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福建省福州市2013届高三上学期期末质检数学理试题 (Word版)


福建省福州市 2013 届高三上学期期末质量检查

数学(理)试题
(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 参考公式:

用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

? x y ? nx?y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a ? y ? bx

2 i

? nx

2

第Ⅰ (选择题共 50 分) 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案中有且只 有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. i 是虚数单位,复数 A.x+y -2 =0 C.x+y+1 =0

2?i 在复平面上的对应点所在直线的方程是 1? i
B.x-y+2 =0 D.x-y-1=0

2.如图设全集 U 为整数集,集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8}, B ? {0,1, 2}则下图中阴影部分表 示的集合的真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 3.在 2012 年第 30 届伦敦奥运会上,中国队教练想从 5 名女运动员中选出 3 名参加乒乓球 女子团体比赛,不同选法有 A.35 种 B.53 种
3 C. A5 种 3 D. C5 种

4.对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表: x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80
? ?

根据上表, 利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 y ? 10.5 x ? a , 据此模型来预测当 x= 20 时,y 的估计值为 A. 210 B.210.5 C.211.5 D.212.5

?1og 2 x, x ? 0 f ( x) ? x 5.函数 ??2 ? a, x ? 0 有且只有一个零点的充分不必要条件是

A. a ? 0

B. 0 ? a ?

1 2

C.

1 ? a ?1 2

D. a ? 0或a ? 1

6.若运行如右图所示的程序,则输出 S 的值是

2012 2011 2012 C. 2013
A.

2011 2012 2013 D. 2012
B.

7.已知函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

半个周期内的图象如图所示,则函数 f ( x ) 的解析式为 A. f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

)

B. f ( x) ? 2sin(2 x ? C. f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

)

?
6

)

D. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)

8.若函数 f ( x) ? a x?2 , g ( x) ? 1og | x | (a ? 0, a ? 1), 且 f (3) · g (?3) ? 0 则函数 f ( x ) 、

g ( x) 在同一坐标系内的大致图象是

9.设向量 a ,b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b) ·(a ? xb)( x ? R) 的图象不是直线,且 在 x=0 处取得最值,则必有 A. a ⊥ b C. a , b 苫不垂直且 | a | ? | b |

?

?

? ?

?

?

? ?

B. a ∥ b

? ?

?

?

???

???

D. a , b ,不垂直且 | a | ? | b |

?

?

???

???

10.能够把圆 O:x2 +y2= 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “和谐 函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是 A. f ( x) ? 4x ? x
3

B. f ( x) ? 1n
x

5? x 5? x
?x

C. f ( x) ? tan

x 2

D. f ( x) ? e ? e

第Ⅱ (非选择题共 100 分) 卷
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上。 )

11.设不等式组 ?

?0 ? x ? 1, 表示平面区域为 M,在区域 M 内随机取一个点(x,y) ,则此 ?0 ? y ? 1


点满足不等式 2 x ? y ? 1 ? 0 的概率是

12.已知双曲线 的离心率为
2

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合,则此双曲线 a2
。 .

a n 13.若 n ? (2 x ? 1)dx ,且 ( x ? ) 的展开式中 x2 的系数是 15,则 a 的值为 0 x

14.△ ABC 中,若 sinB 既是 sinA,smC 的等差中项,又是 sinA,sinC 的等比中项,则∠ 的大 B 小是____. 15.已知点 A( x1 , a x1 ) B( x2 , a x 2 ) 是函数 y ? a (a ? 1) 的图象上任意不同两点,依据图象可
x

知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论

x1 ? x2 a x1 ? a x2 ?a 2 成 2

立.运用类比思想方法可知,若点 A(x1,sinxl) 、B(x2,sinx2)是函数 y=sinx(z∈ (0, )的图象上的不同两点,则类似地有____成立. ?) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } a1 ? 1, 点(an , an?1 )在函数y ? 3x ? 2的图象上(n ? N * ). 中 (I)证明:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅱ )求数列 {an } 的前 n 项和. 17. (本小题满分 13 分) 2013 年将在沈阳举行第 12 届全运会,乒乓球比赛会产生男子个人、女子个人、男子团 体、女子团体共四枚金牌,保守估计,福建乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为 福建乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为

3 , 4

4 , 5

(I)记福建乒乓球男队获得金牌总数为 X,按此估计,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ )按此估计,求福建乒乓球女队比福建乒乓球男队多获得一枚金牌的概率,

18(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x ·cos ? x ? 2 3 cos 小正周期为 ? (I)求 ? 的值;
2

,且函数 f ( x ) 的最 ? x ? 3 (其中 ? >o)

(Ⅱ )将函数 y= f(x)的图象向右平移

? 单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩小为原 4 1 ? ? 来的 倍(纵坐标不变)得到函数 y=g(x)的图象.求函数 g(x)在 [? , ] 上的单 2 6 24

调区间. 19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

y 2 x2 3 ? 2 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点 2 a b 2

的距离为 2. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )已知直线 l : y ? kx ? 3 与椭圆 C 交于 A、B 两点,是否存在 k 使得以线段 AB 为 直径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 14 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC, 其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相 切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 若池边 AE 满足函数 y ? ? x2 ? 2(0 ? x ? 2 的图象,且点 M 到边 OA 距离为 t (

2 4 ?t ? ). 3 3 2 (I)当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (Ⅱ 当 t 为何值时, ) 地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大, 最大值是多少?
已知函数 f ( x) ? 1nx ?

21. (本小题满分 14 分)

b (b 为实数) x

(I)若 b= -1,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ )在定义域内的任何一个 x,若满足 M(x)≥N(x)恒成立,则称 M(x)是 N(x) 的一个 “上界函数”. (i)如果函数 f ( x ) 为 g(x)=-1nx 的一个“上界函数”,求 b 的取值范围; (i i)的若 b =0,函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x) 的图象关于直线 y=x 对称,求证:当

x ? (?2, ??) 时,函数 F(x)是函数 y ? f ( ? 1) ? ? 1 的—个“上界函数” 2 2

?

?


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