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【步步高】2017版高考数学理江苏大二轮总复习练习:专题六 第2讲椭圆、双曲线、抛物线.doc


第2讲

椭圆、双曲线、抛物线

x2 y2 1.(2016· 课标全国乙改编)已知方程 2 - 2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的 m +n 3m -n 距离为 4,则 n 的取值范围是__________. 答案 (-1,3) x2 y2 解析 ∵方程 2 - 2 =1 表示双曲线,∴(m2+n)· (3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2,由 m +n 3m -n 双曲线性质,知 c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中 c 是半焦距), ∴焦距 2c=2× 2|m|=4,解得|m|=1,∴-1<n<3. x2 y2 2.(2016· 天津改编)已知双曲线 - 2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长 4 b 的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲 线的方程为____________. 答案 x2 y2 - =1 4 12

b 解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 y=± x,圆的方程为 x2+y2=4, 2

x +y =4, ? ? 联立? b ? ?y=2x,

2

2

? ?x= 解得? ? ?y= ? ?x= 或? ? ?y=

4 , 4+b2 2b , 4+b2

, 4+b2 -2b , 4+b2

-4

即第一象限的交点为?

? 4 , 2b ? ?. 4+b2? ? 4+b2
8 4b 8× 4b 2, 2,故4+b2 4+b 4+b

由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形,其相邻两边长为 =2b,得 b2=12. x2 y2 故双曲线的方程为 - =1. 4 12

x2 y2 3.(2016· 课标全国甲改编)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左,右焦点,点 M 在 E 上, a b 1 MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为________. 3 答案 2

b2 解析 如图,因为 MF1 与 x 轴垂直,所以 MF1= . a

1 MF1 1 又 sin∠MF2F1= ,所以 = ,即 MF2=3MF1.由双曲线的定义得 2a=MF2-MF1=2MF1 3 MF2 3 2b2 = ,所以 b2=a2, a 所以 c2=b2+a2=2a2, c 所以离心率 e= = 2. a 4.(2016· 浙江)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10, 则 M 到 y 轴的距离是________. 答案 9 解析 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线为 x=-1.由 M 到焦点的距离为 10,可知 M 到准 线 x=-1 的距离也为 10,故 M 的横坐标满足 xM+1=10,解得 xM=9,所以点 M 到 y 轴的 距离为 9.

1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质?特别是离心率? . 2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系?弦长、中点等? .

热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆:PF1+PF2=2a(2a>F1F2); (2)双曲线:|PF1-PF2|=2a(2a<F1F2); (3)抛物线:PF=PM,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M. 2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” 所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出 方程中的 a2,b2,p 的值. 例 1 (1)△ ABC 的两个顶点为 A(-4,0),B(4,0),△ ABC 周长为 18,则 C 点轨迹方程为

____________. x2 y2 (2)在平面直角坐标系中, 已知△ ABC 的顶点 A(-4,0)和 C(4,0), 顶点 B 在椭圆 + =1 上, 25 9 sin A+sin C 则 =________. sin B x2 y2 5 答案 (1) + =1(y≠0) (2) 25 9 4 解析 (1)∵△ABC 的两顶点 A(-4,0),B(4,0),周长为 18,∴AB=8,BC+AC=10.∵10>8, ∴点 C 到两个定点的距离之和等于定值,满足椭圆的定义,∴点 C 的轨迹是以 A,B 为焦 x2 y2 点的椭圆,∴2a=10,2c=8,∴b=3.∴椭圆的标准方程是 + =1(y≠0). 25 9 (2)由椭圆方程知其焦点坐标为(-4,0)和(4,0),恰分别为△ ABC 的顶点 A 和 C 的坐标,由椭 sin A+sin C BC+BA 10 5 圆定义知 BA+BC=2a=10, 在△ ABC 中, 由正弦定理可知, = = = . sin B AC 8 4 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意焦点在不同坐

