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版高中数学第一章集合与函数概念习题课函数的概念与性质学案新人教A版必修1(数学教案)

习题课 解决相关问题(重点、难点). 函数的概念与性质 学习目标 1.进一步理解函数的概念及其表示方法(重点).2.能够综合应用函数的性质 1.若函数 y=x -3x 的定义域为{-1,0,2,3},则其值域为( A.{-2,0,4} ? 9? C.?y|y≤- ? 4? ? 2 ) B.{-2,0,2,4} D.{y|0≤y≤3} 解析 依题意,当 x=-1 时,y=4;当 x=0 时,y=0;当 x=2 时,y=-2;当 x=3 时,y=0.所以函数 y=x -3x 的值域为{-2,0,4}. 答案 A 2.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( A.y= 1 ) 2 x2 x 1 B.y= x C.y=x 2 D.y=x 3 1 3 2 解析 函数 y= 与 y=x 都是奇函数,y=x 在(0,+∞)上是增函数,故选 A. 答案 A 3.若函数 f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调递减,则( A.f(3)+f(4)>0 C.f(-2)+f(-5)<0 B.f(-3)+f(-2)<0 D.f(4)-f(-1)>0 ) 解析 因为 f(x)是偶函数,所以 f(4)=f(-4),又 f(x)在[-6,0]上单调递减,所以 f(-4)>f(-1),即 f(4)-f(-1)>0. 答案 D 4 .设 f(x) 是定义在 R 上的函数,且 f(x + 2) = f(x) ,当 x ∈ [ - 1,1) 时, f(x) = ? ?-4x +2,-1≤x<0, ? ?x,0≤x<1, ? 2 ?3? 则 f? ?=________. ?2? ?3? ? 1 ? ? 1? ? 1?2 解析 f? ?=f?- +2?=f?- ?=-4×?- ? +2=1. ?2? ? 2 ? ? 2? ? 2? 答案 1 类型一 求函数的定义域和解析式 【例 1】 (1)函数 f(x)= x+2+ 1 x-1 的定义域为________. ?2 ? 2 (2)已知 f? +1?=x +2x-3,则 f(x)=________. ?x ? 1 解析 (1)由? ?x+2≥0, ? ?x-1≠0, ? 解得 x≥-2 且 x≠1,故 f(x)的定义域为{x|x≥-2 且 x≠1}. 2 2 4 (2)令 t= +1(t≠1), 则 x= , 所以 f(t)= x t-1 t- + 4 2 + 4 t-1 -3, 即 f(x)= 4 x- 2 x-1 -3(x≠1). 4 x- + 4 -3(x≠1) x-1 答案 (1){x|x≥-2 且 x≠1} (2) 规律方法 1.求函数的定义域的方法 2 求已知函数的定义域时要根据函数的解析式构建不等式(组),然后解不等式(组)可得, 同时注意把定义域写成集合的形式. 2.求函数解析式的方法有: (1)待定系数法;(2)换元法;(3)配凑法;(4)消去法. 【训练 1】 (1)函数 f(x)=(x-1) + 0 2 的定义域为________. x+ 1 (2)已知 f(x)是二次函数, 且 f(1-x)=f(1+x), f(2)=1, f(1)=3, 则 f(x)=________. x-1≠0, ? ? 解析 (1)由? 2 ≥0, ? ?x+1 得 x>-1 且 x≠1, 故 f(x)的定义域为{x|x>-1 且 x≠1}. (2)由 f(1-x)=f(1+x)且 f(1)=3,可设 f(x)=a(x-1) +3(a≠0),又 f(2)=a(2- 1) +3=1,故 a=-2,所以 f(x)=-2x +4x+1. 答案 (1){x|x>-1 且 x≠1} (2)-2x +4x+1 类型二 函数的单调性与最值 【例 2】 已知 f(x)= 2 2 2 2 ax 2 x -1 (a≠0),x∈(-1,1). (1)讨论 f(x)的单调性; ? 1 1? (2)若 a=1,求 f(x)在?- , ?上的最大值和最小值. ? 2 2? 解 (1)设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)= ax1 ax2 - 2 x2 - 1 x 1 2-1 , 2 ax1x2 a x2-x1 2-ax1-ax2x1+ax2 = = x2 x2 x2 1- 2- 1- x1x2+ x2 2- ∵-1<x1<x2<1, ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1-1)(x2-1)>0, ∴当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),f(x)在(-1,1)上是减函数; 2 2 2 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),f(x)在(-1,1)上是增函数. (2)当 a=1 时,f(x)= ? 1 1? ,由(1)知 f(x)在?- , ?上是减函数, x -1 ? 2 2? x 2 2 ? 1? 2 ?1? 故 f(x)的最大值为 f?- ?= ,最小值为 f? ?=- . 3 ? 2? 3 ?2? 规律方法 函数单调性的证明及应用 (1)利用定义法证明函数单调性的步骤为:取值、作差或作商、变形、定号、下结论, 如本例中若含有字母,则一般需分类讨论. (2)利用函数单调性求最值的步骤:①确定函数的单调性;②借助最值与单调性的关系 写出函数的最值. 【训练 2】 若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= 值范围是( ) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1] 2 2 a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取 x+1 A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) 解析 由 f(x)=-x +2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]? [a,+∞),∴a≤1. ∵y= 1 x+1 在(-1,+∞)上为减函数, ∴由 g(x)= 故 0<a≤1. 答案 D

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