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高中数学第一章导数及其应用1-6微积分基本定理学案含解析新人教A版选修2_2

高中数学第一章导数及其应用 1-6 微积分基本定理学案含解 析新人教 A 版选修 2_2

微积分基本定理
已知函数 f(x)=2x+1,F(x)=x2+x.

问题 1:f(x) 和 F′(x)有何关系?

提示:F′(x)=f(x).

问题 2:利用定积分的几何意义求 (2x+1)dx 的值.

提示: (2x+1)dx=6.

问题 3:求 F(2)-F(0)的值.

提示:F(2)-F(0)=6-0=6.

问题 4:(2x+1)dx 与 F(2)-F(0)有什么关系?

提示:f(x)dx=F(2)-F(0).

1.微积分基本定理

内容 如果 f(x)是区间上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么??baf(x)dx=F(b)-F(a)

符号

b
??baf(x)dx=F(x) =F(b)-F(a) a

2.定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S

下.则

(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图①,则 f(x)dx=S 上.

(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图②,则=-S 下.

1 / 12

(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图③,

则 f(x)dx=S 上-S 下;若 S 上=S 下,则=0.

(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系,揭示了被积函数

与函数的导函数之间的互逆运算关系,为计算定积分提供了一个简单

有效的方法——转化为计算函数 F(x)在积分区间上的增量.

(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足 F′(x)=f(x)的

函数 F(x),再计算 F(b)-F(a).

(3)利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简被积函数,再求

定积分.

求下列定积分:

求简单函数的定积分

(1)(x2+2x+3)dx;

(2) (cos x-ex)dx;

?
(3)sin2dx. ? 2
0
(1) (x2+2x+3)dx

=x2dx+2xdx+3dx

222
=+x2+3x=.
111
(2) (cos x-ex)dx=cos xdx-exdx

00
=sin x-ex=-1.
-? -?
(3)sin2=,

而′=-cos x,

2 / 12

??
∴sin2dx=dx ? 2 ? 2
00

?
==-=. 2
0

由微积分基本定理求定积分的步骤

当被积函数为两个函数的乘积时,一般要转化为和的形式,便于

求得函数 F(x),再计算定积分,具体步骤如下.

第一步:求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x);

第二步:计算函数的增量 F(b)-F(a).

计算下列定积分:

(1)dx;

(2)(1+)dx;

(3)∫-(sin x+2x)dx.

解:(1)因为(ex+ln x)′=ex+,

所以 dx=(ex+ln x)=e2+ln 2-e.

(2)因为(1+)=x+,′=x+,

所以(1+)dx=(x+)dx==.

(3)法一:因为(-cos x+x2)′=sin x+2x,

所以∫-(sin x+2x)dx=(-cos x+x2)-=0.

法二:令 f(x)=sin x+2x,因为函数 f(x)=sin x+2x 为奇函数,

所以 f(x)=sin x+2x 的图象关于原点对称,即曲线 y=f(x)位于 x 轴

上方的图形面积与位于 x 轴下方的图形面积相等,故由定积分的几何

意义可得,所求定积分为 0.

3 / 12

已知 f(x)=计算 f(x)dx.

求分段函数的定积分

?

?

f(x)dx=

f(x)dx+f(x)dx=

(4x-2π )dx+cos

xdx. ? 2

?
??

?2

0 20

?
??
2
取 F1(x)=2x2-2π x,则 F1′(x)=4x-2π ;
取 F2(x)=sin x,则 F2′(x)=cos x.

?

所以

(4x-2π )dx+cos

xdx ? 2

?
??

02

?
=(2x2-2π x) +sin x=-π 2-1, 2 ? ? 02

即 f(x)dx=-π 2-1.

分段函数的定积分的求法

(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同,所以被积函数是分段

函数时,常常利用定积分的性质,转化为各区间上定积分的和计算.

(2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函

数的定积分再计算.

计算定积分-4|x+3|dx.

解:因为 f(x)=|x+3|=???-x-3,x<-3,
??x+3,x≥-3,
所以|x+3|dx=(-x-3)dx+(x+3)dx

=+=5.

利用定积分求参数

4 / 12

设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若 f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1, 求 x0 的值.
因为 f(x)=ax2+c(a≠0),且′=ax2+c,
1
所以 f(x)dx=(ax2+c)dx==+c=ax+c,
0
解得 x0=或 x0=-(舍去). 即 x0 的值为.
利用定积分求参数应注意的问题 利用定积分求参数时,注意方程思想的应用.一般地,首先要弄 清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时,必须分清常数 和变量,再进行计算,其次要注意积分下限小于积分上限. 已知 f(x)是二次函数,其图象过点(1,0),且 f′(0)=2,f(x)dx =0,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∴a+b+c=0.① ∵f′(x)=2ax+b, ∴f′(0)=b=2.② ??10f(x)dx=(ax2+bx+c)dx =???13ax3+12bx2+cx???10 =a+b+c=0.③
5 / 12

?? 3 a=-2,
? 由①②③得 b=2, ??c=-12,
∴f(x)=-x2+2x-. 计算(2t+3)dx=________. (2t+3)dx=(2t+3)x=(2t+3)×2-(2t+3)×1=2t+3. 2t+3
1.本题的积分变量为 x,解决本题易错误地把 t 当作积分变量, 从而造成结论错误.
2.求定积分是对函数的积分变量而言的,在同一个题目中要注意 区分“参数”及“变量”.高考对定积分运算的考查主要有以下几类:
(1)利用微积分基本定理求定积分: 例:(湖南高考)(x-1)dx=________. 解析:(x-1)dx==×22-2=0. 答案:0
(2)利用定积分的几何意义求定积分: 例: dx=________. 解析:由定积分的几何意义,知 dx 就是由曲线 y=,x=0,x=1, y=0 围成的图形的面积.因为 y=等价于 x2+y2=1(y≥0),所以上述 曲线围成的图形是以原点为圆心,1 为半径的四分之一圆,面积为,所 以 dx=. 答案:π4
6 / 12

(3)利用转化法求定积分.

