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辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三下学期期初数学试卷(文科)


辽宁省沈阳市铁路实验中学 2015 届高三下学期期初数学试卷 (文 科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x||x|<3},B={x|y= A. 2. (5 分)“a=1”是“复数 a ﹣1+(a+1)i(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)以下有关线性回归分析的说法不正确的是() A.通过小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心( , ) B. 用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使 C. 相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱 最小的 a,b 的值
2

},则集合 A∩B 为()

D.R =1﹣

2

越接近 1,表明回归的效果越好

4. (5 分)将一枚质地均匀的硬币连掷 4 次,出现“至少两次正面向上”的概率为() A. B. C. D.

5. (5 分)已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 为 ,则 S5 等于() A.35 B.33 C.31

,且 a4 与 a7 的等差中项

D.29

6. (5 分)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 解析式是() A.y=cos2x B.y=2cos x
2

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数

C.

D.y=2sin x?

2

7. (5 分)某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为()

A.3+3

B.8+3

C.6+6
2

D.8+6

8. (5 分)已知圆 M 过定点(2,0)且圆心 M 在抛物线 y =4x 上运动,若 y 轴截圆 M 所得的 弦长为 AB,则弦长|AB|等于() A.4 B. 3 C. 2 D.与点 M 位置有关的值 9. (5 分)当 a>0 时,函数 f(x)=(x ﹣2ax)e 的图象大致是()
2 x

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知椭圆

(a>b>0)与双曲线
2 2

(m>0,n>0)有相同的焦
2

点(﹣c,0)和(c,0) ,若 c 是 a、m 的等比中项,n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆的离 心率是()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分) 如图, 在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2, ∠DAB=60°, E 为 AB 的中点, 将△ ADE 与△ BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P﹣DCE 三棱锥的外接球的体 积为()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)已知函数 f(x)= x +(1﹣b)x ﹣a(b﹣3)x+b﹣2 的图象过原点,且在原点处
2 2

3

2

的切线斜率是﹣3,则不等式组

所确定的平面区域在 x +y =4 内的面积为()

A.

B.

C. π

D.2π

二.填空题(本小题满分 20 分) 13. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为.

14. (5 分) 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上, 若 AB=AC=AA1=2, ∠BAC=120°, 则此球的表面积等于.

15. (5 分) 平面上三个向量 的最大值是.





, 满足|

|=1, |

|=

, |

|=1,

?

=0, 则

?

16. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0,f(x)=e ﹣ax,若函数在 R 上有且仅有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是.

x

三.解答题(本小题满分 70 分) 17. (10 分)在△ ABC 中,AB= (1)求 sinA 的值; (2)求 的值.

18. (12 分)节日期间,高速公路车辆较多,某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按 进服务区的顺序,随机抽取第一辆汽车后,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾 驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段 三. 23. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C1 上的动点,P 点满足 (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 24.设函数 f(x)=|2x﹣7|+1. (1)求不等式 f(x)≤|x﹣1|的解集; (2)若存在 x 使不等式 f(x)≤ax 成立,求实数 a 的取值范围. 与 C1 的异于极点的交 =2 ,P 点的轨迹为曲线 C2 (α 为参数)M 是

辽宁省沈阳市铁路实验中学 2015 届高三下学期期初数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x||x|<3},B={x|y= },则集合 A∩B 为()

A. 考点: 专题: 分析: 解答: B={x|y= 交集及其运算. 集合. 利用交集的定义 和不等式的性质求解. 解:∵集合 A={x||x|<3}={x|﹣3<x<3}, }={x|x≥1},

∴集合 A∩B={x|1≤x<3}= 点评: 此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质, 灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和公式化简求值,是一道中档题.

6. (5 分)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 解析式是() A.y=cos2x B.y=2cos x
2

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数

C.

D.y=2sin x?

2

考点: 专题: 分析: 解答: 则 f(x+

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 计算题;三角函数的图像与性质. 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案. 解:令 y=f(x)=sin2x, )=sin2(x+ )=cos2x,
2

再将 f(x+

)的图象向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 y=cos2x+1=2cos x,

故选:B. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查升幂公式的应用,属于中档题. 7. (5 分)某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为()

A.3+3

B.8+3

C.6+6

D.8+6

考点: 由三视图求面积、体积.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中三视图可得该几何体为一个棱台,根据已知分析各个面的形状,求出面积 后,相加可得该几何体的表面积 解答: 解:由已知中三视图可得该几何体为一个棱台, 下底面为边长为 2 的正方形,面积为 4; 上底面为边长为 1 的正方形,面积为 1; 左侧面和后侧面是上底为 1,下底为 2,高为 1 的梯形,每个面的面积为 右侧面和前侧面是上底为 1,下底为 2,高为 故该几何体的表面积为 4+1+2× +2× =8+3 的梯形,每个面的面积为

