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【2015年】高考全国卷1理科数学试题及答案

2015 年高考理科数学试卷全国卷 1
1.设复数 z 满足 (A)1

1? z = i ,则|z|=( 1? z
(B) 2

) (C) 3 ) (D)2

2. sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =( (A) ?

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

3.设命题 p : ?n ? N , n2 ? 2n ,则 ? p 为( ) (A) ?n ? N , n2 ? 2n (C) ?n ? N , n2 ? 2n (B) ?n ? N , n2 ? 2n (D) ?n ? N , n2 =2n

4.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

x2 ? y 2 ? 1上的一点, F1 , F2 是 C 上的两个焦点,若 5.已知 M( x0 , y0 )是双曲线 C: 2

???? ? ???? ? MF1 ? MF2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是(
(A) (-



3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(C) (?

(D) (?

6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依 垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部 的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3, 估算出堆放斛的米约有 ( ) (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 7.设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则( )

??? ?

??? ?

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ????? ? ???? 4 ??? ? 1 (C) AD ? AB ? AC 3 3
(A) AD ? ?

????

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ??????? ? ???? 4 ??? ? 1 (D) AD ? AB ? AC 3 3
(B) AD ?

????

8.函数 f ( x ) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( )

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1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(B) (2k? ?

9.执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=(



(A)5

(B)6

(C)7

(D)8 )

10. ( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为(

(A)10 (B)20 (C)30 (D)60 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视 图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=( )

(A)1

(B)2
x

(C)4

(D)8 0,

12. 设函数 f ( x ) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1, 若存在唯一的整数 x0 , 使得 f ( x0 ) 则 a 的取值范围是( ) (A)[-

3 3 3 ,1) (B)[, ) 2e 2e 4

(C)[

3 3 , ) 2e 4

(D)[

3 , 1) 2e

13.若函数 f(x)= x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a= 14.一个圆经过椭圆 准方程为

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标 16 4
.

?x ?1 ? 0 y ? 15.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

.

16.在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是
2 17. (本小题满分 12 分) Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an = 4Sn ? 3 .

.

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(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an?1

18.如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥ 平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

(Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元) 对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和 年销售量 yi ( i =1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的 值.

? x
46.6

? ? y
56.3

?? w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

8

? (wi ? w)2
i ?1

8

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

8

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi ?

?? 1 xi , w = 8

?w
i ?1

8

i

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
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(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下 列问题: (ⅰ)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,??, (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为:

20. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

x2 与直线 y ? kx ? a ( a > 4

0)交与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
3 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x ? ax ?

1 , g ( x) ? ? ln x . 4

(Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; ( Ⅱ ) 用 m i n

?m, n?
?(x ? 0)

表 示

m,n

中 的 最 小 值 , 设 函 数

h( x) ? min ? f ( x), g( x)

,讨论 h(x)零点的个数.

22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 的直径,AC 是 的切线,BC 交

于 E.

(Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求∠ACB 的大小.

的切线;

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :

x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点
2 2

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为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M

, N ,求

?C2 MN 的面积.
24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0.

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由

?1 ? i (?1 ? i)(1 ? i) 1? z ? i 得, z ? = = i ,故|z|=1,故选 A. 1? i 1? z (1 ? i)(1 ? i)

考点:本题主要考查复数的运算和复数的模等. 2.【答案】D
o o o o o 【解析】原式= sin 20 cos10 ? cos 20 sin10 = sin 30 =

1 ,故选 D. 2

考点:本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3.【答案】C 【解析】 ? p : ?n ? N , n ? 2 ,故选 C.
2 n

考点:本题主要考查特称命题的否定 4.【答案】A 【 解析 】根 据独 立重 复试 验公 式得 ,该 同学 通过 测试 的概 率为
2 C3 0.62 ? 0.4 ? 0.63 =0.648,故选 A.

考点:本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A 【 解 析 】 由 题 知 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) ,
2 ???? ? ???? ? x0 2 ? y0 ? 1 , 所 以 MF1 ? MF2 = 2

2 2 2 (? 3 ? x0 , ? y0 ) ? ( 3 ? x0 , ? y0 ) = x0 ? y0 ? 3 ? 3 y0 ?1 ? 0 ,解得 ?

3 3 , ? y0 ? 3 3

故选 A. 考点:双曲线的标准方程;向量数量积坐标表示;一元二次不等式解法. 6.【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为 r,则

1 16 ? 2 ? 3r ? 8= r ? ,所以米堆的体积为 4 3 1 1 16 320 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 = ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 4 3 3 9 9
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考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 7.【答案】A 【 解 析









???? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ? 4 ???? 1 ??? AD ? AC ? CD ? AC ? BC ? AC ? ( AC ? AB ) ? = ? AB ? AC ,故选 A. 3 3 3 3
考点:平面向量的线性运算 8.【答案】D

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 ?= , 【解析】 由五点作图知, , 解得 ?=? , 所以 f ( x) ? cos(? x ? ) , ? 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
令 2 k? ? ? x ?

