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(12)2017届高中数学一轮复习基础知识手册第十二编 数系的扩充与复数的引入


第十二编 数系的扩充与复数的引入 考纲要求 (1)理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. (2)了解复数的代数表示法及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向 量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示. (3)能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义. 知识能力解读 知能解读(一)复数的概念与几何意义 1 复数的概念 (1)复数的概念 ① 设 a , b 都 是 实 数 , 形 如 a ? bi 的 数 叫 做 复 数 , 复 数 通 常 用 小 写 字 母 z 表 示 , 即 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ,其中 a 叫做复数 z 的实部, b 叫做复数 z 的虚部, i 叫做虚数单位. ②对于复数 a ? bi ? a, b ? R ? ,当 b ? 0 时,它是实数; b ? 0 时,它叫做虚数.而当 b ? 0 且
a ? 0 时,它叫做纯虚数. ③全体复数所成的集合叫做复数集,通常用大写字母 C 表示,即 C ? ?z z ? a ? bi, a ? R, b ? R? .

显然,实数集 R 是复数集 C 的真子集,即 R ? C . 因此,复数 z ? a ? bi 可以这样分类: ? ?实数 ? b ? 0 ? , 复数z ? ? ?虚数 ? b ? 0 ? ? 纯虚数 ? a ? 0, b ? 0 ? . 数集之间的关系可用图表示:
虚数集 纯虚数集 复数集 实数集

(2)复数相等 ①复数相等的充要条件: a ? bi ? c ? di ? a ? c 且 b ? d ( i 为虚数单位 a, b, c, d 为实数). ②两个实数可以比较大小,但两个复数,如果不全是实数,那么就不能比较大小,只能 说相等或不相等. 2 复数的几何意义 (1)复平面 建立了直角坐标系数来表示复数的平面叫做复平面 .在复平面内 x 轴叫做实轴, y 轴叫 做虚轴. x 轴的单位是 1, y 轴的单位是 i . 显然,实轴上的点都表示实数;除原点意外,虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数与平面直角坐标系 每给一个复数,对应着平面直角坐标中唯一的一个点(或一个向量) ;反过来,平面直 角坐标系中每一个点(或每一个向量) ,也对应着唯一的一个有序实数对.这样我们通过有序 ??? ? 实数对可以建立复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 和点 Z ? a, b? (或向量 OZ )之间的一一对应的关系. 点 Z ? a, b ? 或向量 OZ 是复数 z 的几何表示(如图).
一一对应 一一对应 ? 复数z ? a ? bi ???? ? 复平面内的点 Z ? a, b ? . 平面向量 OZ ????

??? ?

??? ?

y b Z:a+bi

O

a

x

(3)复数的向量表示 ??? ? 我们知道,直角坐标平面内的任意一点 Z ? a, b ? 有唯一的向量 OZ 与之对应,而平面内的 点 Z ? a, b ? 与复数集中的复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 也是一一对应的.因此,一个复数确定唯一一 个以原点为起点的向量,根据向量相等的定义,也就是一个复数确定唯一一个平面向量,反 之,一个平面向量有唯一一个复数与之对应. ??? ? 向 量 OZ 的 模 r 叫 做 复 数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 的 模 , 记 作 z 或 a ? bi , 则
r ? z ? a ? bi ? a2 ? b2 ,显然 r ? 0, r ? R .

(4)共轭复数 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 显然,实数的共轭复数是它本身. 在复平面上,表示互为共轭复数的两个点关于实轴对称,而且它们的模相等. 知能解读(二)复数的运算 1 复数的加法 (1)复数的加法定义 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ? a, b, c, d ? R ? 是任意两个复数,规定复数的加法按照以下法则进 行: ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i . 在掌握这一法则时,注意以下几点: ①复数加法中的规定,是实部与实部相加,虚部与虚部相加,很明显,两个复数的和仍 然是一个复数.复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形. ②在这个规定重,当 b ? 0, d ? 0 时,与实数的加法法则一致. (2)复数的加法运算律 对任意复数 z1 , z2 , z3 ? C 满足以下运算律: ①交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 ; ②结合律: ? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? . ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? (3)复数加法的几何意义设, OZ1 , OZ 2 分别与复数 a ? bi, c ? di 对应,且 OZ1 , OZ 2 不共
??? ?

线 (如图所示) , 以 OZ1 , OZ 2 为邻边画平行四边形 OZ1 , ZZ 2 , 则其对角线 OZ 所表示的向量 OZ 就是复数 ? a ? c ? ? ? b ? d ? i 对应的向量.

y Z1 Z2 O Z

???? ? ???? ? 请注意当 OZ1 , OZ 2 共线时,我们可以画一个“压扁”了的平行四边形,并据此画出它的 ???? ? ???? ? 对角线来表示 OZ1 , OZ 2 的和.

2 复数的减法 (1)复数的减法法则 我们的规定两个复数的减法法则如下:

? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? bi ? ? ? ?c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i ,

即 ? a ? bi ? ? ? c ? bi ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i . 可见,两个复数的差也是复数. 总之,两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减). (2)复数减法的几何意义 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 复数减法是加法的逆运算, 设 OZ1 , OZ 2 分别与复数 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di 对应, 且 OZ1 , OZ 2 ???? ? ???? ? ????? ? 不共线(如图所示) ,则这两复数的差 z1 ? z2 与向量 OZ1 ? OZ 2 (等于 Z1Z2 )对应,着就是复 数减法的几何意义.
y Z1 Z2 O x

3 复数的乘法 (1)复数的乘法定义 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di, a, b, c, d ? R ,定义: z1 z2 ? ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i . (2)复数的乘法法则 复数的乘法可以按照多项式乘法的方式运算. (3)复数的乘法运算律 对任意复数 z1 , z 2 , z 3 ? C ,满足以下运算律:①交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 ;②结合律:
z2 ? z3 ? ;③乘法对加法的分配律: z1 ? z2 ? z3 ? ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 .

? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ??

(4)共轭复数的积的特点 设 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ,则 z ? a ? bi ,那么
z ? z ? ? a ? bi ?? a ? bi ? ? a 2 ? b 2 ? z ? z ,即 z ? z ? z ? z .
2 2 2 2

两个共轭复数 z , z 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方. (5)虚数单位 i 的乘方 计算复数的乘积要用到虚数单位 i 的乘法, i n 有如下性质: i n ? i,i 2 ? ?1,i3 ? ?i,i 4 ? 1,i5 ? i,i6 ? ?1, ??? . 从而对于任意 n ? ?? ,都有: i 4 n ?1 ? i,i 4 n ? 2 ? 1,i 4n ? 3 ? ?i,i 4n ? 1 . 4 复数的除法 (1)复数的除法法则 a ? bi 1 ? ? a ? bi ? ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? c ? di c ? di c ? di ? ac ? bd ? ? ?bc ? ac ? i ? ? a ? bi ? 2 ? c ? d2 c2 ? d 2 ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. ? c ? di ? 0? c ? d 2 c2 ? d 2 (2)共轭复数的性质(设 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ,则 z ? a ? bi ). ① z ? z ;② z ? z ? z ? z ; ③ z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi ;④ z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; ⑤ z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;⑥ z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;
?z ? z ⑦ ? 1 ? ? 1 ? z2 ? 0 ? ; ? z2 ? z2 ⑧ z ? z ? z ? R, z ? ? z ? z ? 0? ? z 为纯虚数.
2 2

解题方法荟萃

Ⅰ数学思想方法 思想方法(一)数学结合思想 点评 (1)在复平面内,可用点或向量表示一个复数; (2)复数的加法、减法可以按向量的 平行四边形(或三角形)法则进行运算. 思想方法(二)方法思想 思想方法(三)代入法 点评 在某些复数运算中, 应充分利用模为 1 的复数的特点, 使思路更加清晰, 运算更加简捷. Ⅱ.解题规律技巧 规律技巧(一)用复数的相等求复数的平方根 点评 本题给出了求复数平方根的一般解法,要注意体会和掌握.另外,平方根一定有两个, 不要漏解.
1 3 规律技巧(二)利用 i 和 ? ? ? ? i 的性质化简计算 2 2

在复数运算中,请记住如下结论: ( 1 ) ?1 ? i ? ? ?2i ; (2)
2

1? i 1? i ( 3 )当 ? i, ? ?i ; 1? i 1? i

??? ?

3 1 ? n i 时 , ? ? 2 ,? 3 ? ?1 , n ? ? , ? ? 1 ? n?? n? 2 ? 2 in ? in?1 ? in?2 ? im?3 ? 0 ? n ? ?? ? 等,这些结论能帮助我们快速运算.

1 2

?

? ( ? 4 ? 0; ?

) ?

点评 (1)中的解法 2 及(2)通过对表达式结构特征的分析,灵活运用 ? 的性质,有效地简 化了了运算,提高了做题速度,要注意掌握. 点评 本题若按复数的四则运算法则直接计算,会显得十分繁琐,应结合题目特点,想方设法
1 3 2 将它转化成 i,1 ? i, ? ? 即充分利用 i 的幂的周期性, i 的乘方进行计算, ?1 ? i ? ? ?2i 和 ? 的 2 2 性质灵活计算,复数的运算一定要善于运用变形技巧,简化运算过程. Ⅲ.易混易错辨析 易混易错(一)忽视实数与复数的差异而致误 易混易错(二)忽视判别式适用的条件而致误 高考命题研究 从近几年的高考试题看, 复数的概念及其代数形式的运算称为命题的热点, 通常分两种 题型:选择题和填空题.一是考查复数的概念,如纯虚数,两复数相等等;二是考查复数代 数形式的四则运算;三是考查复数的模及其几何意义. 高考热点(一)复数的四则运算 依据复数四则运算法则,将代数形式的复数进行四则运算,考查了运算求解能力. 点评 知识:复数的乘法运算及共轭复数的概念.能力:通过求 z 考查运算求解能力,通过求 z 考查对共轭复数概念的理解能力.试题难度:易. 点评 知识:复数的模,复数的乘法.能力:通过对 ? a ? bi ?? a ? bi ? 的求解考查运算求解能力.试

题难度:易. 高考热点(二)复数的几何意义 高考热点(三)共轭复数问题 附录 常用公式定理 常用公式

?z ? z 2 (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 , z1 ? z2 ? z1 ? z2 , ? 1 ? ? 1 ? z2 ? 0 ? , z ? z ? z , z ? z . ? z 2 ? z2 (2) ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i ,

? a ? bi ? ? ? c ? d ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i , ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i ,
a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i ? c ? di ? 0? . c ? di c2 ? d 2 c2 ? d 2 (以上 a, b, c, d ? R )

(3) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 , z1 z2 ? z1 z2 ,

z z1 ? 1 . z2 z2


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