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江苏省南师附中、天一中学、淮阴中学、海门中学、南师附中分校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试题


2012-2013 学年第二学期期初高三教学质量调研 数学试卷
2013.02
注意事项: 1.本试卷共 4 页, 包括填空题(第 1 题~第 14 题)、 解答题(第 15 题~第 20 题)两部分. 本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学 校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题 ... 的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 一、 填空题: 本大题共 14 小题, 每小题 5 分, 70 分. 共 请把答案填写在答题卡相应位置 上. ....... . 1.已知集合 A={-1,0,1, 2},B={x|x2-x≤0},则 A∩B= ▲ .

2.设 a 为实数,若复数 (1+2i)(1+ai) 是纯虚数,则 a 的值是 ▲



3.某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:g)数据绘制的 频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是区间[96,106],样本中净重在区间 [96,100)的产品个数是 24,则样本中净重在区间[98,104)的产品个数是 ▲ 4.如图所示的流程图的输出 S 的值是 ▲ .
开始
a ? 5, S ? 1



a?4

N
输出S 结束

S ? S ?a a ? a ?1

Y

(第 3 题)

(第 4 题)

5.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具) , 先后抛掷两次,则两次点数之和为偶数的概率是 ▲ . 6. 设 k 为实数, 已知向量a =(1, b=(-3, 且(ka + b)⊥(a -3b ), k 的值是 ▲ 2), 2), 则
→ → → → → →



7.在平面直角坐标系 xOy 中,若角 α 的始边与 x 轴的正半轴重合,终边在射线 y=- 3x (x>0)上,则 sin5α= ▲ 8. 已知实数 x,y 满足约束条件 ? .
? x ? y ? 2 ? 0, , 则 z=2x+y 的最小值是 ? x ? 2, ? y?2 ?





x2 y2 9.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0) 的焦点到渐近线的距离是 a,则双曲线的离心率的值 a b 是 ▲ .

10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 a=2,3bsinC-5csinBcosA=0, 则△ABC 面积的最大值是 ▲ .

11.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.若 f(1)<f(lnx), 则 x 的取值范围是 ▲ . 12.若点 P、Q 分别在函数 y=ex 和函数 y=lnx 的图象上,则 P、Q 两点间的距离的最小值 是 ▲ . 1 1 13.已知一个数列只有 21 项,首项为 ,末项为 ,其中任意连续三项 a,b,c 满足 100 101 2ac b= ,则此数列的第 15 项是 a+c ▲ .

14.设 a1,a2,…,an 为正整数,其中至少有五个不同值. 若对于任意的 i,j(1≤i<j≤n), 存在 k,l(k≠l,且异于 i 与 j)使得 ai+aj=ak+al,则 n 的最小值是 ▲ .

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,摩天轮的半径为 50 m,点 O 距地面的高度为 60 m,摩天轮做匀速转动, 3 min 每 转一圈,摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 85 m?

P

(第 15 题) 16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥面 ABCD,AD∥
E

F C B

D

A

1 BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD= BC. 点 E、F 分别是棱 PB、边 CD 的中点. 2 (1)求证:AB⊥面 PAD; (2)求证:EF∥面 PAD.

( (第 16 题) 17. (本小题满分 14 分) 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y (单位: 千克)与销售价格 x (单 位:元/千克)满足关系式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格 x-3

为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所 获得的利润最大.

18. (本小题满分 16 分) x2 在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆 C: +y2=1 的上、下顶点分别为 A、B, 4 点 P 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。在椭圆 C 上且异于点 A、B 错误!未找 到引用源。 ,直线 AP、PB 与错误!未找到引用源。直线 l:y=-2 分别交于点 M、N. (1)设直线 AP、PB 的斜率分别为 k1,k2,错误!未找到引用源。求证:k1·k2 错误! 未找到引用源。为定值; (2)求线段 MN 长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.
y A

O P B N M

x

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分)

