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中考试题分类——解直角三角形(典型)


解直角三角形练习

1.(2009 浙江 5 题) 为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示 的数据(单位:米),则该坡道倾斜角 α 的正切值是 A. C.

20

1 4
1 17

B.4 D.
4 17
5

m

m
5

m

α
(第 5 题)

,AC ? 6,BC ? 8, ⊙O 为 2. (2009 四川乐山 10)如图(5) ,在 Rt△ ABC 中,?C ? 90° △ ABC 的内切圆,点 D 是斜边 AB 的中点,则 tan ?ODA ? C ( )
A.

3 2

B.

3 3

C. 3

D.2 B D

O A

图(5) 3. (2009 安徽 13).长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角,作业时调整为 60°角(如图 所示) ,则梯子的顶端沿墙面升高了 m.

第 13 题图

4.(2009 长春 20 ) .如图,两条笔直的公路 AB、CD 相交于点 O,∠AOC 为 36°.指挥中 心 M 设在 OA 路段上, 与 O 地的距离为 18 千米.一次行动中, 王警官带队从 O 地出发, 沿 OC 方向行进.王警官与指挥中心均配有对讲机,两部对讲机只能在 10 千米之内进行 通话.通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话. 【参考数据:sin36°=0.59,cos36°=0.81,tan36°=0.73.】

5.(2009 广东 15)如图所示,A、B 两城市相距 100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速 公路 (即线段 AB) , 经测量, 森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45° 的方向上.已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心,50km 为半径的圆形区域内.请问计划修

筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么?(参考数据: 3 ? 1.732 , 2 ? 1.414)
P E F

30° A 第15题图

45° B

6.(2009 天津 23)在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧 A,B 两个凉 亭之间的距离.现测得 AC ? 30 m, BC ? 70 m, ?CAB ? 120° ,请计算 A,B 两个凉亭 之间的距离. C

A

B

7. (2009 山西太原 23)有一水库大坝的横截面是梯形 ABCD , AD ∥ BC,EF 为水库的 水面, 点 E 在 DC 上, 某课题小组在老师的带领下想测量水的深度, 他们测得背水坡 AB ,?ADC ? 120° , 的长为 12 米,迎水坡上 DE 的长为 2 米, ?BAD ? 135° 求水深. (精 确到 0.1 米, 2 ? 1.41,3 ? 1.73 ) A D E F 水深 B (第 23 题) 8. (2009 福建 23) 如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于 C 处折断倒下,树顶落在地 面 B 处,测得 B 处与树的底端 A 相距 25 米,∠ABC=24° . (1)求大树折断倒下部分 BC 的长度; (精确到 1 米) (2)问大树在折断之前高多少米?(精确到 1 米) C

9. (2009 北京 19 题) 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠B= 90 ,∠C= 45 , AD=1,BC=4,E 为 AB 中点,EF∥DC 交 BC 于点 F,求 EF 的长.

?

?

10. (2009 北京 20)已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,AE 是角

平分线,BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点的⊙O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 恰为⊙O 的直径. (1)求证:AE 与⊙O 相切; (2)当 BC=4,cosC=

1 时,求⊙O 的半径. 3

11. (2009 天津 22)如图,已知 AB 为 ⊙O 的直径, PA,PC 是 ⊙O 的切线, A,C 为切 点, ?BAC ? 30° (Ⅰ)求 ? P 的大小; P (Ⅱ)若 AB ? 2 ,求 PA 的长(结果保留根号) . C A O

12. (2009 重庆市綦江县 24)如图,在矩形 ABCD 中, E 是 BC 边上的点, AE ? BC , DF ? AE ,垂足为 F ,连接 DE . (1)求证: △ ABE ≌△DFA ; A D (2)如果 AD ? 10,AB=6 ,求 sin ?EDF 的值. F E

B

C

友情提示: (1)河的两岸互相平行; (2)这是一个立体图形; (3)B、C、D 在同一平面内,A、B、 C 也在同一平面内; (4)AB⊥BC,BC⊥CD.

