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四川省邛崃市2016届高三上学期第一次月考数学理试卷


邛崃市高 2013 级高三第一次月考 理科数学试题
命题人:王勇 审题人:张开建
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的 姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 第 I 卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知全集 U ? {x | x ? 1} ,集合 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} ,则 CU A ? (
2 2



A. (1,3)

B. (??,1) ? [3, ??)

C. (??, ?1) ? [3, ??)

D. (??, ?1) ? (3, ??)

2.已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? 2i ,若 z ?

z1 ,则 z ? ( ) z2
C. i D. ?i ) D. ? 3

A.

4 ?i 5

B.

4 ?i 5

3.已知 a ? (3,1), b ? ( x, ?1) ,且 a / / b ,则 x 等于( A.

?

?

?

?

1 3

B. ?

1 3

C. 3

4.下列命题中:
2 ① 命 题 “ 若 x ? 5x ? 6 ? 0 , 则 x ? 2 或 x ? 3 ” 的 逆 否 命 题 为 “ 若 x ? 2 或 x ? 3 , 则

x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”.
②命题 p: “存在 x0 ? R,使得 log 2 x0 ? 0”的否定是“任意 x ? R ,使得 log2 x >0” ; ③回归直线方程一定过样本中心点( x, y ) .其中真命题的个数为( A.0 B.1
2 2



C.2

D.3

5.若圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 ( a, b) 向圆所作 的切线长的最小值是( A.2 B.4 ) C.3 D.6

6.设 Sn 为公差大于零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S9 ? 3a8 ,则当 Sn 取到最小值时 n 的 值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6 )

7.执行下面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? (

(A) 5

(B) 6

(C)7

(D)8

1 ( ? ? 0 , a ? 0 )的最大值为 1,且 2 ? ? 其图象相邻两条对称轴的距离为 ,若将函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位,所得图象对 2 12
2 8.设函数 f ( x) ? 3a sin ? x cos ? x ? a cos ? x ?

应函数为 g ( x) ,则(



A. f ( x ) 的图象关于直线 x ? B. f ( x ) 的图象关于点 (

?
3

对称, g ( x) 图象关于原点对称

?
4

, 0) 对称, g ( x) 图象关于直线 x ?

?
4

对称

C. f ( x ) 的图象关于直线 x ? D. f ( x ) 的图象关于点 (

?
6

对称, g ( x) 图象关于原点对称

5? ? , 0) 对称, g ( x) 图象关于直线 x ? 对称 12 6


9.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于(

A.

75 2

B. 30

C. 75

D. 15

10.已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球,它们大小形状完全相同,现需一个红球, 甲每次从中任取一个不放回,在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率( ) . A. B. C. D.

11.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存 a2 b2
3 | PF2 | ,则双曲线的离心率

在一点 P ,使得线段 PF2 的垂直平分线过原点 O ,且 | PF1 |? 为( )

A.

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

12.若关于 x 的不等式 e x ? ax ? b ? 0 对任意实数 x 恒成立,则 ab 的最大值为( A. e B. e2 C. e D.



e 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

? x ? y ? 3≥ 0 ? 13.若变量 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ≤ 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 4 y ? 4≥ 0 ?
14.已知 a ? 2 , b ? 3 , a, b 的夹角为 60°,则 2a ? b ? _____. 15. ( x ?
3



?? ?

?? ?

? ?

? ?

1 7 ) 的展开式中 x 5 的系数是 x

.(用数字填写答案)

16.已知 ? ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上, 且C ?

?
3

AC ? 4 , , △ABC 的面积为 2 3 ,


三棱锥 O-ABC 的体积为

6 ,则球 O 的表面积为 6

三:解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,己知 AB ? AC ? 9 , b ? c cos A ,又△ABC 的面积为 6。 (Ⅰ)求△ABC 的三边长; (Ⅱ)若 D 为 BC 边上的一点,且 CD=1,求 tan ?BAD .

??? ? ????

18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ,点 M 是 SD 的中点, AN ? SC 且交 SC 于点 N . (Ⅰ)求证:平面 SAC ? 平面 AMN ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? M 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口,在早高峰时间段, 时常发生交通拥堵现象,交警部门统计 11 月份 30 天内的拥堵天数,东西南北四个主干道入 口的拥堵天数分别是 18 天,15 天,9 天,15 天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立,视频 率为概率.