标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是 待定系数法,可结合草图确定. 跟踪演练 1 (1)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=24y 的焦点重合,其一条渐近线的倾斜 角为 30° ,则该双曲线的标准方程为____________. (2)抛物线 y2=4x 上任一点到定直线 l: x=-1 的距离与它到定点 F 的距离相等, 则该定点 F 的坐标为____________. y2 x2 答案 (1) - =1 9 27 (2)(1,0)

解析 (1)由抛物线 x2=24y 得焦点坐标为(0,6), ∵双曲线的一个焦点与抛物线 x2=24y 的焦点相同, y2 x2 ∴c=6,设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),又双曲线的一条渐近线的倾斜角为 a b a 3 30° ,∴ = ,即 b= 3a,又∵c2=a2+b2,∴a2=9,b2=27, b 3 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 9 27

p (2)因为 2p=4,所以 p=2,可得 =1, 2 故焦点坐标为(1,0),即定点的坐标为(1,0). 热点二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中,a,b,c 之间的关系 c (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为 e= = a c (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为 e= = a b 1-( )2; a b 1+( )2. a

x2 y2 b 2.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系. a b a x2 y2 例 2 (1)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x a b +c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双 a b 曲线的左、右两支于点 B、C,且 BC=CF2,则双曲线的渐近线方程为__________. 答案 (1) 3-1 (2)y=± ( 3+1)x 解析 (1)直线 y= 3(x+c)过点 F1(-c,0), 且倾斜角为 60° , 所以∠MF1F2=60° , 从而∠MF2F1 =30° ,所以 MF1⊥MF2.在 Rt△ MF1F2 中,MF1=c,MF2= 3c, 2c 2c 所以该椭圆的离心率 e= = = 3-1. 2a c+ 3c (2)由题意作出示意图,

a b 易得直线 BC 的斜率为 ,cos∠CF1F2= , b c 又由双曲线的定义及 BC=CF2 可得 CF1-CF2=BF1=2a, BF2-BF1=2a ? BF2=4a,
2 2 2 b 4a +4c -16a b b b 故 cos∠CF1F2= = ? b2-2ab-2a2=0? ( )2-2( )-2=0? =1+ 3, c 2× 2a× 2c a a a

故双曲线的渐近线方程为 y=± ( 3+1)x. 思维升华 (1)明确圆锥曲线中 a,b,c,e 各量之间的关系是求解问题的关键. (2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出 c 和 a 的值,而是根据题目给出的椭 圆或双曲线的几何特点,建立关于参数 c,a,b 的方程或不等式,通过解方程或不等式求得 离心率的值或范围. x2 y2 跟踪演练 2 (1)已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左焦点 F1 和右焦点 F2,上顶点为 A,AF2 的中 a b 垂线交椭圆于点 B,若左焦点 F1 在线段 AB 上,则椭圆的离心率为________. x2 (2)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2-y2=1 与抛物线 y2=-12x 有相同的焦点,则双曲 a 线的两条渐近线的方程为____________. 答案 (1) 3 2 (2)y=± x 3 4

a → 解析 (1)由题意知 AB=BF2,AF1=AF2=a,设 BF1=x,则 x+x+a=2a,所以 x= ,故AF1 2 9c2 b2 4 4 3c b → =2F1B,(-c,-b)=2(xB+c,yB),易求得 B(- ,- ),代入椭圆方程得 2 + 2=1,解 2 2 a b c2 1 3 得 2= ,所以 e= . a 3 3 (2)由题意得 a2+1=9? a=2 2, x2 1 而双曲线 2-y2=1 的渐近线方程为 y=± x, a a 2 即 y=± x. 4 热点三 直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x,y 的方程组,消去 y(或 x)得一元 方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标. (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. 例3 x2 y2 (2015· 江苏改编)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离 a b 2 a2 ,且右焦点 F 到直线 l:x=- 的距离为 3. 2 c

心率为

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C, 若 PC=2AB,求直线 AB 的方程. c 2 a2 解 (1)由题意,得 = 且 c+ =3, a 2 c 解得 a= 2,c=1,则 b=1, x2 所以椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 (2)当 AB⊥x 轴时,AB= 2,又 CP=3,不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线 AB 的方程代入椭圆方程, 得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0, 2k2± 2(1+k2) 则 x1,2= , 1+2k2 C 的坐标为?

