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空间直角坐标系


4.3

空间直角坐标系

重点难点 教学重点:在空间直角坐标系中确定点的坐标. 教学难点:通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用. 新知探究: ①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、 正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数 x 来表示. ②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点 O,过原点 O 分别作两 条互相垂直的数轴 Ox 和 Oy,xOy 称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征:两条数 轴: ①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、 向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面 直角坐标系上的点用它对应的横、 纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对 有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任 意一点也可用对应的有序实数组表示出来. ④观察图 2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一 个坐标系即空间直角坐标系,以 O 为原点,分别以射线 OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段 OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴 Ox,Oy,Oz 称为 x 轴、y 轴和 z 轴,这时我们说建 立了一个空间直角坐标系 O—xyz,其中 O 叫坐标原点,x 轴、y 轴和 z 轴叫坐标轴.如果我们 把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.

图1 图 1 表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住 z 轴,当右手的四个手指从 x 轴正向以 90°的角度转向 y 轴的正向时,大拇指的指向就是 z 轴的正向.我们称这种坐标系 为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系. 注意:在平面上画空间直角坐标系 O—xyz 时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°.即用斜二测 画法画立体图,这里显然要注意在 y 轴和 z 轴上的都取原来的长度,而在 x 轴上的长度取原来 长度的一半.同学们往往把在 x 轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直 观性差. ⑤观察图 2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点 M 就可以用坐标来表示了. 已知 M 为空间一点.过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴,它们与 x 轴、y 轴和 z 轴的交点分别为 P、Q、R,这三点在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标分别为 x,y,z.于是空间的一 点 M 就唯一确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y,z 为 点 M 的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z).

图2 反过来,一个有序数组 x,y,z,我们在 x 轴上取坐标为 x 的点 P,在 y 轴上取坐标为 y 的点 Q, 在 z 轴上取坐标为 z 的点 R,然后通过 P、 Q 与 R 分别作 x 轴、 y 轴和 z 轴的垂直平面.这三个 垂直平面的交点 M 即为以有序数组 x,y,z 为坐标的点.数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图 2 所示) 坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空 间的点 M 和有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系. 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 如果点 M 在 yOz 平面上,则 x=0;同样,zOx 面上的点,y=0;xOy 面上的点,z=0;如果点 M 在 x 轴上,则 y=z=0; 如果点 M 在 y 轴上,则 x=z=0; 如果点 M 在 z 轴上,则 x=y=0; 如果 M 是原点, 则 x=y=z=0. 思路 1 例 1 如图 3,长方体 OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出 D′,C,A′,B′ 四点的坐标.

图3 活动: 学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标, 首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在 z 轴上,因此它的横纵坐标 都为 0,C 在 y 轴上,因此它的横竖坐标都为 0,A′为在 zOx 面上的点,y=0; B′不在坐标面上, 三个坐标都要求. 解 :D′在 z 轴上, 而|OD′|=2,因此它的竖坐标为 2,横纵坐标都为 0,因此 D′的坐标是 (0,0,2).同理 C 的坐标为(0,4,0).A′在 xOz 平面上,纵坐标为 0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′ 的竖坐标就是|OD′|=2,所以 A′的坐标就是(3,0,2).点 B′在 xOy 平面上的射影是点 B,因 此它的横坐标 x 与纵坐标 y 同点 B 的横坐标 x 与纵坐标 y 相同,在 xOy 平面上,点 B 的横坐标 x=3,纵坐标 y=4;点 B′在 z 轴上的射影是点 D′,它的竖坐标与 D′的竖坐标相同,点 D′的 竖坐标 z=2,所以点 B′的坐标是(3,4,2). 点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础 ,一定掌握如下 方法,过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴,确定 x,y 和 z,同时掌握一些特殊点的 坐标的表示特征.

思路 2 例 1 如图 4, 已知点 P′在 x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在 xOz 平面上 , 且垂直于 x 轴,|PP′|=1,求点 P′和 P 的坐标.

图4 例 2 如图 5,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1 和 D1B1 的中点,棱长为 1,求 E,F 点的 坐标.

图5 变式训练 1.在上题中求 B1(1,1,1)点关于平面 xoy 对称的点的坐标.

2.在上题中求 B1(1,1,1)点关于 z 轴对称的点的坐标.

3.在上题中求 B1(1,1,1)点关于原点 D 对称的点的坐标.