?
例:cos2dx=________. ? 2
0

???
解析:cos2dx=dx=dx+ ? 2 ? 2 ? 2
000

?

??

?1 2
2

cos

xdx=x+sin

x=+.

2

2

0

00

答案:+12

(4)利用函数性质求定积分.

1 2
例:lgdx=________. ? -1 2
解析:记 f(x)=lg,易知定义域为(-1,1),因为 f(-x)=lg=

1 2
lg-1=-f(x),所以 f(x)为奇函数,故 lgdx=0. ? -1 2
答案:0

1.下列值等于 1 的是( )

1.下列值等于 1 的是( )

A.xdx

B.(x+1)dx

C.1dx

D.dx

解析:选 C 选项 A,因为′=x,所以 xdx==;选项 B,因为′

=x+1,所以(x+1)dx==;选项 C,因为 x′=1,所以 1dx=x=1;

111

000

7 / 12

1
选项 D,因为′=,所以 dx=x=.
0

2. (sin x+cos x)dx 的值是(

? 2
)? -? 2

A.0

B.π4

C.2

D.4

解析:选 C (sin x+cos x)dx=sin xdx+cos xdx=(-cos x)

?

?

???

2

2

222

+sin x=2. ? ? ?

-? -? -? -? -?

2

2

222

3.计算 x2dx=________.

解析:由于′=x2,所以 x2dx=x3=.

答案:13

4.已知 2≤(kx+1)dx≤4,则实数 k 的取值范围为________.

解析:(kx+1)dx==(2k+2)-=k+1,所以 2≤k+1≤4,解得

≤k≤2.

答案:???23,2??? 5.计算下列定积分.

(1)dx;

(2)2dx.

解:(1)∵′=2x2-,

∴dx=???23x3-ln x???21

8 / 12

=-???23×13-ln 1??? =-ln 2.

(2)∵2=x++2,

且′=x++2,

∴2dx=???x22+ln x+2x???32 =-???222+ln 2+4??? =+ln .

一、选择题

1.(x3+x2-30)dx 等于( )

A.56

B.28

C.14 D.536

解析:选 D (x3+x2-30)dx=x4+x3-30x=(44-24)+(43-23)

-30×(4-2)=.

2.-2dx 等于( )

A. B.54

C. D.281

解析:选 A -2dx=-2x2dx+-2dx=x3+=(x3-x-3)=-=.

3.设 f(x)=则 f(x)dx 等于( )

A. B.45

C. D.不存在

解析:选 C f(x)dx=x2dx+(2-x)dx

9 / 12

=x3+???2x-12x2???21 =+=.

4.计算(1+)dx 的结果为( )

A.1 B.π4

C.1+ D.1+π2

解析:选 C ∵dx=,

∴(1+)dx=1dx+dx=1+.

5.(江西高考)若 f(x)=x2+2f(x)dx,则( )

A.-1 B.-13

C. D.1

解析:选 B ∵f(x)=x2+2f(x)dx,

∴f(x)dx==+2??01



∴f(x)dx=-.

二、填空题

6.若(2x-3x2)dx=0,则 k=________.

解析:(2x-3x2)dx=(x2-x3)=k2-k3=0,

解得 k=0(舍去)或 k=1.

答案:1

7.计算定积分-1(x2+sin x)dx=________.

解析:-1(x2+sin x)dx==.

答案:23

10 / 12

8.设 f(x)=?????xl+g ??x,0a3t2xd>t,0,x≤0, 若 f(f(1))=1,则 a=________. 解析:显然 f(1)=lg 1=0,f(0)=0+3t2dt=t3=a3,得 a3=1, a=1. 答案:1 三、解答题 9.计算下列定积分. (1)∫0(sin x-sin 2x)dx; (2)-3(|2x+3|+|3-2x|)dx. 解:(1)∵′=sin x-sin 2x, ∴∫0(sin x-sin 2x)dx =0 =-???-cos 0+21cos 0??? =--+1-=-.
3
?-4x, x≤-2, ?? (2)∵|2x+3|+|3-2x|= 6, -32<x<32,
??4x, x≥32,
∴-3(|2x+3|+|3-2x|)dx =∫--3(-4x)dx+∫-6dx+4xdx =-2x2--3+6x-+2x2332
11 / 12

=(-2)×2-(-2)×(-3)2+6×-6×+2×32-2×2=45. 10.已知 f(x)=-a(12t+4a)dt,F(a)=dx,求函数 F(a)的最小 值. 解:因为 f(x)=-a(12t+4a)dt=(6t2+4at)x-a =6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2, F(a)=dx=(6x2+4ax+a2)dx =(2x3+2ax2+a2x)=2+2a+a2 =a2+2a+2=(a+1)2+1≥1, 所以当 a=-1 时,F(a)的最小值为 1.
12 / 12


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