设非常数数列{an}满足 an+2=

αan+1+βan ,n∈N*,其中常数 α,β 均为非零实数,且 α+β

α+β≠0. (1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是 α+2β=0; 1 5 (2)已知 α=1,β= , a1=1,a2= ,求证:数列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)与数 4 2 1 列{n+ } (n∈N*)中没有相同数值的项. 2

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f (x)的定义域为 M,具有性质 P:对任意 x∈ M,都有 f (x)+f (x+2)≤2f (x+1). x (1)若 M 为实数集 R,是否存在函数 f (x)=a (a>0 且 a≠1,x∈ 具有性质 P,并说 R) 明理由; (2)若 M 为自然数集 N,并满足对任意 x∈ M,都有 f (x)∈ 记 d(x)=f (x+1)-f (x). N. (ⅰ) 求证:对任意 x∈ M,都有 d(x+1)≤d(x)且 d(x)≥0; (ⅱ) 求证:存在整数 0≤c≤d(1)及无穷多个正整数 n,满足 d(n)=c.

2012-2013 学年第二学期期初高三教学质量调研



学(附加题)

2013.02

21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题 ..

纸指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ...... A、 (几何证明选讲选做题) 如图,已知 AB 为圆 O 的直径,BC 切圆 O 于点 B,AC 交圆 O 于点 P,E 为线段 BC 的 中点.求证:OP⊥PE.
A

O

P

B

E

C

B、 (矩阵与变换选做题)

[来源:学科网 ZXXK]

?1 ? ? 1 0 ?,N=? 2 0 ?,设曲线 y=sinx 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到曲线 已知 M= ?0 2? ? ? ?0 1?
F,求 F 的方程.

C、 (坐标系与参数方程选做题)

?x=3+ 22t 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 m 的参数方程为? (t 为参数) ;在以 O 为 2 y=-3+ t ? 2
极点、射线 Ox 为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=8cosθ.若直线 m 与曲线 C 交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.

D、 (不等式选做题) 设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:2x+ 1 ≥2y+3. x2-2xy+y2

22、 【必做题】 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,AB=AC=2, 1 AA1=6,点 E、F 分别在棱 BB1、CC1 上,且 BE= BB1,C1F 3
A1 B1 C1

F

E A B C

1 = CC1. 3 (1)求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (2)求平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值.

[来源:Z#xx#k.Com]

23、 【必做题】 在数列{an}(n∈N*)中,已知 a1=1,a2k=-ak,a2k-1=(-1)k+1ak,k∈N*. 记数列{an} 的前 n 项和为 Sn. (1)求 S5,S7 的值; (2)求证:对任意 n∈N*,Sn≥0.

2012-2013 学年第二学期期初高三教学质量调研 数学

参考答案
一、 填空题:· 1. {0, 1}
9.

2.

1 2

3. 60

4. 20

5.

1 2 12. 2

6. 19 13.

7.

3 2

8. 2 14. 13

2

10. 2

1 11. (0, )∪(e, +∞) e

10 1007

二、解答题: 15. (1)解:设点 P 离地 面的距离为 y,则可令 y=Asin(ωt+φ)+b. 由题设可知 A=50, b=60. ………………2 分 2π 2π 2π 又 T= =3,所以 ω= ,从而 y=50sin( t+φ)+60. ω 3 3 ………………4 分

2π π 再由题设知 t=0 时 y=10,代入 y=50sin( t+φ)+60,得 sinφ=-1,从而 φ=- . 3 2 ……………… 6 分 2π 因此,y=60-50cos t 3 (t≥0). ………………8 分

2π 2π 1 (2)要使点 P 距离地面超过 85 m,则有 y=60-50cos t>85,即 cos t<- . 3 3 2 ………………10 分
源:Zxxk.Com] [来

2π 2π 4π 于是由三角函数基本性质推得 < t< , 1<t<2. 即 3 3 3

………………12 分

所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 m 的时间有 1 分钟. ………………14 分

16. 证明: (1)因为 PD⊥面 ABCD, 所以 PD⊥AB. ………………2 分 在平面 ABCD 中,D 作 DM//AB,则由 AB=12 得 DM=12. 1 又 BC=10,AD= BC,则 AD=5,从而 CM=5. 2 于是在△CDM 中,CD=13,DM=12,CM=5,则 由 5 ? 12 ? 13 及勾股定理逆定理得 DM⊥BC .
2 2 2