(1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率; (2)设 ? 表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数,求 ? 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆的短轴端点 2 a b 2

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合, 与双曲线 过点 P (4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 2
两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围.

??? ? ??? ?

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x ( a ? R ) . x

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ?

1 , A( x1 , g ( x1 )) , B( x2 , g ( x2 )) ( 0 ? x1 ? x2 )是 g ( x) 图象上的任 x
x ? x2 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,求证: t ? 1 . 2 x2 ? x1

意两点,若 ?t ? ( x1 , x2 ) ,使得 g’ (t ) ?

请考生在第 22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清 题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位 相同. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ,斜率为 3 的直线 l 交 y 轴于点

E (0,1) .
(1)求 C 的直角坐标方程, l 的参数方程; (2)直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 | EA | ? | EB | .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? a (Ⅰ)a=-3 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集;

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围

邛崃市高 2013 级高三 10 月月考数学试题 理 科 数 学(参考答案)
一:选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 )

1—5:CDDCB

6—10:ACCBB
13

11—12:DD
33 ? 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 8 14. 15. 35 16.

三:解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. 81. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,己知 AB ? AC ? 9 , b ? c cos A ,又△ABC 的面积为 6 (Ⅰ)求△ABC 的三边长; (Ⅱ)若 D 为 BC 边上的一点,且 CD=1,求 tan ?BAD . 解: (Ⅰ)设三边分别为 a, b, c

??? ? ????

由正弦定理得 sinB ? sinC cos A ,∴sin(A+C)=sinCcosA,????2 分 化为 sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA, ∴sinAcosC=0,可得 cos C ? 0 ? C ?

?
2

???????4 分

??? ? ???? ??? ? ???? ? AB ? AC=| AB || AC | cos A=9 ? 又? ? ???? 1 ??? AB || AC |sinA ? 6 ?S= | ? 2
两式相除可得 tan A ?

4 a ? 3 b

令 a ? 4k , b ? 3k (k ? 0) 则S ?

1 ab ? 6 ? k ? 1 2

? 三边长分别为 3,4,5, ???????????????7 分 4 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 tan∠BAC= ,由三角函数定义知 tan∠DAC= ,??9 分 3 3

4 1 ? tan ?BAC ? tan ?DAC 9 所以 tan ? BAD =tan(∠BAC-∠DAC)= = 3 3 = ...12 分 4 1 13 1 ? tan ?BAC tan ?DAC 1? ? 3 3 18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ,点 M 是 SD 的中点, AN ? SC 且交 SC 于点 N .

(Ⅰ)求证:平面 SAC ? 平面 AMN ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? M 的余弦值. 证明(Ⅰ) :? SA ? 底面 ABCD , ? DC ? SA 又底面 ABCD 是正方形,? DC ? DA

? DC ? 平面 SAD ,? DC ? AM 又? SA ? AD , M 是 SD 的中点,? AM ? SD , ? AM ? 面 SDC ? SC ? AM 由已知 AN ? SC ,? SC ? 平面 AMN .
又 SC ? 面 SAC ,? 面 SAC ? 面 AMN ????????? 6 分 (Ⅱ)取 AD 的中点 F ,则 MF // SA . 作 FQ ? AC 于 Q ,连结 MQ .

? SA ? 底面 ABCD , ? MF ? 底面 ABCD
? ?FQM 为二面角 D ? AC ? M 的平面角


? FQ ? AC , ? MQ ? AC

SA ? AB ? a





Rt?MFQ



MF ?

1 a SA ? 2 2



FQ ?

2 a 4



MQ ? MF 2 ? FQ2 ?

6 a 4
??????????? 11 分

? cos?FQM ?

FQ 3 ? MQ 3

所以二面角 D ? AC ? M 的余弦值为

3 ??????? 3

12 分

解法 2: (Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,由于 SA ? AB ,

可设 AB ? AD ? AS ? 1 , 则 A?0,0,0?, B?0,1,0?,

?1 1? C?1,1,0?, D?1,0,0?, S ?0,0,1?, M ? ,0, ? ???? ?2 2?
4分

3分

?1 1? ? AM ? ? ,0, ? , CS ? ?? 1,?1,1? ???? ?2 2?