13. (2009 四川乐山 24)如图(14) ,某学习小组为了测量河对岸塔 AB 的高度,在塔底部 B A C . 点 的正对岸点 处,测得塔顶点 的仰角为 ?ACB ? 60° (1)若河宽 BC 是 36 米,求塔 AB 的高度; (结果精确到 0.1 米) (2) 若河宽 BC 的长度不易测量, 如何测量塔 AB 的高度呢?小强思考了一种方法: 从点 C 出发, 沿河岸前行 a 米至点 D 处, 若在点 D 处测出 ?BDC 的度数 ? , 这样就可以求出塔 AB 的高度了.

小强的方法可行吗?若行,请用 a 和 ? 表示塔 AB 的高度,若不能,请说明理由. A c

B c θ ca c

D c

C 图( c 14)

14. (2009 河南 20.)(如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m 的顶灯. 已知梯子由两个相同的矩形面组成, 每个矩形面的长都被六条踏板七等分, 使用时梯脚的固 定跨度为 1m.矩形面与地面所成的角α 为 78°.李师傅的身高为 l.78m,当他攀升到头顶距 天花板 0.05~0.20m 时,安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上,请你 通过计算判断他安装是否比较方便? (参考数据:sin78°≈0.98,cos78°≈0.21,tan78°≈4.70.)

15. ( 2009 包 头 22 ) . 如 图 , 线 段 AB、DC 分 别 表 示 甲 、 乙 两 建 筑 物 的 高 ,

AB ⊥ BC,DC ⊥ BC ,从 B 点测得 D 点的仰角 ? 为 60°从 A 点测得 D 点的仰角 ? 为
30°,已知甲建筑物高 AB ? 36 米. (1)求乙建筑物的高 DC ; (2)求甲、乙两建筑物之间的距离 BC (结果精确到 0.01 米) . (参考数据: 2 ≈1.414,3 ≈1.732 ) D A 甲
?
?



16. (2009 江苏 25) . 如图, 在航线 l 的两侧分别有观测点 A 和 B, 点 A 到航线 B l 的距离为 C 2km,

点 B 位于点 A 北偏东 60°方向且与 A 相距 10km 处.现有一艘轮船从位于点 B 南偏西 76° 方向的 C 处,正沿该航线自西向东航行,5min 后该轮船行至点 A 的正北方向的 D 处. (1)求观测点 B 到航线 l 的距离;

sin 76°≈ 0.97 , (2) 求该轮船航行的速度 (结果精确到 0.1km/h) . (参考数据: 3 ≈1.73 ,
cos 76°≈ 0.24 , tan 76°≈ 4.01 )
北 东 B 76° C D A E l

60°

答案

1.(2009 浙江 5)选:B 2. 选 D 3.(2009 安徽 13) .填空: 2 3 ? 2

?

?

第 13 题图

4.(2009 长春 20)解:过点 M 作 MH⊥OC 于点 H. 在 Rt△MOH 中,sin∠MOH=

MH . OM

∵OM=18,∠MOH=36°, ∴MH=18×sin36°=18×0.59=10.62>10. 即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话. 5.(2009 广东15) .解:过点 P 作 PQ⊥AB 于 Q,则有∠APQ=30°,∠BPQ=45° 设 PQ=x,则 PQ=BQ=x,AP=2AQ=2(100-x). P 在 Rt△APQ 中, E

AQ 3 100 ? x ∵tan∠APQ=tan30? = ,即 . ? PQ 3 x
A

F

30°

45° B 第15题图

∴ x ? 50(3 ? 3) 又∵ 50(3 ? 3) ? 63.4 >50,∴计划修筑的这条高速公路会穿越保护区

6. (2009 天津 23 题)解:如图,过 C 点作 CD 垂直于 AB 交 BA 的延长线于点 D 在 Rt△CDA 中, AC ? 30,?CAD ? 180° ? ?CAB ? 180? ? 120? ? 60?

? CD ? AC · sin ?CAD ? 30 · sin 60° ? 15 3 .
AD ? AC · cos ?CAD ? 30 · cos 60 ° =15. 又在 Rt△CDB 中,

? BC ? 70,BD2 ? BC 2 -CD2 ,

? BD ? 702 ? 15 3

?

?

2

? 65 .

? AB ? BD ? AD ? 65 ? 15 ? 50 , 答: A,B 两个凉亭之间的距离为 50m.

7. (2009 山西太原 23)解:分别过 A、D 作 AM ? BC 于 M ,DG ? BC 于 G. 过E 作 EH ? DG 于 H , AMGD 则四边形 为矩形.