P

E

F C M

D N B

A

又 DM//AB,BC//AD,所以 AD⊥AB. 又 PD∩AD=D,所以 AB⊥面 PAD. 分 (2)[证法一] 取 AB 的中点 N,连结 EN、FN. 1 因为点 E 是棱 PB 的中点,所以在△ABP 中,EN// PA. 2

………………6

又 PA?面 PAD, 所以 EN//面 PAD. 因为点 F 分别是边 CD 的中点,所以在梯形 ABCD 中,FN//AD. 又 AD?面 PAD,所以 FN//面 PAD. 又 EN∩FN=N,PA∩DA=A,所以面 EFN//面 PAD. 又 EF?面 EFN, EF//面 PAD. 则 [证法二] 延长 CD,BA 交于点 G. 连接 PG,EG,EG 与 PA 交于点 Q. 1 由题设 AD∥BC,且 AD= BC,所以 CD=DG,BA 2 =AG,即点 A 为 BG 的中点. 又因为点 E 为棱 PB 的中点,所以 EA 为△BPG 的中 位线,即 EA∥PG,且 EA:PG=1:2,故有 EA:PG= F EQ:QG=1:2. ………………10 分 C 又 F 是边 CD 的中点,并由 CD=DG,则有 FD:DG =1:2. 在△GFE 中,由于 EQ:QG=1:2,FD:DG=1:2,所以 EF∥DQ. 又 EF?面 PAD,而 DQ?面 PAD,所以 EF∥面 PAD .

………………8 分 ……………10 分 ………………12 分 ………………14 分
P

E

Q G D A

B

………………12 分 ………………14 分

17. 解: (1)由题设知 x=5 时 y=11,则 11=

a +10(5-6)2,解得 a=2. 5-3 ………………3 分

2 (2)由(1)知该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所 x-3 获得的利润为 2 f(x)=(x-3) [ +10(x-6)2]=2+10(x-3) (x-6)2,3<x<6. ………………6 分 x-3 对函数 f(x)求导,得 f ′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6). 令 f ′(x)=0 及 3<x<6,解得 x=4. ………………10 分

当 3<x<4 时,f ′(x)>0,当 4<x<6 时,f ′(x)<0,于是有函 数 f(x)在(3,4)上递增,在 (4,6)上递减,所以当 x=4 时函数 f(x)取得最大值 f(4)=42. ………………13 分

答:当销售价格 x=4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42. ………………14 分 x2 18. 解: (1)由题设 +y2=1 可知,点 A(0,1),B(0,-1). 4 令 P(x0,y0),则由题设可知 x0≠0. y0-1 y0+1 所以,直线 AP 的斜率 k1= ,PB 的斜率为 k2= . x0 x0 又点 P 在椭圆上,所以 ………………2 分

x0 2 ? y0 2 ? 1 (x0≠0) ,从而有 4

y0-1 y0+1 y02-1 1 k1·k2= . = =- . ………………4 分 x0 x0 x02 4 (2)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y-1=k1(x-0),直线 PB 的方程为 y-(-1)=k2(x-0).

3 ? ? y ? 1 ? k1x ?x ? ? 由? ,解得 ? k1 ; ? y ? ?2 ? y ? ?2 ? 1 ? ? y ? 1 ? k2 x ?x ? ? 由? ,解得 ? k2 . ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?
所以,直线 AP 与直线 l 的交点 N (?