拓展提升 1.在空间直角坐标系中的点 P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴 (z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么? 解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知: 点 P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为 P1(-x,-y,-z); 点 P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为 P2(x,-y,-z); 点 P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为 P3(-x,y,-z);

点 P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为 P4(-x,-y,z); 点 P(x,y,z)关于 xOy 坐标平面的对称点为 P5(x,y,-z); 点 P(x,y,z)关于 yOz 坐标平面的对称点为 P6(-x,y,z); 点 P(x,y,z)关于 zOx 坐标平面的对称点为 P7(x,-y,z). 点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x 轴)的对称点,横坐标不变, 纵坐标、竖坐

空间直角坐标系 习题
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分). 1.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z) ,给出下列 4 条叙述: ①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是(x,-y,z) ②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是(x,-y,-z) ③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是(x,-y,z) ④点 P 关于原点的对称点的坐标是(-x,-y,-z) 其中正确的个数是 () A.3 B.2 C.1 D.0 2.若已知 A(1,1,1) ,B(-3,-3,-3) ,则线段 AB 的长为 () A.4 3 B.2 3 C.4 2 D.3 2 ()

3.已知 A(1,2,3) ,B(3,3,m) ,C(0,-1,0) ,D(2,―1,―1) ,则 A. | AB | > | CD | C. | AB | ≤ | CD | D. | AB | ≥ | CD | B. | AB | < | CD |

4.设 A(3,3,1) ,B(1,0,5) ,C(0,1,0) ,AB 的中点 M,则 | CM |? A.

()

53 4

B.

53 2

C.

53 2

D.

13 2

5.如图,三棱锥 A-BCD 中,AB⊥底面 BCD,BC⊥CD,且 AB=BC=1, CD=2,点 E 为 CD 的中点,则 AE 的长为() A. 2 C. 2 B. 3 D. 5

6.点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的射影,则 OB 等于 () A. 14 B. 13 C. 2 3 D. 11

7.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C(3,7,-5) ,则点 D 的坐标为 () A. (

7 ,4,-1) B. (2,3,1) 2

C. (-3,1,5)

D. (5,13,-3)

8.点 P(a, b, c) 到坐标平面 xOy 的距离是 A. a ? b
2 2

() C. c D. a ? b ()

B. c

9.已知点 A(1,?2,11) , B(4,2,3) , C ( x, y,15) 三点共线,那么 x, y 的值分别是 A.

1 ,4 2

B.1,8

C. ?

1 ,-4 2

D.-1,-8

10.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是() A.

6 2

B. 3

C.

3 2

D.

6 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.如右图,棱长为 3a 正方体 OABC- D ' A ' B ' C ' , 点 M 在 | B ' C ' | 上,且 | C ' M | ? 2 | MB ' | ,以 O 为坐标原点,建立如图空间直有坐标系,则点 M 的坐标为. 12.如右图,为一个正方体截下的一角 P-ABC,

| PA |? a , | PB |? b , | PC |? c ,建立如图坐标
系,求△ABC 的重心 G 的坐标 _ _.

13.若 O(0,0,0) ,P(x,y,z) ,且 | OP |? 1 ,则

x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 表示的图形是

_

_.

14.已知点 A(-3,1,4) ,则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为;AB 的长为. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)如图,长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, | AD |? 3 , | AB |? 5 , | AA ' |? 3 ,设

E 为 DB ' 的中点, F 为 BC ' 的中点, 在给定的空间直角坐标系 D-xyz 下, 试写出 A, B, C,D, A ' , B ' , C ' , D ' ,E,F 各点的坐标.

16. (12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,且边长为 2a,棱 PD⊥底面 ABCD,PD=2b,取各侧棱的中点 E,F,G,H,写出点 E,F,G,H 的坐标.

17. (12 分)如图,已知矩形 ABCD 中, | AD |? 3 , | AB |? 4 .将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折 起,使得面 BCD⊥面 ABD.现以 D 为原点,DB 作为 y 轴的正方向,建立如图空间直角坐 标系,此时点 A 恰好在 xDy 坐标平面内.试求 A,C 两点的坐标.

18. (12 分)已知 A(1,?2,11) , B(4,2,3) , C (6,?1,4) ,求证其为直角三角形.

19. (14 分)如图,已知正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 a,M 为 BD ' 的中点,点 N 在

AC ' 上,且 | A ' N |? 3 | NC ' | ,试求 MN 的长.

20. (14 分)在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3) ,试问 (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足 | MA |?| MB | ? (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 坐标.



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