? AM ? CS ? 0 ,

? AM ? CS
6分

又? SC ? AN 且 AN ? AM ? A ? SC ? 平面 AMN .又 SC ? 平面 SAC 所以,平面 SAC ? 平面 AMN ????????? (Ⅱ)? SA ? 底面 ABCD ? AS 是平面 ABCD 的一个法向量, AS ? ?0,0,1? ?? 7 分 设平面 ACM 的一个法向量为 n ? ?x, y, z ? ? AC ? ?1,1,0? , AM ? ? ,0, ? ,

?1 ?2

1? 2?

? ? ?n ? AC ? 0 则 ?? ? ?n ? AM ? 0
? cos ? AS, n ?? ?

得 n ? ?1,?1,?1?????????

?

9分

3 3

?????? 11 分

? 二面角 D ? AC ? M 的余弦值是

3 ?????? 3

12 分.

19. (本小题满分 12 分)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口,在早高峰时间段, 时常发生交通拥堵现象,交警部门统计 11 月份 30 天内的拥堵天数,东西南北四个主干道入 口的拥堵天数分别是 18 天,15 天,9 天,15 天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立,视频 率为概率. (1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率; (2)设 ? 表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数,求 ? 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件 A,B,C,D. 则 P( A) ?

18 3 15 1 9 3 15 1 ? , P( B) ? ? , P (C ) ? ? , P( D) ? ? . 30 5 30 2 30 10 30 2

设一天恰有三个入口发生拥堵为事件 M,则 M ? ABCD ? ABCD ? ABCD ? ABCD .

则 P( M ) ? ? ?

2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 7 1 3 1 3 1 45 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .??? 5 2 10 2 5 2 10 2 5 2 10 2 5 2 10 2 200 40

5分

(Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4.

P(? ? 0) ? P(? P (? P(? P (?
ξ p

14 7 ? , 200 100 55 11 ? 1) ? ? , 200 40 77 ? 2) ? , 200 45 9 ? 3) ? ? , 200 40 9 ? 4) ? . 200
1
11 40

ξ 的分布列为: 0
7 100

2
77 200

3

4
9 200

9 40

E(ξ )=0×

14 55 45 9 380 19 +1× +2× 77 +3× + 4× = = .12 分 200 200 200 200 200 10 200

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆的短轴端点 2 a b 2

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 与双曲线 2
两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围.

??? ? ??? ?

解: (1)由题意知 e ?

c 1 c 2 a 2 ? b2 1 ? ,? e2 ? 2 ? ? , a 2 a a2 4

a2 ?

4 2 b .又双曲线的焦点坐标为 (0, ? 3), b ? 3 ,?a2 ? 4, b2 ? 3 , 3

x2 y 2 ? 1 .????????????.4 分 ? 椭圆的方程为 ? 4 3
(2)若直线 l 的倾斜角为 0 ,则 A(?2,0), B(2,0), OA ? OB ? ?4 ,
?

??? ? ??? ?

当直线 l 的倾斜角不为 0 时,直线 l 可设为 x ? my ? 4 ,
?

? x ? my ? 4 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,由 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

? ? 0 ? (24m)2 ? 4 ? (3m2 ? 4) ? 36 ? 0 ? m2 ? 4

设 A(my1 ? 4, y1 ), B(my2 ? 4, y2 ) , y1 ? y2 ? ?

??? ? ??? ? OA ? OB ? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? m2 y1 y2 ? 4my1 y2 ?16 ? y1 y2
??? ? ??? ? 116 13 2 ? 4 ? m ? 4, ? OA ? OB ? (?4, ) , , 2 3m ? 4 4 13 综上所述:范围为 [ ?4, ) .??????????????12 分 4
?
21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

24m 36 , y1 y2 ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

1 ? a ln x ( a ? R ) . x

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ?