?

4 1 3 间为( 2 k ? , 2 k ? ) , k ? Z ,故选 D. 4 4
考点:三角函数图像与性质 9.【答案】C 【解析】执行第 1 次,t=0.01,S=1,n=0,m= >t=0.01,是,循环,

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2 k ?

1 3 < x < 2 k ? , k ? Z ,故单调减区 4 4

m 1 =0.5,S=S-m=0.5, m ? =0.25,n=1,S=0.5 2 2

m =0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 3 次,S=S-m=0.125, m ? =0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 4 次,S=S-m=0.0625, m ? =0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 5 次,S=S-m=0.03125, m ? =0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 6 次, S=S-m=0.015625, m ? =0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是, 循环, 2 m 执行第 7 次,S=S-m=0.0078125, m ? =0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否, 2
执行第 2 次,S=S-m=0.25, m ? 输出 n=7,故选 C. 考点:本题注意考查程序框图 10.【答案】C 【解析】在 ( x ? x ? y) 的 5 个因式中,2 个取因式中 x 剩余的 3 个因式中 1 个取 x ,
2 5
2

2 1 2 其余因式取 y,故 x y 的系数为 C5 C3C2 =30,故选 C.

5

2

考点:本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数,试题形式新颖,是中档 题,求多项展开式式某一项的系数问题,先分析该项的构成,结合所给多项式,分析如 何得到该项,再利用排列组知识求解. 11.【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球 的 半 径 都 为 r , 圆 柱 的 高 为 2r , 其 表 面 积 为

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1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 2
考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 12.【答案】D 【解析】设 g ( x) = e x (2 x ?1) , y ? ax ? a ,由题知存在唯一的整数 x0 ,使得 g ( x0 ) 在 直线 y ? ax ? a 的下方. 因为 g ?( x) ? e x (2 x ? 1) ,所以当 x ? ?
? 1 以当 x ? ? 时, [ g ( x)]max = -2e 2 , 2 1

1 1 时, g ?( x ) <0,当 x ? ? 时, g ?( x ) >0,所 2 2

当 x ? 0 时, g (0) =-1 , g (1) ? 3e ? 0 ,直线 y ? ax ? a 恒过( 1,0 )斜率且 a ,故

?a ? g (0) ? ? 1,且 g (?1) ? ?3e?1 ? ?a ? a ,解得

3 ≤ a <1,故选 D. 2e

考点:本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 13.【答案】1 【解析】 由题知 y ? ln( x ? a ? x 2 ) 是奇函数, 所以 ln( x ? a ? x2 ) ? ln(? x ? a ? x2 ) = ln(a ? x ? x ) ? ln a ? 0 ,解得 a =1.
2 2

考点:函数的奇偶性
2 2 14.【答案】 ( x ? ) ? y ?

3 2

25 4
2 2 2

【解析】设圆心为( a ,0) ,则半径为 4 ? a ,则 (4 ? a) ? a ? 2 ,解得 a ?
2 2 圆的方程为 ( x ? ) ? y ?

3 ,故 2

3 2

25 . 4

考点:椭圆的几何性质;圆的标准方程 15.【答案】3

y 是可行域内一点与原 x y 点连线的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故 的最大值为 3. x
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,
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考点:线性规划解法 16.【答案】 ( 6 ? 2 , 6+ 2 ) 【解析】如图所示,延长 BA,CD 交于 E,平移 AD,当 A 与 D 重合与 E 点时,AB 最长, 在△BCE 中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得

BC BE ? ,即 sin ?E sin ?C

2 BE ? ,解得 BE = 6+ 2 ,平移 AD ,当 D 与 C 重合时,AB 最短,此时与 o sin 30 sin 75o
AB 交 于 F , 在 △ BCF 中 , ∠ B= ∠ BFC=75 ° , ∠ FCB=30 ° , 由 正 弦 定 理 知 ,

BF BC BF 2 ? ? ,即 ,解得 BF= 6 ? 2 ,所以 AB 的取值 o sin ?FCB sin ?BFC sin 30 sin 75o
范围为( 6 ? 2 , 6+ 2 ).