? 2k , -k ?,且 ? ?1+2k2 1+2k2?

2

AB= (x2-x1)2+(y2-y1)2= (1+k2)(x2-x1)2 2 2(1+k2) = . 1+2k2 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与直线 l 平行,不合题意. 从而 k≠0,故直线 PC 的方程为 2k2 ? k 1? x - y+ =- 2 , k ? 1+2k ? 1+2k2 5k +2 ? ? 则 P 点的坐标为?-2, , k(1+2k2)? ? ? 2(3k2+1) 1+k2 从而 PC= . |k|(1+2k2) 2(3k2+1) 1+k2 4 2(1+k2) 因为 PC=2AB,所以 = , |k|(1+2k2) 1+2k2 解得 k=± 1. 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程, 利用根与系数的关系, 设而不求思 想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解. 跟踪演练 3 (1)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公
2

共点,则直线 l 的斜率的取值范围为__________. x2 y2 x (2)(2016· 湖南省长郡中学高考模拟)设椭圆 C: + =1 与函数 y=tan 的图象相交于 A1, 4 3 4 A2 两点,若点 P 在椭圆 C 上,且直线 PA2 的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 斜

率的取值范围是________. 3 3 答案 (1)[-1,1] (2)[ , ] 8 4 解析 (1)由题意知抛物线的准线为 x=-2,∴Q(-2,0),显然,直线 l 的斜率存在,故设直
?y=k(x+2), ? 线 l 的方程为 y=k(x+2),由? 2 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当 k=0 时,x=0, ?y =8x, ?

此时交点为(0,0),当 k≠0 时,Δ≥0, 即[4(k2-2)]2-16k4≥0,解得-1≤k<0 或 0<k≤1, 综上,k 的取值范围为[-1,1]. x2 1 (2)由题意,得 A1,A2 两点关于原点对称,设 A1(x1,y1),A2(-x1,-y1),P(x0,y0),则有 4
2 y0+y1 y1 x2 y2 3 3 3 x0-x1 0 0 2 2 2 + =1, + =1,即 y2 =- · = 1= (4-x1),y0= (4-x0),两式相减整理,得 3 4 3 4 4 4 y0-y1 x0+x1

3 1 - · . 4 k
PA1

因为直线 PA2 的斜率的取值范围是[-2,-1], y0+y1 所以-2≤ ≤-1, x0+x1 3 1 3 3 所以-2≤- · ≤-1,解得 ≤ k PA1 ≤ . 4 k 8 4
PA1

x2 y2 1.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 3x+ 6y+3=0 垂直,以 C 的右 a b 焦点 F 为圆心的圆(x-c)2+y2=2 与它的渐近线相切,则双曲线的焦距为________. 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂, 其中离心率、 渐近线是高考命题的热点. 答案 2 5 b 解析 由直线垂直的条件,求出渐近线的斜率 ,从而得到渐近线方程,根据圆心到渐近线 a 的距离等于半径,求得 b,进而求出焦距 2c. b 3 b 6 由已知,得 · (- )=-1,所以 = , a a 3 6 由点 F(c,0)到渐近线 y= 6 c 3 6 ( )2+(-1)2 3 6 x 的距离 3

d=

= 2,可得 c= 5,2c=2 5.

x2 y2 1 3 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且点(1, )在该椭圆上. a b 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; 6 2 (2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若△ AOB 的面积为 ,求 7 圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程. 押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点, 直线与椭圆的位置关系中的弦长、 中点等知识 应给予充分关注. c 1 解 (1)由题意可得 e= = ,又 a2=b2+c2, a 2 3 所以 b2= a2. 4 3 因为椭圆 C 经过点(1, ), 2 9 4 1 所以 2+ =1, a 3 2 a 4 解得 a=2,所以 b2=3, x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)知 F1(-1,0),设直线 l 的方程为 x=ty-1, x=ty-1, ? ?2 2 由?x y 消去 x, + =1 ? ?4 3 得(4+3t2)y2-6ty-9=0, 显然 Δ>0 恒成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6t 9 则 y1+y2= , 2,y1y2=- 4+3t 4+3t2 所以|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2 = 12 t2+1 36t2 36 , 2 2+ 2= (4+3t ) 4+3t 4+3t2

