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高中北师版数学a版必修1(单元测试卷):2.3函数的单调性 含解析

3 函数的单调性 满分:80 分 姓名________ 分数________ 时间:45 分钟 班级________ 一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分) 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A.y=3-x B.y=x2+1 C.y=-x2 D.y=x2-2x-3 答案:B 解析:(排除法)选项 A,y=3-x 在 R 上是减函数;选项 C,y=-x2 在(0, +∞)上是减函数,选项 D,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,当 x≤1 时 y 是 x 的减 函数,当 x≥1 时,y 是 x 的增函数,而在(0,2)上并不严格单调.故选 B. 2.如图是函数 y=f(x)的图象,则此函数的单调递减区间的个数是( ) ) A.1 C.3 B.2 D.4 答案:B 解析:由图象,可知函数 y=f(x)的单调递减区间有 2 个.故选 B. 3.下列函数中,在区间(0,k)(k∈(0,+∞))上单调递增的是( A.y=4-3x B.y=2x2+1 C.y=-5x2 D.y=x2-2x+2 答案:B ) 解析:因为 y=4-3x 在(0,k)上单调递减,故 A 不满足题意;y=2x2+1 在(0,+∞)上单调递增,则在区间(0,k)(k∈(0,+∞))上也单调递增,故 B 满足 题意;y=-5x2 在(0,k)上单调递减,故 C 不满足题意;y=x2-2x+2=(x-1)2 +1 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故 D 不满足题意.故选 B. 4.函数 y=(2k+6)x-1 在 R 上是减函数,则实数 k 的取值范围是( A.(-3,+∞) B.(-∞,-3] C.[-3,+∞) D.(-∞,-3) 答案:D 解析:∵y=(2k+6)x-1 在 R 上是减函数,∴2k+6<0,即 k<-3.故选 D. 5.函数 f(x)= 1 A.(-∞,- ] 2 1 C.[-3,- ] 2 答案:C 解析:∵-x2-x+6≥0, ∴-3≤x≤2, ∴f(x)定义域为[-3,2]. -x2-x+6的单调增区间是( 1 B.[- ,+∞) 2 1 D.[- ,2] 2 ) ) 而 y=-x2-x+6 图像开口向下,利用复合函数单调性可得. 6.函数 y=f(x-1)的图像如图所示,它在 R 上单调递减,现有如下结论: ①f(0)>1; 1 ②f( )<1; 2 1 ④f( )>f(2). 2 ) ③f(2)<1; 其中正确结论的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 答案:C 解析: y=f(x)的图像是在 y=f(x-1)的基础上向左平移一个单位长度得到的, 由图像知 f(0)=1.故①不正确, 而③正确. ②显然正确. 对于④f(x-1)递减, ∴f(x) 1 递减,故 f( )>f(2),∴④正确,综上②③④均正确.故选 C. 2 二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 7.二次函数 y=2x2+3mx-6 在(-∞,6]上是减函数,则 m 的取值范围是 ________. 答案:(-∞,-8] 解析:依题意,抛物线开口向上, 因为在(-∞,6]上是减函数, 所以由- 3 =- m≥6,得 m≤-8. 2×2 4 3m 8.已知函数 y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),则 实数 a 的取值范围是________. ? 2? ? ? 0 , 答案:? 3? ? ? -1<1-a<1 ? ? 解析:由题意,得?-1<2a-1<1 ? ?1-a>2a-1 2 ,解得 0<a< . 3 9.如果函数 f(x)在[a、b]上是增函数.那么对于任意的 x1、x2∈[a,b](x1 綒 x2),则有: ① f?x1?-f?x2? x1-x2 >0 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 ③a<f(x1)<f(x2)<b ④ x2-x1 f?x2?-f?x1? >0 以上说法正确的序号:________. 答案:①②④ 解析:由 f(x)为增函数,当 a≤x1<x2≤b 时有 f(x1)<f(x2)易判断出. 三、解答题:(共 35 分,11+12+12) 10.试判断函数 f(x)= x x-1 在其定义域上的单调性,并加以证明. 解:函数定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), 又 f(x)= x x-1 = ?x-1?+1 x-1 = +1, x-1 1 1 可由反比例函数 y= 的图象及平移规律,知函数 f(x)在(-∞,1)和(1,+ x ∞)上单调递减. 证明如下: 设任意的 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, x1 x2 则 f(x1)= ,f(x2)= . x1-1 x2-1 f(x2)-f(x1)= ∵1<x1<x2, ∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0. ∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(1,+∞)上单调递减. 同理可证 f(x)在(-∞,1)上单调递减. 综上,f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减. 11.已知函数 f(x)=-x2-ax+3 在区间(-∞,-1]上是增函数. (1)求 a 的取值范围; a (2)证明 f(x)在区间(-∞,- )上为增函数. 2 a 解: (1)∵f(x)的图像是开口向下的抛物线, 且对称轴为 x=- , ∴f(x)在区间(- 2 a ∞,- ]上为增函数.若使 f(x)在区间(-∞,-1]上为增函数,则 2 a - ≥-1,∴a≤2. 2 ∴a 的取值范围是(-∞,2]. x2 x2-1 - x1-x2 = . x1-1 ?x2-1??x1-1? x1 a a (2)设 x1、x2 是(-∞,- )上的任意两个实数,且 x1<x2<- ,则 2 2 f(x1)-f(x2)=(-x2 1-ax1+3)-(-x2 2-ax2+3) =(x2-x1)(x2+

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