故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图,求表面积,其中根据已知分析出几何体的形状及棱 长是解答的关键. 8. (5 分)已知圆 M 过定点(2,0)且圆心 M 在抛物线 y =4x 上运动,若 y 轴截圆 M 所得的 弦长为 AB,则弦长|AB|等于() A.4 B. 3 C. 2 D.与点 M 位置有关的值 考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线方程设出圆的圆心坐标,求出圆的半径,通过 x=0,可得关于 y 的一元二 次方程,结合韦达定理可知弦长. 解答: 解:设圆心坐标为( ,a) ,由于过定点(2,0) ,则其半径为
2



那么可知其圆的方程为 令 x=0,可得,y ﹣2ay+a ﹣4=0 2 由韦达定理可知:y1+y2=2a,y1y2=a ﹣4, 弦长为|AB|=|y1﹣y2|= = =4,
2 2



故选 A. 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与圆锥曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.属于中档题. 9. (5 分)当 a>0 时,函数 f(x)=(x ﹣2ax)e 的图象大致是()
2 x

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 用函数图象的取值,函数的零点,以及利用导数判断函数的图象. 解答: 解:解:由 f(x)=0,解得 x ﹣2ax=0,即 x=0 或 x=2a, ∵a>0,∴函数 f(x)有两个零点,∴A,C 不正确. 设 a=1,则 f(x)=(x ﹣2x)e , 2 x ∴f'(x)=(x ﹣2)e , 2 x 由 f'(x)=(x ﹣2)e >0,解得 x> 或 x<﹣ . 2 x 由 f'(x)=(x ﹣2)e <0,解得,﹣ <x< 即 x=﹣ 是函数的一个极大值点, ∴D 不成立,排除 D. 故选 B. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,充分利用函数的性质,本题使用特殊值法是 判断的关键,本题的难度比较大,综合性较强.
2 x 2

10. (5 分)已知椭圆

(a>b>0)与双曲线
2 2

(m>0,n>0)有相同的焦
2

点(﹣c,0)和(c,0) ,若 c 是 a、m 的等比中项,n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭 圆的离 心率是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质;等差数列的性质;等比数列的性质;圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 根据是 a、m 的等比中项可得 c =am,根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得 a ﹣ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b =m +n =c ,根据 n 是 2m 与 c 的等差中项可得 2n =2m +c ,联立方程即可求得 a 和 c 的 关系,进而求得离心率 e.

2

2

解答: 解:由题意:

∴ ∴ ∴ .

, ,∴a =4c ,
2 2

故选 D. 点评: 本题主要考查了椭圆的性质,属基础题. 11. (5 分) 如图, 在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2, ∠DAB=60°, E 为 AB 的中点, 将△ ADE 与△ BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P﹣DCE 三棱锥的外接球的体 积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

球内接多面体;球的体积和表面积. 计算题;综合题;压轴题. 判定三棱锥的形状,然后求出它的外接球的半径,再求体积. 解:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为 1, ,外接球的体积为 ,

故外接球半径为

故选 C. 点评: 本题考查球的内接多面体,球的体积等知识,考查逻辑思维能力,是中档题.
3 2

12. (5 分)已知函数 f(x)= x +(1﹣b)x ﹣a(b﹣3)x+b﹣2 的图象过原点,且在原点处
2 2

的切线斜率是﹣3,则不等式组

所确定的平面区域在 x +y =4 内的面积为()

A.

B.

C. π

D.2π

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;导数的几何意义. 专题: 导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 根据条件求出 a,b 的值以及函数 f(x)的表达式,结合二元一次不等式(组)与平 面区域的关系画出其表示的平面区域, 再利用圆的方程画出图形, 最后利用扇形面积公式计算 即可. 解答: 解:因为函数 f(x)的图象过原点,所以 f(0)=0,即 b=2. 则 f(x)= x ﹣x +ax, 函数的导数 f′(x)=x ﹣2x+a, 因为原点处的切线斜率是﹣3, 即 f′(0)=﹣3, 所以 f′(0)=a=﹣3, 故 a=﹣3,b=2, 所以不等式组 为
2 3 2

则不等式组

确定的平面区域在圆 x +y =4 内的面积,

2

2

如图阴影部分表示, 所以圆内的阴影部分扇形即为所求. ∵kOB=﹣ ,kOA= ,

∴tan∠BOA=

=1,

∴∠BOA=

, ,扇形的面积是圆的面积的八分之一, ,

∴扇形的圆心角为
2 2

∴圆 x +y =4 在区域 D 内的面积为 ×4×π= 故选:B

点评: 本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数 a,b 的是值, 然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键. 二.填空题(本小题满分 20 分)

13. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为



考点: 程序框图. 专题: 阅读型;图表型. 分析: 框图首先给变量 S,p,i 赋值,然后判断判断框中的条件是否满足,满足条件,执行 ,i=i+1,p=p?i,再判断,在执行,当不满足条件时跳出循环,算法结束,输出 S 的值. 解答: 解:首先给变量 S,p,i 赋值 0,1,1. 判断 1≤100 满足,执行 判断 2≤100 满足,执行 判断 6≤100 满足,执行 判断 24≤100 满足,执行 ,i=1+1=2,p=1×2=2; ,i=2+1=3,p=2×3=6; ,i=3+1=4,p=6×4=24; ,i=4+1=5,p=24×5=120; .