6 t2+1 6 2 1 所以 S△ AOB= · F1O· |y1-y2|= = , 2 7 4+3t2 化简得 18t4-t2-17=0, 即(18t2+17)(t2-1)=0, 17 2 解得 t2 1=1,t2=- (舍去), 18

|0-t× 0+1| 1 又圆 O 的半径 r= , 2 = 1+t 1+t2 所以 r= 2 1 ,故圆 O 的方程为 x2+y2= . 2 2

A 组 专题通关 x2 y2 1.双曲线 - =1 的离心率为______. 4 5 答案 3 2

c 3 解析 由题意得 a2=4,b2=5? c2=9? e= = . a 2 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,若曲线 C 经过点 P(1,3),则其焦点到准线的距离为________. 答案 9 2

解析 由题意设抛物线方程为 y2=2px, 9 又因为过点 P(1,3),则 p= .即为焦点到准线的距离. 2 x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上, a b 且 PF1=4PF2,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 5 3

解析 方法一 由定义知 PF1-PF2=2a, 8 2 又已知 PF1=4PF2,解得 PF1= a,PF2= a, 3 3 在△ PF1F2 中,由余弦定理,得 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 cos∠F1PF2= = - e2, 8 2 8 8 2· a· a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, 5 当 cos∠F1PF2=-1 时,解得 e= . 3 5 即 e 的最大值为 . 3 方法二 设 P(x,y),由焦半径公式得 PF1=ex+a, PF2=ex-a,∵PF1=4PF2,∴(ex+a)=4(ex-a),

5a 5 5 ∴e= ,∵x≥a,∴e≤ ,∴e 的最大值为 . 3x 3 3 4.设抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 为抛物线 E 上一点,MF 的最小值为 3,若点 P 为抛物线 E 上任意一点,A(4,1),则 PA+PF 的最小值为________. 答案 7 p 解析 由题意,MF 的最小值为 3,得 =3, 2 ∴p=6,∴抛物线 E:y2=12x, 抛物线 y2=12x 的焦点 F 的坐标是(3,0); 设点 P 在准线上的射影为 D, 则根据抛物线的定义可知 PF=PD, ∴要求 PA+PF 取得最小值,即求 PA+PD 取得最小值,当 D,P,A 三点共线时 PA+PD 最小,为 4-(-3)=7. x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个共同的焦点 F,两曲线的一个交点 a b 为 P,若 PF=5,则点 F 到双曲线的渐近线的距离为________. 答案 3

解析 ∵抛物线 y2=8x 的焦点为 F(2,0), x2 y2 ∴双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 的坐标为(2,0),∴c2=a2+b2=4.① a b ∵P 是两曲线的一个交点,且 PF=5, ∴xp+2=5,∴xp=3,∴y2 p=24. x2 y2 ∵P(xp,yp)在双曲线 2- 2=1 上, a b 9 24 ∴ 2- 2 =1.② a b a +b =4, ? ? 联立? 9 24 ? ?a2- b2 =1,
2 2

解得 a2=1,b2=3.

y2 ∴双曲线的方程为 x2- =1. 3 又双曲线的渐近线方程为 y=± 3x, ∴点 F(2,0)到渐近线的距离为 3. x2 y2 6.已知点 A(2,4)在抛物线 y2=2px(p>0)上,且抛物线的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的 a b 一个焦点,若双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为____________. y2 答案 x2- =1 3

解析 ∵点 A(2,4)在抛物线 y2=2px(p>0)上, ∴16=4p,解得 p=4. ∴抛物线的准线方程为 x=-2. x2 y2 c 又抛物线的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,∴c=2,又 e= =2, a b a ∴a=1,则 b2=c2-a2=4-1=3, y2 ∴双曲线的方程为 x2- =1. 3 7.一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,则动圆圆心的 轨迹方程为__________. 答案 x2 y2 + =1 25 16