3 1 , ?2) ,直线 PB 与直线 l 的交点 M (? , ?2) . k1 k2
………………7 分

于是 MN ?|

3 1 1 ? | ,又 k1·k2=-4,所以 k1 k2
[来源:学科网]

MN ?|

3 3 3 ? 4k1 |? ? 4 | k1 | ≥2 ? 4 | k1 | =4 3, k1 | k1 | | k1 |
3 3 . ? 4 | k1 | ,解得 k1 ? ? 2 | k1 |

等号成立的条件是

………………10 分 → → ( 3 ) 设 点 Q(x,y) 是 以 MN 为 直 径 的 圆 上 的 任 意 一 点 , 则 QM · QN = 0 , 故 有 3 1 ( x ? )( x ? ) ? ( y ? 2)( y ? 2) ? 0 . k1 k2 故线段 MN 长的最小值是 4 3.

又 k1 ? k2 ? ?

1 ,所以以 MN 为直径的圆的方程为 4 3 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 12 ? ( ? 4k1 ) x ? 0 . k1
2

………………13 分

令?

?x ? 0 ? x ? ( y ? 2) ? 12 ? 0
2

? y ? ?2 ? 2 3 ? y ? ?2 ? 2 3 所以,以 MN 为直径的圆恒 过定点 (0,?2 ? 2 3) (或点 (0,?2 ? 2 3) ) .
………………16 分 注:写出一点的坐标即可得分. 19. (1)解:已知数列 {an } , an ? 2 ?

,解得 ?

?x ? 0

或?

?x ? 0

.

? an ?1 ? ? an . ? ??
? 2an ?1 ? an ,得

① 充分性:若 ? ? ?2? ,则有 an ? 2 ?

?2? an ?1 ? ? an ??

[来源:学科网]

an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ,所以 {an } 为等差数列.
② 必要性:若 {an } 为非常数等差数列,可令 an ? kn ? b (k≠0). 代入

………………4 分

an ? 2 ?

? an ?1 ? ? an ? [k (n ? 1) ? b] ? ? (kn ? b) ,得 k (n ? 2) ? b ? . ? ?? ? ??
? ? ??
k ,即 ? ? 2? ? 0 .
………………8 分 ………………10 分

化简得 2k ?

因此,数列{an}为等差数列的充要条件是 α+2β=0. (2)由已知得 an ? 2 ? an ?1 ? 又 因 为 a2 ? a1 ?
?1 5 [ an ?1 ? an ] .

3 ? 0 , 可 知 数 列 {an ?1 ? an } (n∈N*) 为 等 比 数 列 , 所 以 2
?1 5 3 )
n ?1

an ?1 ? an ? ( a2 ? a1 )(

?

3

2
)

?(

?1 5

)

n ?1

(n∈N*).
3

从而有 n≥2 时,

a n ?1 ? a n ?

2

?(

?1 5

n ?1

, an ? an ?1 ?
1

2

?(

?1 5

)

n?2

. ………………12 分

于是由上述两式,得

| an ?1 ? an ?1 |?

6
5

?(

) n ? 2 ( n ? 2 ).

5

由指数函数的单调性可知,对于任意 n≥2,| an+1-an-1|= 6 所以,数列 {| an ?1 ? an ?1 |}(n ? N*, n ? 2) 中项均小于等于 . 5

6 1 n?2 6 1 2?2 6 ·( ) ≤ ·( ) = . 5 5 5 5 5

1 1 6 1 6 而对于任意的 n≥1 时,n+ ≥1+ > ,所以数列{n+ }(n∈N*)中项均大于 . 2 2 5 2 5 1 因此,数列 {| an ?1 ? an ?1 |}(n ? N*, n ? 2) 与数列{n+ }(n∈N*)中没有相同数值的项. 2