判断 120≤100 不满足,算法结束,跳出循环,输出 S 的值为 故答案为 .

点评: 本题考查了程序框图,考查了当型结构,当型结构是先判断后执行,满足条件执行 循环,不满足条件,算法结束,是基础题. 14. (5 分) 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上, 若 AB=AC=AA1=2, ∠BAC=120°, 则此球的表面积等于 20π. 考点: 球内接多面体. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 通过已知体积求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为 O',球心为 O,在 RT△ OBO' 中,求出球的半径,然后求出球的表面积. 解答: 解:在△ ABC 中 AB=AC=2,∠BAC=120°, 可得 由正弦定理,可得△ ABC 外接圆半径 r=2, 设此圆圆心为 O',球心为 O,在 RT△ OBO'中, 易得球半径 , 2 故此球的表面积为 4πR =20π 故答案为:20π

点评: 本题是基础题,解题思路是:先求底面外接圆的半径,转化为直角三角形,求出球 的半径,这是三棱柱外接球的常用方法;本题考查空间想象能力,计算能力.

15. (5 分) 平面上三个向量 的最大值是 3.





, 满足|

|=1, |

|=

, |

|=1,

?

=0, 则

?

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于满足| |=1,| |= ,| |=1, ? =0,建立如图所示的直角坐标系,可得

A(1 ,0) ,B(0, ) ,可设 C(cosθ,sinθ) ,θ∈ ∵函数 f(x)在 R 上有且仅有 4 个零点, ∴f(x)在 x>0 上有且只有 2 个零点, x ∵当 x≥0 时,f(x)=e ﹣ax, x 导数 f′(x)=e ﹣a, 当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立, f(x) 在 x≥0 上单调增,不可能有两个零点, 当 a>0 时,可得 f(x)的增区间为(lna,+∞) ,减区间为(﹣∞,lna) , 则 f(lna)为极小值,令 f(lna)<0, lna 即 e ﹣alna<0,即 a<alna,lna>1, 解得,a>e, 故 a 的取值范围是(e,+∞) . 故答案为: (e,+∞) .

点评: 本题主要考查函数的奇偶性及应用,考查函数的零点的概念和个数的判断,考查运 用导数求函数的极值,弄清极值与 0 的关系,是解题的关键. 三.解答题(本小题满分 70 分) 17. (10 分)在△ ABC 中,AB= (1)求 sinA 的值; (2)求 的值.

考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由 cosC= ,0<C<π,先求出 sinC 的值,由正弦定理知: 得:sinA= . 从而解

(2)由余弦定理知:cosC= = 从而可求得 =| |?|

=

,解得:AC=2 或﹣ (舍去) ,

|?cosC=1×2× = .

解答: 解: (1)∵cosC= ,0<C<π, ∴sinC= ∴由正弦定理知: = = , ,从而解得:sinA= .

,即有

(2)由余弦定理知:cosC= = 从而解得:AC=2 或﹣ (舍去) ∴ =| |?| |?cosC=1×2× = .

=

点评: 本题主要考察了平面向量数量积的运算,正弦定理、余弦定理的应用,属于基本知 识的考查. 18. (12 分)节日期间,高速公路车辆较多,某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按 进服务区的顺序,随机抽取第一辆汽车后,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾 驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段 23. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C1 上的动点,P 点满足 =2 ,P 点的轨迹为曲线 C2 (α 为参数)M 是

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 考点: 简单曲线的极坐标方程;轨迹方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I) 先设出点 P 的坐标, 然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1 的方程即可求出曲线 C2 的方程; (II) 根据 (I) 将求出曲线 C1 的极坐标方程, 分别求出射线 θ= 以及射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1, 与 C1 的异于极点的交

与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2,最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求.

解答: 解: (I)设 P(x,y) ,则由条件知 M( , ) .由于 M 点在 C1 上,

所以



从而 C2 的参数方程为 (α 为参数) (Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. 射线 θ= 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin , .

所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= . 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于 中档题. 24.设函数 f(x)=|2x﹣7|+1. (1)求不等式 f(x)≤|x﹣1|的解集; (2)若存在 x 使不等式 f(x)≤ax 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)原不等式等价于|2x﹣7|+1≤|x﹣1|,分类讨论,求得它的解集. (Ⅱ) 由函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象可知,当且仅当 a≥ ,或 a<﹣2 时,函数 y=f(x) 与函数 y=ax 的图象有交点,从而得到实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)原不等式等价于|2x﹣7|+1≤|x﹣1|, 当 x<1 时,﹣( 2x﹣7)+1≤﹣(x﹣1) ,解得 x≥7,∴x 不存在;

当 1≤x≤ 时,﹣(2x﹣7)+1≤x+1,解得 x≥3,∴3≤x≤ ; 当 x> 时,2x﹣7+1≤x﹣1,解得 x≤5,∴ <x≤5. 综上,不等式的解集为. (Ⅱ) 由函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象可知, 当 且仅当 a≥ ,或 a<﹣2 时,函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象有交点, 故存在 x 使不等式 f(x)≤ax 成立时,a 的取值范围是(﹣∞﹣2)∪[ +∞) . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础 题.


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