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【全程复习方略】(陕西专用)2014高考数学 第八章 第六节 抛物线课时提升作业 文 北师大版


【全程复习方略】 (陕西专用)2014 高考数学 第八章 第六节 抛物线课时提升 作业 文 北师大版
一、选择题 1.(2013? 宜春模拟)动点 P 到点 A(0,2)的距离比它到直线 l:y=-4 的距离小 2,则动点 P 的轨迹方程为( (A)y =4x (C)x =4y
2 2 2

)

(B)y =8x (D)x =8y
2 2 2

2

2.若抛物线 y =2px(p>0)的焦点在圆 x +y +2x-3=0 上,则 p=( (A)错误!未找到引用源。
2

) (C)2 ) (C)-错误!未找到引用 (D)3

(B)1

3.抛物线 y=-2x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( (A)错误!未找到引用源。 源。 (B)错误!未找到引用源。

(D)-错误!未找到引用源。
2

4.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 y =4x 上,则这个正三角形的边长为( (A)4 错误!未找到引用源。 (D)16 (B)8 错误!未找到引用源。 (C)8

)

5.已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( (A)x=1 (C)x=2
2

2

)

(B)x=-1 (D)x=-2

6.直线 l 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,且交抛物线于 A,B 两点,交其准线于 C 点,已知|AF|=4,错误! 未找到引用源。=3 错误!未找到引用源。 ,则 p=( (A)2 (D)4 7.(2013?西安模拟)若双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2 被抛物线 x=错误! 未找到引用源。 y 的焦点分成 3∶2 的两段,则此双曲线的离心率为( (A)错误!未找到引用源。 源。 (B)错误!未找到引用源。
2

) (C)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

)

(C) 错误!未找到引用

(D)错误!未找到引用源。
2

8.(能力挑战题)若已知点 Q(4,0)和抛物线 y=错误!未找到引用源。x +2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|最小 值为( ) (B)11
-1-

(A)2+2 错误!未找到引用源。

(C)1+2 错误!未找到引用源。 二、填空题

(D)6

9.以抛物线 x =16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为
2

2

.

10.(2013?巢湖模拟)抛物线 y=错误!未找到引用源。x 的焦点与双曲线错误!未找到引用源。-错误!未 找到引用源。=1 的上焦点重合,则 m=
2

.

11.(2013? 铜川模拟)已知点 P 是抛物线 y =4x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a),则 当|a|>4 时,|PA|+|PM|的最小值是 三、解答题 12.已知圆心为 P 的动圆与直线 y=-2 相切,且与定圆 x +(y-1) =1 内切,记点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程. (2)设斜率为 2 错误!未找到引用源。的直线与曲线 E 相切,求此时直线到原点的距离. 13.(2013?宝鸡模拟)已知抛物线 C:y =2px( p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等 于错误!未找到引用源。?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 14.(能力挑战题)如图,曲线 C1 是以原点 O 为中心,F1,F2 为焦点的椭圆的 一部分,曲线 C2 是以原点 O 为顶点,F2 为焦点的抛物线的一部分,A,B 是曲 线 C1 和 C2 的交点且∠AF2F1 为钝角,若|AF1|=错误! 未找到引用源。 ,|AF2|= 错误!未找到引用源。. (1)求曲线 C1 和 C2 的方程. (2)设点 C,D 是曲线 C2 所在抛物线上的两点(如图).设直线 OC 的斜率为 k1,直线 OD 的斜率为 k2,且 k1+k2=错误!未找到引用源。,证明:直线 CD 过定点,并求该定点的坐标.
2 2 2

.

答案解析 1. 【解析】 选 D.由已知得,动点 P 到点 A(0,2)的距离与它到直线 l:y=-2 的距离相等,根据抛物线的定义得, 该轨迹为以 A(0,2)为焦点,y=-2 为准线的抛物线,且错误!未找到引用源。=2,∴p=4.又焦点在 y 轴上,开 口向上,所以所求方程为:x =8y. 2.【解析】选 C.由已知(错误!未找到引用源。,0)在圆 x +y +2x-3=0 上,所以有错误!未找到引用源。+2 ?错误!未找到引用源。-3=0,
-22 2 2

即 p +4p-12=0,解得 p=2 或 p=-6(舍去). 3.【解析】选 D.由抛物线 y=-2x 得 x =-错误!未找到引用源。y, 所以其焦点为 F(0,-错误!未找到引用源。), 设点 M 纵坐标为 y0, 由抛物线定义得错误!未找到引用源。-y0=1,得 y0=-错误!未找到引用源。. 【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧 抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联 想点到准线的距离;(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意. 4.【解析】选 B.设其中一个顶点为(x,2 错误!未找到引用源。),∵是正三角形,∴错误!未找到引用源。 =tan 30°=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴x=12. ∴除原点外的另外两个顶点是(12,4 错误!未找到引用源。)与(12,-4 错误!未找到引用源。), ∴这个正三角形的边长为 8 错误!未找到引用源。. 5.【解析】选 B.方法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线 AB 的方程为:y=x-错误!未找到引用源。,与 y =2px 联立得:y -2py-p =0,∴y1+y2=2p, 由题意知:y1+y2= 4, ∴p=2,∴抛物线的方程为 y =4x, 其准线方程为 x=-1,故选 B. 方法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意得 y1+y2=4,错误!未找到引用源。=2px1,错误!未找到引用源。=2px2, 两式相减得:kAB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=1,∴p=2, ∴抛物线的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1. 6. 【解析】 选 C.过 A, B 分别作准线的垂线交准线于 E, D.因为|AF|=4, 错误!未找到引用源。 =3 错误!未找到引用源。 ,所以 |AE|= 4 , |CB|=3|BF|,且|BF|=|BD|,设|BF|=|BD|=a,则|BC|=3a,根据三角形 的相似性可得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,即错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,解得 a=2,所以错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , 所以 p=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,选 C.
-32 2 2 2 2 2 2

