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(初级篇1)基本不等式及其应用


基本不等式及应用 一、基本不等式及应用 1、(2018 苏锡常一模 9 题)已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 解析:∵ a ? 0 , b ? 0 2 3 ? ? ab ,则 ab 的最小值是. a b 2 3 ? ? ab ? 2 6 ,故 ab ? 2 6 . ab a b 2 2 2、已知实数 x , y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值为________. ∴ 解析: 因为 x 2 ? y 2 ? xy ? 1 , 所以 x 2 ? y 2 ? 1 ? xy . 所以 ( x ? y) 2 ? 1 ? 3xy ? 1 ? 3( x? y 2 ) , 2 即 ( x ? y) 2 ? 4 ,解得 ? 2 ? x ? y ? 2 . 当且仅当 x ? y ? 1 时等号成立.所以 x ? y 的最大 值为 2. 3、已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,求: (1) xy 的最小值;(2) x ? y 的最小值. 解:(1)由 2x+8y-xy=0,得 xy ? 2x ? 8 y ? 2 2x ? 8 y ? 8 xy ,得 xy≥64,当且仅当 x= 16,y=4 时,等号成立.所以 xy 的最小值为 64. 8 2 2x 8y (2)由 2x+8y-xy=0,得 + =1,则 x+y= ( 8 ? 2 )(x ? y) =10+ + x y y x x y ≥10+2 2 x 8 y ? 18 .当且仅当 x=12 且 y=6 时等号成立,∴x+y 的最小值为 18. y x 4、设 x ? ?1 ,则函数 y ? ( x ? 5)(x ? 2) 的最小值为____________. x ?1 解 析 : 因 为 x ? ?1 , 所 以 x ? 1 ? 0 , 设 x ? 1 ? z ? 0 , 则 x ? z ? 1 , 所 以 y? ( z ? 4)( z ? 1) z 2 ? 5 z ? 4 ? ? z ? 4 ? 5 ? 2 z ? 4 ? 5 ? 9 ,当且仅当 z ? 2 ,即 x=1 时 z z z z 取等号.所以当 x=1 时,函数 y 有最小值 9. 5、设 a,b,c 均为正数,满足 a ? 2b ? 3c ? 0 ,则 b 的最小值是________. 2 ac 2 a+3c a +9c2+6ac 6ac+6ac b 解析:∵a-2b+3c=0,∴b= ,∴ = ≥ =3, 2 4ac 4ac ac 2 当且仅当 a=3c 时取“=”. 2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. x y 2 y 8x ? ? 2 16 ? 8 . 要 使 原 不 等 式 恒 成 立 , 只 需 解析:因为 x ? 0 , y ? 0 ,所以 x y 6、 已知 x ? 0 , y ? 0 ,若 m 2 ? 2m ? 8 ,解得 ? 4 ? m ? 2 .所以实数 m 的取值范围是 (?4,2) . 7、已知对满足 x ? y ? 4 ? 2 xy 的任意正实数 x , y ,都有 x 2 ? 2xy ? y 2 ? ax ? ay ? 1 ? 0 , 则实数 a 的取值范围为. 解析: x 2 ? 2 xy ? y 2 ? ax ? ay ? 1 ? 0 ? a ? ( x ? y) ? 而 x ? y ? 4 ? 2 xy ? 2( 1 , x? y x?

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