………………16 分 20.证明: (1)因 f (x)=ax (a>0 且 a≠1),所以 ax ≠ax+2,即 f (x)≠f (x+2). ………………2 分 由题设以及算术平均与几何平均不等式,得 f (x)+f (x+2)=ax+ax+2>2 axax+2=2 ax+1=2 f (x+1), 这与 f (x)+f (x+2)≤2f (x+1)矛盾. 故不存在函数 f (x)=ax(a>0 且 a≠1)满足性质 P. ………………4 分 (2)(ⅰ)由题设对任意 x ? N ,f (x)+f (x+2)≤2f (x+1),所以 f(x+2)-f(x+1)≤f(x+1)-f(x). 于是对任意 x∈N,d(x+1)≤d(x). ………………6 分 下面用反证法证明:对任意 x∈N,d(x )≥0. 假设存在某个非负整数 k 使 d(k)<0,则由题设对任意 x∈N,f(x)∈N,得 d(x)∈Z,于 是有 d(k)≤-1. ………………8 分 由任意 x∈N,d(x+1)≤d(x),所以-1≥d(k)≥d(k+1)≥d(k+2)≥…≥d(k+n)≥….,这 里 n 是自然数. 于是有 d(k+n)+d( k+(n-1))+d(k+(n-2))+…+d(k)≤(n+1) d(k)≤(n+1)× (-1). 而 d(k+n)+d(k+(n-1))+d(k+(n-2))+…+d(k)=f (k+n+1)-f (k), 所以 f (k+n+1)-f (k)≤-(n+1). 取 n=f (k),得 f (k+f (k)+1)≤-f (k)-1+f (k)=-1,这与 f (k+f (k)+1)∈N 矛盾. 因此,必有对任意 x∈N,d(x)≥0. ………………12 分 (ⅱ)由(ⅰ)可知 d(1)≥d(2)≥d(3)≥…≥d(n)≥…≥0. 当 d(1)=0 时,则有 d(1)=d(2)=d(3)=…=d(n)=0,结论成立. 当 d(1)≠0 时,对任意 n∈N,有 d(n) ∈N,且 d(n) ∈[0, d(1)]. 因为在区间[0, d(1)]上的自然数只有有限个, 而落在此区间上的自然数 d(n)有无数多个, 所以,必存在自然数 c∈[0, d(1)]和无穷多个正整数 n,满足 d (n)=c. ……………16 分

【附加题答案】 21.A. 解:因为 AB 是圆 O 的直径, 所以∠APB=90° ,从而∠BPC=90° . …………2 分
O 4 2 B 1 E C 3 A

在△BPC 中,因为 E 是边 BC 的中点,所以 BE=EC,从 而 BE=EP,因此∠ 1=∠ 3. …………5 分 又因为 B、P 为圆 O 上的点,所以 OB=OP,从而∠ 2= ∠ 4. ……………7 分 因为 BC 切圆 O 于点 B, 所以∠ABC=90° 即∠ , 1+∠ 2=90° , 从而∠ 3+∠ 4=90° ,于是∠OPE=90° . 所以 OP⊥ PE.

P

………………9 分 ………………10 分

B. 解:由题设得 MN ? ? ?0

?1 ?1 0 ? ? 2 2? ? ? 0 ?

? ?1 ? ? ?2 ? ? 1? ? 0
0

0

? ?. ? 2?

………………4 分

设所求曲线 F 上任意一点的坐标为(x,y) y ?n , i s MN ? ? = ? 2 ? y ?? ? 把?

x 上任意一点的坐标为 ( x?, y?) ,则
………………7 分

? x? ?

?1

? 0? ? x?? ? x ? , ? ? ? ? ? 解得 ? ? y?? ? y ? ? 0 2?

? x? ? 2 x ? ? y? ? 1 y . ? 2 ?

? x? ? 2 x ? 1 代入 y? ? sin x? ,化简得 y ? 2 sin 2 x . ? ?y ? 2 y ?
………………10 分

所以, 曲线 F 的方程为 y ? 2 sin 2 x .

C. 解:直线 m 的普通方程为 x ? y ? 6 . 曲线 C 的普通方程为 y 2 ? 8x . 由题设直线 m 与曲线 C 交于 A、B 两点,可令 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 联立方程 ?

………………2 分 ………………4 分

? y 2 ? 8x ?x ? y ? 6

,解得 y 2 ? 8( y ? 6) ,则有 y1 ? y2 ? 8 , y1 ? y2 ? ?48. ………………7 分

于是 AB ?