解析 两定圆的圆心和半径分别是 O1(-3,0),r1=1; O2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,则由题设条件, 可得 MO1=R+1,O2M=9-R. ∴MO1+MO2=10>O1O2=6. 由椭圆的定义知点 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,且 2a=10,2c=6,∴b2=16. x2 y2 ∴动圆圆心的轨迹方程为 + =1. 25 16 x2 y2 8.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 5 4 则△ AOB 的面积为________. 答案 5 3

解析 由已知得直线方程为 y=2(x-1).
?y=2x-2, ? 由? 2 得 3y2+2y-8=0, 2 ? 4 x + 5 y - 20 = 0 , ?

2 8 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=- ,y1y2=- , 3 3 ∴|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2 = 4 32 10 + = , 9 3 3

1 10 5 ∴S△ AOB= × 1× = . 2 3 3 x2 y2 1 y2 9.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆的短轴端点与双曲线 -x2=1 的焦点重 a b 2 2 合,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; → → (2)求OA· OB的取值范围. y2 解 (1)由双曲线 -x2=1 得其焦点为(0,± 3), 2 ∴b= 3. c 1 又由 e= = ,a2=b2+c2,得 a2=4,c=1. a 2 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)由题意可知直线 l 的斜率存在, y=k(x-4), ? ?2 2 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),由?x y 消去 y, ? ? 4 + 3 =1 得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0, 由 Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0, 1 得 k2< . 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 64k2-12 32k2 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 4k +3 4k +3 ∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2, 64k2-12 32k2 87 → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=(1+k2)· 2 -4k2· 2 +16k2=25- 2 . 4k +3 4k + 3 4k +3 1 87 87 ∵0≤k2< ,∴-29≤- 2 <- , 4 4 4k +3 13 → → ∴OA· OB∈[-4, ). 4 13 → → 故OA· OB的取值范围为[-4, ). 4 10. 如图所示,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,动点 T(-1,m),过 F 作 TF 的垂线交抛物线于 P,Q 两点,弦 PQ 的中点为 N.

(1)证明:线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上); (2)若 m>0 且 NF=TF,求 m 的值及点 N 的坐标. -m (1)证明 易知抛物线的焦点 F(1,0),准线 x=-1,动点 T(-1,m)在准线上,则 kTF= . 2 当 m=0 时,T 为抛物线准线与 x 轴的交点,这时 PQ 为抛物线的通径,点 N 与焦点 F 重合, 显然线段 NT 在 x 轴上. y =4x, ? ? 2 2 当 m≠0 时, 由条件知 kPQ= , 所以直线 PQ 的方程为 y= (x-1), 联立? 得 2 m m y= (x-1), ? ? m x2-(2+m2)x+1=0,又 Δ=[-(2+m2)]2-4=m2(4+m2)>0, 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),可知 x1+x2=2+m2,y1+y2= (x1+x2-2)=2m.所以弦 PQ 的中点 m 2+m2 N( ,m),又 T(-1,m),知 kNT=0,则 NT 平行于 x 轴. 2 综上可知线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上). NF (2)解 已知 NF=TF,在△ TFN 中,tan∠NTF= =1? ∠NTF=45° ,设 A 是准线与 x 轴 TF 的交点,则△ TFA 是等腰直角三角形,所以 TA=AF=2, 又动点 T(-1,m),其中 m>0,则 m=2. 因为∠NTF=45° ,所以 kPQ=tan 45° =1,又焦点 F(1,0),可得直线 PQ 的方程为 y=x-1, 由 m=2 得 T(-1,2),由(1)知线段 NT 平行于 x 轴,设 N(x0,y0),则 y0=2,代入 y=x-1, 得 x0=3,所以 N(3,2). B 组 能力提高 x y 11.已知 F1、F2 为椭圆 + =1 的左、右焦点,若 M 为椭圆上一点,且△ MF1F2 的内切圆 25 16 的周长等于 3π,则满足条件的点 M 有________个. 答案 2 x2 y2 解析 由椭圆方程 + =1 可得 a2=25,b2=16, 25 16 ∴a=5,b=4,c=3. 由椭圆的定义可得 MF1+MF2=2a=10,且 F1F2=2c=6, ∴△MF1F2 的周长 MF1+MF2+F1F2=10+6=16. 设△ MF1F2 的内切圆的半径为 r, 3 由题意可得 2πr=3π,解得 r= . 2 设 M(x0,y0), 1 则 S△ MF1F2= (MF1+MF2+F1F2)· r 2
2 2 2

