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内蒙古包头市第一中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案


包头一中高二年级 2016-2017 年度第一学期期末考试 文科数学试卷 命题人:高明旺 审题人:高明旺

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)

1.设有一个直线回归方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时 A. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 2 个单位 B. y 平均增加 1.5 个单位 D. y 平均减少 1.5 个单位

(

)

2. 下列双曲线中, 渐近线方程为 y ? ?2 x 的是





y2 ?1 A. x ? 2
2

x2 ? y2 ? 1 B. 2

x2 ? y2 ? 1 C. 4

y2 ?1 D. x ? 4
2

3 .从 1 , 2 , 3 , 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6
( )

4.一组数据 X1,X2,…,Xn 的平均数是 3,方差是 5,则数据 3X1+2,3X2+2,…,3Xn+2 的 平均数和方差分别是 A. 11 ,45 B. 5 ,45 C. 3 ,5

D. 5 ,15 ( )

5.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为 4? ?3 A.? ,- ? 5 5? ? 3? ?4 B.? ,- ? 5 5 ? ?

? 3 4? C.?- , ? ? 5 5?
x ? 1" 的 y

? 4 3? D.?- , ? ? 5 5?
( )

6.设 x, y ? R ,则 " x ? y ? 0" 是 " A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

7. f ( x) ? ax ? sin x 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围是 A. (??,1] B. (??,1) C. (1, ??) D. [1, ??)

8.已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k 等于(

)

9 A.- 2

B.0

C.3

D.

15 2 ( )

9.已知 | a |? 4 , | b |? 5 , | a ? b |? 21 ,则 a ? b ? A.-8 B.-10 C.10 D.8

10.若直线 l 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,与抛物线交于 A、B 两点,且线段 AB 中点的横坐标为 2,则弦 AB 的长为 A.2 B.4 C.6 ( ) D. 8

11. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%, 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率:先由计算机随机产生 0 到 9 之间取整数的随机数,指定 1,2,3,4 表 示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中,再以三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模 拟产生了如下 20 组随机数: 807 489 966 257 191 394 925 027 271 556 932 812 458 569 683 488 730 113 537 741 ( )

根据以上数据,估计该运动员三次投篮恰好有两次命中的概率为 A. 0.20 B. 0.25 C. 0.30 D. 0.35

12.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 l 过焦点 F 且斜率为 2,与抛物线交于 A、B(其 中 A 在第一象限)两点, M ( ?

p , 0) ,则 tan ?AMF ? 2
C.

(

)

A.

3 2

B.

3 3

6 3

D.

2 5 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.命题“ ?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0 ”的否定形式为
2



14. 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE AC ? ________. 15.已知双曲线 C 的离心率为 3 ,焦点为 F1 , F2 ,点 A 在曲线 C 上,若 | F 1 A |? 3| F 2 A | ,则

cos ?AF2 F1 ? _______
16.已知 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是________
3 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出必要的文字说明和解题步骤) 17. (本小题满分 10 分) (1)求长轴长为 20,离心率等于

3 的椭圆的标准方程; 5

x2 y 2 (2)已知点 P 是椭圆 ? ? 1 上的点,且过点 P 及焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的面积等 5 4
于 1,求点 P 的坐标。 18.(本小题满分 12 分)某企业通过调查问卷(满分 50 分)的形式对本企业 900 名员工的工 作满意度进行调查,并随机抽取了其中 30 名员工(其中 16 名女员工,14 名男员工)的得分, 如下表:

(Ⅰ) 现求得这 30 名员工的平均得分为 40.5 分, 若规定大于平均得分为 “满意” , 否则为 “不 满意” ,请完成下列表格:

(Ⅱ)根据上述表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1%的前 提下,认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关? 参考数据:

参考公式:

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? 处的切线垂直于直线 y ? x .

a , 其中 a ? R , 且曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值.

20. (本小题满分 12 分)学校对同时从高一,高二,高三三个不同年级的某些学生进行抽样 调查,从各年级抽出人数如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些学生中共抽取 6 人进 行调查 年级 数量 高一 50 高二 150 高三 100

(1)求这 6 位学生来自高一,高二,高三各年级的数量; (2)若从这 6 位学生中随机抽取 2 人再做进一步的调查,求这 2 人来自同一年级的概率.

x2 y 2 3 1 21. (本小题满分 12 分)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,离心率为 ,左、右焦点分别为 2 a b 2

F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)当 ?F2 AB 的面积为

12 2 时,求直线的方程. 7

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a
3 2

2

?a, b ? R? .

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处有极值为 10,求 b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 a ? ? ?4, ??? , f ? x ? 在 x ? ?0,2? 上单调递增,求 b 的最小值.

包头一中高二年级 2016-2017 年度第一学期期末考试 文科数学试卷(参考答案) 一. 选择题 1.D 2.D 3.B 4.A 5.A 6.A 7.D 8.C 9.B 10.C 11.C 12.D

二. 填空题
2 13. ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0

14.6

15.