2

7.【解析】选 D.由已知得 F1(-c,0),F2(c,0), 抛物线 x=错误!未找到引用源。y ,即 y =2bx 的焦点 F(错误!未找到引用源。,0), 依题意错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得:5b=2c? 25b =4c , 又 b =c -a ,∴25(c -a )=4c , 解得 c=错误!未找到引用源。a. 故双曲线的离心率为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 8.【解析】选 D.抛物线 y=错误!未找到引用源。+2 的准线是 y=1,焦点 F(0,3).用抛物线的定义:设 P 到准 线的距离为 d, 则 y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6,(当且仅当 F,Q,P 共线时取等号) 故 y+|PQ|的最小值是 6. 9. 【解析】 抛物线 x =16y 的焦点为(0,4),准线方程为 y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切, 所以圆的半径 r=4-(-4)=8,所以圆的方程为 x +(y-4) =64. 答案:x +(y-4) =6 4 10.【解析】因为抛物线 y=错误!未找到引用源。x 的标准方程为 x =16y,焦点坐标为(0,4),又因为双曲线 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的上焦点坐标为(0,错误!未找到引用源。),依题意有 4=错误!未找到引用源。,解得 m=13. 答案:13 【误区警示】本题易出现 y=错误!未找到引用源。x 的焦点为(0,错误!未找到引用源。)的错误,原因是 对抛物线的标准方程记忆不准确. 11.【解析】由 y =4x 得,抛物线的焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1, 由|a|>4 知点 A(4,a) 在抛物线的外部, 要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,这只需点 A,P,F 三点共线即可,此时:(|PA|+|PF|)min=错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。,所以:|PA|+|PM|的最小值为(|PA|+|PF|)min-1=错误!未找到引用源。 -1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

-4-

答案:错误!未找到引用源。-1

12.【解析】(1)由题意,得点 P 到直线 y=-1 和点(0,1)距离相等, ∴点 P 的轨迹是以点(0,1)为焦点,以直线 y=-1 为准线的抛物线, ∴曲线 E 的方程是 x =4y. (2)设斜率为 2 错误!未找到引用源。的直线方程为 y=2 错误!未找到引用源。x+m, 由错误!未找到引用源。消去 y,得 x -8 错误!未找到引用源。x-4m=0, 由直线与曲线 E 相切,得Δ =(-8 错误!未找到引用源。) +16m=0, 得 m=-8, ∴直线方程为 y=2 错误!未找到引用源。x-8,即 2 错误!未找到引用源。x-y-8=0. ∴原点到直线的距离为 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 13.【解析】(1)将(1,-2)代入 y =2px,得(-2) =2p?1, 所以 p=2.故所求的抛物线 C 的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1. (2)存在.假设存在符合题意的直线 l, 其方程为 y=-2x+t. 由错误!未找到引用源。得 y +2y-2t=0. ∵直线 l 与抛物线 C 有公共点, ∴Δ =4+8t≥0,解得 t≥-错误!未找到引用源。. 由直线 OA 与 l 的距离 d=错误!未找到引用源。,可得 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 解得 t=±1. ∵-1?[-错误!未找到引用源。,+∞),1∈[-错误!未找到引用源。,+∞). ∴符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.
-52 2 2 2 2 2 2

14.【解析】(1)设 A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲线 C1 所在椭圆的长轴长为 2a,则 2a=|AF1|+|AF2|=6. 又由已知及圆锥曲线的定义得: (xA-c) +错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,(xA+c) +错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。,xA+c=错误!未找到引用源。, 得:(xA-c) =错误!未找到引用源。.又∵∠AF2F1 为钝角, ∴xA-c=错误!未找到引用源。,故 xA=错误!未找到引用源。,c=1, 即曲线 C1 的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(-3≤x≤错误!未找到引用源。), 曲线 C2 的方程为 y =4x(0≤x≤错误!未找到引用源。). (2)设直线 OC 的方程为:y=k1x, 由错误!未找到引用源。 得(k1x) -4x=0,即 C(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。), 同理得:D(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。), ∴直线 CD 的方程为:y-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(x-错误!未找到引用源。),即 y= 错误!未找到引用源。x+2 错误!未找到引用源。, 当 x=0 时,恒有 y=2 错误!未找到引用源。,即直线 CD 过定点(0,2 错误!未找到引用源。).
2 2 2 2 2

-6-


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