1 1 3 1 = F1F2· |y0|,即 × 16× = × 6· |y0|, 2 2 2 2 解得|y0|=4.∴y0=± 4. ∴M(0,4)或(0,-4). 即满足条件的点 M 有 2 个. a2 x2 y2 12.已知圆 x2+y2= 上点 E 处的一条切线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F,且与 16 a b → 1 → → 双曲线的右支交于点 P,若OE= (OF+OP),则双曲线的离心率是_________________. 2 答案 26 4

解析 如图所示,设双曲线的右焦点为 H,连结 PH,

a 由题意可知 OE= , 4 → 1 → → 由OE= (OF+OP), 2 可知 E 为 FP 的中点. 由双曲线的性质,可知 O 为 FH 的中点, 1 所以 OE∥PH,且 OE= PH, 2 a 故 PH=2OE= . 2 由双曲线的定义,可知 PF-PH=2a(P 在双曲线的右支上), 5a 所以 PF=2a+PH= . 2 因为直线 l 与圆相切,所以 PF⊥OE. 又 OE∥PH,所以 PF⊥PH. 在 Rt△ PFH 中,FH2=PH2+PF2, a 5a 即(2c)2=( )2+( )2, 2 2 c 26 26 整理得 = ,即 e= . a 4 4 x2 y2 13.经过椭圆 + =1 的右焦点的直线 l 交抛物线 y2=4x 于 A、B 两点,点 A 关于 y 轴的对 4 3

→ → 称点为 C,则OB· OC=________. 答案 -5 x2 y2 解析 由椭圆 + =1 知右焦点为(1,0),当直线 l 的斜率为 0 时,不符合题意,故可设直线 4 3
?y2=4x, ? l 的方程为 x=my+1.由? 得 y2-4my-4=0, ? x = my + 1 , ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2=-4,
2 y2 1 y2 ∴x1x2= · =1. 4 4

→ → 由题意知 C(-x1,y1),∴OB· OC=(x2,y2)· (-x1,y1)=-x1x2+y1y2=-1-4=-5. x2 y2 3 14.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)过点 D(1, ),且右焦点为 F(1,0),右顶点为 A.过点 F 的 a b 2 弦为 BC.直线 BA,直线 CA 分别交直线 l:x=m(m>2)于 P、Q 两点.

(1)求椭圆方程; (2)若 FP⊥FQ,求 m 的值. 1 9 解 (1) 2+ 2=1,a2-b2=1, a 4b x2 y2 解之得 a2=4,b2=3,所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设 B(x0,y0),则 BC:y= y0 (x-1), x0-1

x2 y2 与椭圆 E: + =1 联立得方程组 4 3

? ? y ?y=x -1(x-1),
0 0

x2 y2 + =1, 4 3

8-5x0 -3y0 解得 x=x0,y=y0 或 x= ,y= , 5-2x0 5-2x0 8-5x0 -3y0 所以 C( , ), 5-2x0 5-2x0

-3y0 5-2x0 y0 kABkAC= · x0-2 8-5x0 -2 5-2x0 y0 3y0 3y2 0 = · = 2 x0-2 x0+2 x0-4
2 x0 9(1- ) 4 9 = 2 =- . 4 x0-4

9 显然 kAB=kAP,kAC=kAQ,所以 kAPkAQ=- . 4 m-2 y1 设 Q(m,y1),kFQ= = k , m-1 m-1 AQ 同理 kFP= m-2 k . m-1 AP

m-2 2 所以 kFP· kFQ=( )k k m-1 AP AQ 9 m-2 2 =- ( ) =-1, 4 m-1 m-2 2 又 m>2,所以 = ,所以 m=4. m-1 3



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