3 3

16. (??, ?2)

三. 解答题 17.

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ? 1或 (1) 100 64 100 64
(2) ?

? 15 ? ? 15 ? ? 15 ? ? 15 ? ? 2 ,1? ?,? ? ? 2 ,1? ?,? ? 2 , ?1? ?,? ? ? 2 , ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

18. (Ⅰ)解:完成下列表格:

(Ⅱ)将表中的数据代入公式得到

∴能在犯错误的概率不超过 1 0 关.
' 19.解: (Ⅰ) f ( x) ?

0

的前提下,认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有

1 a ? ……2 分 x x2

∵曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线垂直于直线 y ? x
' ∴ f (1) ? a ? 1 ? ?1 ,∴ a ? ?2 ……4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ln x ?
' 令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,

2 1 2 x?2 ' ,则 f ( x) ? ? 2 ? 2 x x x x
又 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ?? ? …………6 分 ∴ f ( x ) 在 ? 0, 2 ? 内为减函数…………8 分

当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x) ? 0
'

当 x ? ? 2, ??? 时, f ' ( x) ? 0

∴ f ( x ) 在 ? 2, ?? ? 内为增函数…………10 分

由此知函数 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极小值 f (2) ? ln 2 ? 1 ,无极大值。……12 分 20. 解: (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 所以样本中包含三个年级的个体数量分别是 50× = , =2.

=1,150× =3,100×

所以高一,高二,高三三个年级的学生被选取的人数分别为 1,3,2. (2)设 6 件来自高一,高二,高三三个地区的学生分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2. 则抽取的这 2 人构成的所有基本事件为: {A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2, B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个人被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 人来自相同年级”, 则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 所以 P(D)= ,即这 2 人来自相同年级的概率为 .

21.(1)∵椭圆 C :

x2 y 2 3 1 9 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,∴ 2 ? 2 ? 1①, 2 2 a 4b a b

b2 3 1 c 1 ? ,∴ 2 ? ②,解①②得 a2 ? 4, b2 ? 3 . ∵离心率为 ,∴ 2 a 2 a 4
故:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

…………………(5 分)

(2)①当直线的倾斜角为

? 3 3 时, A( ?1, ), B ( ?1, ? ) , 2 2 2

S ?ABF2 ?

1 1 12 2 AB ? F1 F2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 7 ,不适合题意. …………………(7 分)

②当直线的倾斜角不为

? 时,设直线方程 l : y ? k ( x ? 1) , 2

代入

x2 y 2 ? ? 1 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 4 3

22.解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ,
2

………………………1 分

于是,根据题设有

? f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? 2 ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10
解得 ?

?a ? 4 ?a ? ?3 或 ? ?b ? ?11 ?b ? 3

…………3 分

当 ? 点; 当?

?a ? 4 时 , f ?? x 1 ? ? 64 ? 132 ? 0 ? ? 3 2x ? 8 x?1 , ?b ? ?11
…………………………………………………4 分

,所以函数有极值

?a ? ?3 2 时, f ? ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 0 ,所以函数无极值点. …………5 分 ?b ? 3
所以

b ? ?11 . ……
2

…………………………… 6 分

(Ⅱ)法一: f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ?? , x ? ?0,2? 都成立.…7 分 所以 F ? a ? ? 2xa ? 3x ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ?? , x ? ?0,2? 都成立.8 分
2

因为 x ? 0 , 所以 F ? a ? 在 a ? ? ?4, ?? 上为单调递增函数或为常数函数, ………9 分 所以 F ? a ?min ? F ? ?4? ? ?8x ? 3x ? b ? 0 对任意 x ? ?0,2? 都成立,
2

即 b ? ?3x ? 8 x
2

?

?

max

.

……………………………………10 分

又 ?3x 2 ? 8x ? ?3 ? x ? 所以 当 x ? 所以 所以

? ?

4 ? 16 16 ? ? ? , 3? 3 3

2

4 16 ? , 时, ? ?3 x 2 ? 8 x ? max 3 3 16 b? , 3 16 b 的最小值为 . ……………12 分 3
2

法二: f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ? ?4, ?? , x ? ?0,2? 都成立,……… 7 分 即 b ? ?3x2 ? 2ax 对任意 a ? ? ?4, ?? , x ? ?0,2? 都成立, 即 b ? ?3 x ? 2ax
2

?

?

max



…………………………………………8 分

a ? a2 ? 令 F ? x ? ? ?3x ? 2ax ? ?3? x ? ? ? ,…………………………… 9 分 3? 3 ?
2

2

当 a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? 0? ? 0 ,于是 b ? 0 ;………………………10 分 当 ?4 ? a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? ?
2 a2 ? a? a b ? ,于是, .……11 分 ? ? 3 ? 3? 3

? a2 ? 16 16 又? ? ? ,所以 b ? . 3 ? 3 ?max 3
综上, b 的最小值为

16 . 3

………………………………12 分


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