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2 2

(1 ? 1 )( y1 ? y2 ) ?
2

2

2[( y ? y2 ) ? 4 y1 y2 ] ? 16
2
1

2.

故 AB ? 16 2 . D. 证明:由题设 x>0,y>0,x>y,可得 x-y>0.

………………10 分 ………………2 分

1 1 1 因为 2x+ 2 -2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ . x -2xy+y2 (x-y)2 (x-y)2 ………………5 分 又(x-y)+(x-y) + 1 1 2 ? 3 ,等号成立条件是 x-y=1 . 2≥ 3 3 ( x ? y) (x-y) ( x ? y )2 ………………9 分 1 1 所以,2x+ 2 ≥2y+3. 2-2y≥3,即 2x+ 2 x -2xy+y x -2xy+y2 ……………10 分

22.解: (1)建立如图所示的直角坐标系,则

z A1 B1

C1

A(0,0,0) , E (2,0,2) , A1 (0,0,6) , F (0,2,4) ,从而

F

E A B x C y

???

AE ? (2, 0, 2) , A1F ? (0, 2, ?2) .

??? ?

………………2 分

记 AE 与 A1F 的夹角为 ? ,则有

?? ??? ? ? ??? ? cos ? ? ??
AE ? A1 F | AE | ? | A1 F |

?4 8? 8

??

1 2
.

又由异面直线 AE 与 A1 F 所成角的范围为 (0, ? ) , 可得异面直线 AE 与 A1 F 所成的角为 60? . ………………4 分

(2)记平面 AEF 和平面 ABC 的法向量分别为 n 和 m,则由题设可令 n ? (1, y, z) , 且有平面 ABC 的法向量为 m ? AA ? (0,0,6) , AF ? (0,2,4) , AE ? (2,0,2) . 1 由 n ? AF ? 0 ,得 2 y ? 4 z ? 0 ;由 n ? AE ? 0 ,得 2 ? 2 z ? 0 .

????

??? ?

??? ?

1, ) 所以 z ? ?1, y ? 2 , n ? (,2 1? 即

.

………………8 分

记平面 AEF 与平面 ABC 所成的角为 ? ,有 cos ? ?

n?m | n|?| m |

?

?6 6 ?6

??

6 6

.

由题意可知 ? 为锐角,所以 cos ? ?

6 6

.

………………10 分

23. 解: (1)S5=3,S7=1. (2)由题设 a i 的定义可知,对于每个正整数 k,有

………………2 分

a4k ?3 ? a2k ?1 ? ?a4k ?2 . a4k ?1 ? a4k ? ?a2k ? ak .
则 S4k ?
k k

① ② ……………4 分

?[(a4i?3 ? a4i?2 ) ? (a4i?1 ? a4i )] ? ? (0 ? 2ai ) ? 2Sk ,③
i ?1 i ?1

S4k ?2 ? S4k ? (a4k ?1 ? a4k ?2 ) ? S4k .
下面证明对于所有的 n≥1,Sn≥0. 对于 k,用数学归纳法予以证明. 当 i=1,2,3,4,即 k=0 时,S1=1,S2=0, S3=1, S4=2. 假设对于所有的 i≤4k,Si≥0,则由① 、② 、③ 、④ 知, S4k+4= 2Sk+1≥0, S4k+2=S4k≥0,

④ ……………6 分

S4k+2+S4k+4 S4k+3=S4k+2+a4k+3=S4k+2+a4k+4=S4k+2+(S4k+4-S4k+3),S4k+3= ≥0. 2 接下来证明:S4k+1≥0. 若 k 是奇数,则 S4k=2Sk≥2. 因为 k 是奇数,所以由题设知数列的各项均为奇数,可知 Sk 也是一个奇数. 于是 S4k≥2. 因此,S4k+1=S4k+a4k+1≥1. 若 k 是偶数,则 a4k+1=a2k+1=ak+1. 所以 S4k+1=S4k+a4k+1=2Sk+ak+1=Sk+Sk+1≥0. 综上,对于所有的 n≥1,Sn≥0. ………………10 分



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