1 , A( x1 , g ( x1 )) , B( x2 , g ( x2 )) ( 0 ? x1 ? x2 )是 g ( x) 图象上的任 x
x ? x2 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,求证: t ? 1 . 2 x2 ? x1

意两点,若 ?t ? ( x1 , x2 ) ,使得 g’ (t ) ?

解:(Ⅰ) f ( x ) ? 1 ?
'

1 a a 1 ? ,由已知得 f ' ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 恒成立,则 ? 1 ? 2 , 2 x x x x

即a ? x?

1 1 ,因为 x ? ? 2 ,所以 a ? 2 ,实数 a 的取值范围是 (??, 2] ???5 分 x x
'

(Ⅱ)由(Ⅰ) g ( x) ? x ? a ln x , g ? x ? ? 1 ?

a a ' ,所以 g ? t ? ? 1 ? , x t

g ? x2 ? ? g ? x1 ? ? x2 ? x1 ? a ? ln x2 ? ln x1 ? ,
由 g ' ?t ? ?

g ? x2 ? ? g ? x1 ? ln x2 ? ln x1 , ? 1? a x2 ? x1 x2 ? x1

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 a ,所以 1 ? ? 1 ? a ?,即 t ? t x2 ? x1 ln x2 ? ln x1 x2 ? x1

x2 x ?1 1? 2 x x1 x ? x2 x2 ? x1 x ?x ? 所以要证 t ? 1 , 只要证 , 只要证 1 , ? 1 2 ( 0 ? x1 ? x2 ) x 2 2 ln x2 ? ln x1 2 ln 2 x1
只要证 2 ?

? x2 ? x ? x ? ? 1? ? ln 2 ? 1 ? 2 ? x1 ? x1 ? ? x1 ?

????????? 10 分

令s ?

x2 2 s-1)<(1+s)lns ( s ? 1 ). ? ?1, ?? ? ,只要证 ( x1

r s)=( 1+s)lns-( 2 s-1) 设( , r ? ? s ? ? ln s ?

1 1 1 s ?1 ? 1 , r ?? ? s ? ? ? 2 ? 2 ? 0 , s s s s

r s) 所以 r ? ? s ? 在(1,+ ? )上为增函数, r? ?1? ? 0 ,所以 r ? ? s ? ? 0 ,所以( 在(1,+ ? )

r 1)=0 ,所以( r s)>0 ,即 ( 1+s)lns-( 2 s-1)>0 ,结论得证.12 分 递增,(
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位 相同. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ,斜率为 3 的直线 l 交 y 轴于点

E (0,1) .
(1)求 C 的直角坐标方程, l 的参数方程; (2)直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 | EA | ? | EB | . 解: (Ⅰ)由 ρ =2(cos θ +sin θ ),得 ρ =2(ρ cos θ +ρ sin θ ), 2 2 2 2 即 x +y =2x+2y,即(x-1) +(y-1) =2.
2

1 ? x? t ? 2 ? l 的参数方程为 ? (t 为参数, t∈R)????? 3 ? y ? 1? t ? ? 2 1 ? x? t ? 2 ? 2 2 2 (Ⅱ)将 ? ,代入(x-1) +(y-1) =2 得 t -t-1=0, ? y ? 1? 3 t ? ? 2
解得, t1 ?

5分

1? 5 1? 5 ,则 , t2 ? 2 2
10 分

|EA|+|EB|=| t1|+| t2|=|t1-t2|= 5 ??????? 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? a (Ⅰ)a=-3 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集;

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围

3 ? ?x ? 解: (Ⅰ)当 a=-3 时, f ( x ) ? 6 为 2x ? 1 ? 2x ? 3 ≤ 6 ,等价于 ? 或 2 ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 6

3 ? 1 ?? ? x ? 2 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? (2 x ? 3) ? 6
?1 ? x ? 2 ,

1 ? ?x ? ? 或 ? 2 ? ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6

,解得

3 1 3 ?x?2 或 ? ?x? 或 2 2 2

所以不等式 f ( x) ? 6 的解集为[-1,2];????????????6 分 (Ⅱ)因为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | ? 2x ?1 ? (2x ? a) = |1 ? a | ,

1 2 1 实数 a 的取值范围(- ? , ].??????????10 分 2
所以 a < |1 ? a | ,解得 a ?



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