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《第一章常用逻辑用语》单元测试

《第一章常用逻辑用语》单元测试
一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 且a ? N ”是“ a ? (M A.充分不必要条件 C.充要条件

N ) ”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

2.下列四个命题中:①“等边三角形的三个内角均为 60 ”的逆命题; ②“若 k ? 0 ,则方程 x ? 2 x ? k ? 0 有实根”的逆否命题; ③“全等三角形的面积相等”的否命题; ④“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 ”的否命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

i s 3. “n

A?

1 ”是“ A ? 30? ”的( 2

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. 0 ? x ? 6

A.充分不必要条件 C.充要条件
2

4.命题“ 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 ”的一个必要不充分条件是( A. ?

1 ? x?3 2

B. ?3 ? x ? 3

C. ?

1 ?x?2 2

5.在下列结论中,正确的结论为( ) ①“ p ? q ”为真是“ p ? q ”为真的充分不必要条件; ②“ p ? q ”为假是“ p ? q ”为真的充分不必要条件; ③“ p ? q ”为真是“ ? p ”为假的必要不充分条件; ④“ ? p ”为真是“ p ? q ”为假的必要不充分条件; A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 6.下列全称命题中真命题为 A. 一次函数都是单调函数 C. 任何一条直线都有斜率
2

B. ?x ??x | x是无理数?,x ? 3 是有理数

D. ?a ?? , b // ? , 都有a // b

7. 已知命题 p : 若实数 x 、y 满足 x2 ? y 2 ? 0 , 则 x 、y 全为 0; 命题 q : 若a ? b, 则

给出下列四个复合命题:① p 且 q ;② p 或 q ;③ ? p ;④ ? q .其中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.对下列命题的否定说法错误的是( ) A. p :能被 3 整除的整数是奇数; ? p :存在一个能被 3 整除的整数不是奇数; B. p :每一个四边形的四个顶点共圆; ? p :存在一个四边形的四个顶点不共圆; C. p :有的三角形为正三角形; ? p :所有的三角形都不是正三角形; D. p : ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0 ; ? p :当 x ? 2 x ? 2 ? 0时, x ? R . 9.下列特殊命题中假命题的个数是( ) ①有的实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形; ③有的菱形是正方形. A、0 B、1 C、2 D、3 10.下列命题中真命题的个数是
2 2

1 1 ? . a b

① x ? 1 是 x ?1 ?

x ?1 的充要条件;

② x ? ?3 是 x ? 3 ?

x ? 3 的必要不充分条件; 2 2 ③在 ?ABC 中, “ AB ? AC ? BC ”是“ ?ABC 为直角三角形”的充要条件; 2 ④ ac ? 0 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个同号根的必要条件.
2

A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. “若 x ? 3 ,则 x ? x ? 6 ? 0 ”的否命题是
2

. 条件. ; .

12.已知 p : 5x ? 2 ? 3 ;q :

1 ? 0 ,则 p 是 q 的 x ? 4x ? 5
2

13. “相似三角形的面积相等” 的否命题是 它的否定是

14.设甲是乙的充分而不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要而不充分条件,那么 丁是甲的 条件.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本题满分 12 分)分别写出由下列各组命题的“ p ? q ” 、 “ p ? q ”及“ ? p ”形式的 复合命题,并判断复合命题的真假. (1) p :平行四边形的对角线相等; q :平行四边形的对角线互相平分; (2) p :方程 x -16=0 的两根的符号不同; q :方程 x ? 16 ? 0 的两根的绝对值相等.
2

2

16. (本题满分 12 分)写出下列命题的非命题 (1)p:方程 x2-x-6=0 的解是 x=3; (2)q:四边相等的四边形是正方形; (3)r:不论 m 取何实数,方程 x2+x+m=0 必有实数根; (4)s:存在一个实数 x,使得 x2+x+1≤0; 17. (本题满分 14 分)指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充公也不必要条件”中选出一种) . (1) p : a 与 b 都是奇数; q : a ? b 是偶数; (2) p : 0 ? m ?

1 2 ; q :方程 mx ? 2 x ? 3 ? 0 有两个同号且不相等的实数根; 3

18. (本题满分 14 分)已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x2+4(m-2)x +1=0 无实根.若“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,求 m 的取值范围. 2 19. (本题满分 14 分)已知条件 p:x>1 或 x<-3,条件 q:5x-6>x ,则?p 是?q 的什么条件? 20. (本题满分 14 分)求 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根的充要条件.
2

参考答案: 一、选择题 题号 答案 二、 填空题 11.若 x ? 3 ,则 x ? x ? 6 ? 0 ;
2

1 C

2 C

3 B

4 B

5 B

6 A

7 B

8 D

9 A

10 B

12.必要不充分;

13.不相似的三角形面积不相等;相似三角形的面积不相等. 14.必要不充分.

三、解答题 15.解: (1) p ? q :平行四边形的对角线相等且互相平分;假命题; p ? q :平行四边形的对角线相等或互相平分;真命题; ? p :平行四边形的对角线不相等;真命题; 2 (2) p ? q :方程 x -16=0 的两根的符号不同且绝对值相等;真命题; p ? q :方程 x2-16=0 的两根的符号不同或绝对值相等;真命题; ? p :方程 x2-16=0 的两根的符号相同;假命题. 16. (1)?p:方程 x2-x-6=0 的解不是 x=3; (2)?q:四边相等的四边形不是正方形; (3)?r:存在实数 m,使得方程 x2+x+m=0 没有实数根; (4)?s:对所有实数 x,都有 x2+x+1>0; 17.解: (1) p 是 q 的充分不必要条件; (2) p 是 q 的充要条件

?? ? m 2 ? 4 ? 0 18.若方程 x2+mx+1=0 有两不等的负根,则 ? 解得 m>2 ?m ? 0
即 p:m>2 若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根 则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0 解得:1<m<3.即 q:1<m<3. 因“p 或 q”为真,所以 p、q 至少有一为真,又“p 且 q”为假,所以 p、q 至少有一为 假, 因此,p、q 两命题应一真一假,即 p 为真,q 为假或 p 为假,q 为真.

?m ? 2 ?m ? 2 ∴? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3
解得:m≥3 或 1<m≤2. 19.?p:-3<x<1, ?q:x≥3 或 x≤2 显然 A B,故?p 是?q 的充分不必要条件
20.解:当 a ? 0 时,方程为 2 x ? 1 ? 0 ,从而得到 x ? ?

1 满足题设条件; 2

2 当 a ? 0 时,由 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根得:

? ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? ? ? ? 2 或 ?1 或 ?? ? 0 , ? ?2 a ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? 2a ?a ?1 ?0 ? ?a 解以上不等式组,得 a ? 0 或 0 ? a ? 1 2 由上可知: ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根的必要条件是 a ? 1 ; 2 下面证明: a ? 1 是 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根的充分条件.

? ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? 2 ? 2 当 0 ? a ? 1 时, ? x1 ? x2 ? ? ? 0 可知方程 ax +2x+1=0 有两个负实根; a ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 0 ? a ? 1 当 a ? 0 时,方程有一个实根 x ? ? ; 2 ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? 2 当 a ? 0 时, ? ,方程 ax +2x+1=0 有一个正实根和一个负实根; 1 x1 ? x2 ? ? 0 ? a ? 2 ∴当 a ? 1 时,方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根. 综上所述:方程 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根的充要条件是 a ? 1 .


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