? AD ∥ BC, ?BAD ? 135° ,?ADC ? 120° .
,?DCG ? 60° ,?GDC ? 30° . ∴ ?B ? 45°

H 水深 G

· sin B ? 12 ? 在 Rt△ ABM 中, AM ? AB
∴ DG ? 6 2.

2 ? 6 2. 2

· cos ?EDH ? 2 ? 在 Rt△DHE 中, DH ? DE

3 ? 3. 2

∴ HG ? DG ? DH ? 6 2 - 3 ≈ 6 ?1.41 ?1.73 ≈ 6.7. 答:水深约为 6.7 米.

8. (2009 福建 23) 解:如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB=90° ,∠ABC=24° ,AB=25 米 (1)∵cos∠ABC= ∴BC=

AB BC

AB 25 = ≈27(米) cos ?ABC cos 24 0

即大树折断倒下部分 BC 的长度约为 27 米.

(2)∵tan∠ABC=

AC AB

∴AC=AB· tan∠ABC=25·tan24°≈11.1(米) ∴BC+AC≈27+11.1≈38(米) 即大树折断之前高约为 38 米.

9. (2009 北京 19 题)19.解法一: 如图 1,过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G . ∵ AD ∥ BC,?B ? 90° , ∴ ?A ? 90° . 可得四边形 ABGD 为矩形. ∴ BG ? AD ? 1,AB ? DG . ∵ BC ? 4 , ∴ GC ? 3 . ,?C ? 45° , ∵ ?DGC ? 90° ∴ ?CDG ? 45°. ∴ DG ? GC ? 3 . ∴ AB ? 3 . 又∵ E 为 AB 中点,

A E B

D

G

F 图1

C

1 3 AB ? . 2 2 ∵ EF ∥ DC , ∴ ?EFB ? 45° . 在 △BEF 中, ?B ? 90° . BE 3 ? 2. ∴ EF ? sin 45° 2
∴ BE ? 解法二: 如图 2,延长 FE 交 DA 的延长线于点 G . ∵ AD ∥ BC,EF ∥ DC , ∴四边形 GFCD 为平行四边形, ?G ? ?1 . ∴ GD ? FC . ∵ EA ? EB,?2 ? ?3 , ∴ △GAE ≌△FBE . ∴ AG ? BF . ,BC ? 4 , ∵ AD ? 1 设 AG ? x ,则 BF ? x , CF ? 4 ? x,GD ? x ? 1 . ∴ x ?1 ? 4 ? x .

G

A 2 E B

D

3 1 F 图2 C

3 . 2 ? ?C ? 45° , ∴ ?1 ? 45° . 在 △BEF 中, ?B ? 90° ,
解得 x ?

∴ EF ?

BF 3 ? 2. cos 45° 2

10. (2009 北京 20 题) (1)证明:连结 OM ,则 OM ? OB . ∴ ?1 ? ? 2 . ∵ BM 平分 ?ABC . ∴ ?1 ? ?3 . ∴ ?2 ? ?3 . ∴ OM ∥ BC . ∴ ?AMO ? ?AEB . 在 △ ABC 中, AB ? AC , AE 是角平分线, ∴ AE ⊥ BC . ∴ ?AEB ? 90° . A ∴ ?AMO ? 90°. ∴ OM ⊥ AE . ∴ AE 与 ⊙O 相切. (2)解:在 △ ABC 中, AB ? AC , AE 是角平分线,

C M
2 1

E G
3

F

O

B

1 BC,?ABC ? ?C . 2 1 cos C ? , ∵ BC ? 4, 3 1 cos ?ABC ? . ∴ BE ? 1, 3 在 △ ABE 中, ?AEB ? 90° , BE ? 6. ∴ AB ? cos ?ABC 设 ⊙O 的半径为 r ,则 AO ? 6 ? r . ∵ OM ∥ BC , ∴ △ AOM ∽△ ABE . OM AO ? ∴ . BE AB r 6?r ∴ ? . 2 6 3 解得 r ? . 2 3 ∴ ⊙O 的半径为 . 2
∴ BE ?

