ? x ? 的对称轴为 x ? ? ,开口向上,在区间(0,1)上 2 2 2
为增函数, 若函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调增函数,即 u ? x ? ? 0 ,只需要令 u ? 0? ? 0 即可,解得 x ? ?0, ??? ; 若 函 数 f ( x ) 在 区 间 ( 0,1 ) 上 为 单 调 减 函 数 , 即 只 需 令 u ?1? ? 0 即 可 , 解 得 x ? ? ??, ?4? , 所 以

x ? ? ??, ?4? ? ?0, ??? 。
21.(本题满分 12 分)已知△ ABC 是圆 O ( O 为坐标原点)的内接三角形,其中 A(1, 0), B(? , ? 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c .

1 2

3 ), 2

5

2 2 , ) ,求 cos 2 A ; 2 2 (Ⅱ)若点 C 在优弧 ? AB 上运动,求 a ? b 的最大值. 3? 2? 解: (Ⅰ)由点 C , B 的坐标可以得到 ?AOC ? , ?AOB ? , 4 3 2 1 2 3 6? 2 所以 cos ?COB ? cos(?AOC ? ?AOB) ? ? , ? (? ) ? ? ? 2 2 2 2 4 6? 2 即 cos 2 A ? ; 4 2? ? a b 3 (Ⅱ)因为 c ? 3, ?AOB ? ,所以 C ? ,所以 ? ? ?2, 3 3 sin A sin B 3 2 2? ? 2? ? A) ? 2 sin( A ? ) , (0 ? A ? ), 所以 a ? b ? 2sin A ? 2sin( 3 6 3 ? 所以当 A ? 时, a ? b 最大,最大值是 2 3 . 3 22.(本题满分 12 分) 如图 ABCD 在 x 2 ? 4 y 上,AD 关 对称轴对称,过点 D 作切线, BC // 切线 ,
(Ⅰ)若点 C 的坐标是 (? 点 D 到 AB、AC 距离分别为 d1 , d 2 , d1 ? d 2 ? (1)求 k AC ? k AB 的值; (2)若

于抛物线

2 AD

?ABC 的面积为 240,求点 A 的坐标. 1 2 1 解 : 设 D ( x 0 , x 0 ), 则 BC 的 斜 率 k BC ? x 0 由 题 意 知 4 2 1 2 A(? x0 , x0 ) 4 1 2 1 2 x1 ? x 2 1 1 1 2 1 2 4 4 ? ( x1 ? x 2 ) ? x0 设 C ( x1 , x1 ), B( x 2 , x 2 ) 则 k BC ? 4 4 x1 ? x 2 4 2 1 ? x1 ? x2 ? 2x0 ? x2 ? 2x0 ? x1 ? B (2 x0 ? x1 , (2 x0 ? x1 ) 2 ). 4 1 2 1 1 2 2 ( x1 ? x0 ) (2 x0 ? x1 ) 2 ? x0 (3x0 ? x1 )(x0 ? x1 ) 1 4 4 4 k AC ? ? ( x1 ? x0 ), k AB ? ? x1 ? x0 4 2 x0 ? x1 ? x0 3x0 ? x1 1 ? k AB ? ( x0 ? x1 ) ? k AC ? k AB ? 0 4 0 (2)? k AC ? k AB ? 0??DAC ? ?DAB ? d1 ? d2 结合 d1 ? d 2 ? 2 AD 知 ?DAC ? ?DAB ? 45

?

?

不妨设 C 在 AD 的上方,AB 的直线方程为 y ?

1 2 x 0 ? ?( x ? x 0 ) 4

1 2 ? 1 ? ?( x ? x 0 ) ? y ? x0 ? B( x0 ? 4, ( x0 ? 4) 2 ) ? 4 4 ? x2 ? 4y ? 1 2 AC 的直线方程为 y ? x 0 ? ( x ? x 0 ) 4

6

由?

1 2 ? 1 ? ( x ? x0 ) ? y ? x0 ? C ( x0 ? 4, ( x0 ? 4) 2 ) 4 4 ? x2 ? 4y ? AB ? 2 ( x0 ? 4) ? (?x0 ) ? 2 2x0 ? 4

AC ? 2 ( x0 ? 4) ? (?x0 ) ? 2 2x0 ? 4 1 所以 S ?ABC ? ? 2 2 x0 ? 4 ? 2 x0 ? 4 ? 240 ? x0 ? ?8 2
故 A(8,16)或 B(-8,16).

7


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