11. 解(Ⅰ)? PA 是 ⊙O 的切线, AB 为 ⊙O 的直径,

? PA ⊥ AB . ??BAP ? 90° . ? ?BAC ? 30° , ??CAP ? 90° ? ?BAC ? 60°. 又? PA 、 PC 切 ⊙O 于点 A,C . ? PA ? PC . ?△ PAC 为等边三角形. ??P ? 60° .
(Ⅱ)如图,连接 BC , 则 ?ACB ? 90° . 在 Rt△ ACB 中, AB ? 2,?BAC ? 30° ,

P C A O B

? AC ? AB · cos ?BAC ? 2 cos 30°= 3 .
?△ PAC 为等边三角形, ? PA ? AC .

? PA ? 3 .
12. (2009 重庆市綦江县 24) (1)证明:在矩形 ABCD 中,

BC ? AD,AD ∥ BC,?B ? 90° ??DAF ? ?AEB ? DF ? AE,AE ? BC ??AFD ? 90° = ?B AE ? AD ?△ ABE ≌△DFA . (2)解:由(1)知 △ ABE ≌△DFA ? AB ? DF ? 6 在直角 △ ADF 中,

A

D

B

F E

C

AF ? AD2 ? DF 2 ? 102 ? 62 ? 8
? EF ? AE ? AF ? AD ? AF ? 2 在直角 △DFE 中,

DE ? DF 2 ? EF 2 ? 62 ? 22 ? 2 10
?sin ?EDF ? EF 2 10 . ? ? DE 2 10 10

,BC ? 36 米, 13. (2009 四川乐山 24)解: (1)在 △ ACB 中, AB ? BC,?ACB ? 60°

? AB ? BC · tan 60° ? 36 3.
取 3 ≈1.732,

? AB ≈ 36 ?1.732 ≈ 62.352 ≈ 62.4 (米)

A c

答:塔 AB 的高度约为 62.4 米. ? BC ? a tan ?. (2)在 △BCD 中, BC ? CD,?BDC ? ?,CD ? a, 在 Rt△ ABC 中, AB ? BC . · tan 60° ? 3a tan ? (米) 答:塔 AB 的高度约为 3a tan ? 米.

B c θ D ca C c 图 c c (14)

14. (2009 河南 20) .过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F. ∵AB=AC, ∴CE=

1 BC=0.5. 2 AE , EC
0

在 Rt△ABC 和 Rt△DFC 中, ∵tan78 =
0

∴AE=EC×tan78 ? 0.5×4.70=2.35.

又∵sinα =

AE DF = , AC DC

15. (2009 包头 22). 解: (1)过点 A 作 AE ⊥ CD 于点 E ,

,?DAE ? ?? ? 30°, 根据题意,得 ?DBC ? ?? ? 60°
AE ? BC,EC ? AB ? 36 米, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) 设 DE ? x ,则 DC ? DE ? EC ? x ? 36 , DE 在 Rt△ AED 中, tan ?DAE ? tan 30° ? , AE
A 甲
?
?

D E 乙

? AE ? 3x, ? BC ? AE ? 3x ,
在 Rt△DCB 中, tan ?DBC ? tan 60° ?

B

C

DC x ? 36 , ? 3? , BC 3x
(6 分) 北 东 B 76°

? 3x ? x ? 36,x ? 18, ? DC ? 54 (米) .

16.(2009 江苏 25) .解: (1)设 AB 与 l 交于点 O .

,AD ? 2,OA ? 在 Rt△ AOD 中, ?OAD ? 60°

AD C ? 4. cos 60°

D

60°

E

l

? OB ? AB ? OA ? 6 . 又 AB ? 10, A , ? BE ? OB? cos 60° ? 3 (km) 在 Rt△BOE 中, ?OBE ? ?OAD ? 60° . ? 观测点 B 到航线 l 的距离为 3km.

(2)在 Rt△ AOD 中, OD ? BE ? tan60? ? 2 3 . . 在 Rt△BOE 中, OE ? BE ? tan60? ? 3 3 .

? DE ? OD ? OE ? 5 3 .
在 Rt△CBE 中, ?CBE ? 76? , BE ? 3 , CE ? BE ? tan ?CBE ? 3 tan 76? .

?CD ? CE ? DE ? 3tan 76°? 5 3 ≈ 3.38 .
5 min ? 1 CD h ,? . ? 12CD ? 12 ? 3.38 ≈ 40.6 (km/h) 1 12 12

答:该轮船航行的速度约为 40.6km/h.



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