考点:正余弦定理;数形结合思想 17.【答案】 (Ⅰ) 2n ? 1 (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先用数列第 n 项与前 n 项和的关系求出数列{ an }的递推公式,可以判 断数列 { an } 是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列 { an } 的通项公式; (Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{ bn }的通项公式,再用拆项消去法求其前 n 项和.
2 试题解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 +3 ,因为 an ? 0 ,所以 a1 =3,

1 1 ? 6 4n ? 6



n?2
?1n




?1

2 2 an ? an ? an ?1 ? an?1

=

4Sn ? 3 ? 4Sn?1 ? 3 =

4 an





(an ?

a ) (a ? n

an ? )

, 2a ? (?因为 aa ) ,所以 an ? an?1 =2, n 1 nn ? 0

所以数列{ an }是首项为 3,公差为 2 的等差数列,
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所以 an = 2n ? 1 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn = 所 以 数

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
{



bn

}



n







1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] = ? . b1 ? b2 ? ? ? bn = [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 6 4n ? 6 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
考点:数列前 n 项和与第 n 项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法 18.【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)

3 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1 易证 EG⊥AC,通过计算可证 EG⊥FG,根据线面垂直判定定理可知 EG⊥平面 AFC,由面 面垂直判定定理知平面 AFC⊥平面 AEC; (Ⅱ)以 G 为坐标原点,分别以 GB, GC 的方向 为 x 轴,y 轴正方向, | GB| 为单位长度,建立空间直角坐标系 G-xyz,利用向量法可求 出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值. 试题解析: (Ⅰ) 连接 BD, 设 BD∩AC=G, 连接 EG, FG, EF, 在菱形 ABCD 中, 不妨设 GB=1, 由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3 . 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC 可知,AE=EC, 又∵AE⊥EC,∴EG= 3 ,EG⊥AC, 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2 ,故 DF=

??? ? ??? ?

??? ?

2 . 2

在 Rt△FDG 中,可得 FG=

6 . 2 3 2 2 可得 EF= , 2 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=
2 2 2 ∴ EG ? FG ? EF ,∴EG⊥FG,

∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC, ∵EG ? 面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC.

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(Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB, GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向, | GB| 为单 位长度,建立空间直角坐标系 G-xyz,由(Ⅰ)可得 A(0,- 3 ,0) ,E(1,0, , 2)

??? ? ??? ?

??? ?

F (-1,0, 10 分

??? ? ??? ? 2 2 ) , C (0, 3 , 0) , ∴ AE = (1, 3 , 2 ) ,CF = (-1, - 3, ) .? 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 ? ??? ? ?? 故 cos ? AE, CF ?? ??? . 3 | AE || CF |
所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为

3 . 3

考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力 19.【答案】 (Ⅰ) y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型; (Ⅱ) ? y ? 100.6 ? 68 x (Ⅲ)46.24 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数; (Ⅱ)令 (Ⅲ) (ⅰ) w ? x ,先求出建立 y 关于 w 的线性回归方程,即可 y 关于 x 的回归方程; 利用 y 关于 x 的回归方程先求出年销售量 y 的预报值,再根据年利率 z 与 x、y 的关系 为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值; (ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值, 列出关于 x 的方程, 利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费 用. 试题解析: (Ⅰ)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方 程类型. ( Ⅱ ) 令 w?

x , 先 建 立 y 关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 , 由 于

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?? d

? ( w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

? ( w ? w)
i ?1 i

8

=
2

108.8 =68 , 16

? ? y?d ? w =563-68×6.8=100.6. ∴c
∴ y 关于 w 的线性回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68w , ∴ y 关于 x 的回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68 x . (Ⅲ) (ⅰ)由(Ⅱ)知,当 x =49 时,年销售量 y 的预报值

? y ? 100.6 ? 68 49 =576.6,
? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 . z
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ?13.6 x ? 20.12 , z
∴当 x =

13.6 ? 取得最大值. =6.8 ,即 x ? 46.24 时, z 2

故宣传费用为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.??12 分 考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 20.【答案】 (Ⅰ) ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 (Ⅱ)存在 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求出 M,N 的坐标,再利用导数求出 M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用 设而不求思想即将 y ? kx ? a 代入曲线 C 的方程整理成关于 x 的一元二次方程, 设出 M,N 的坐标和 P 点坐标,利用设而不求思想,将直线 PM,PN 的斜率之和用 a 表示出来,利 用直线 PM,PN 的斜率为 0,即可求出 a , b 关系,从而找出适合条件的 P 点坐标. 试题解析: (Ⅰ) 由题设可得 M (2 a , a) ,N (?2 2, a) , 或 M (? 22 , ) a ,N (2 a , a) . ∵ y? ?

x2 1 x ,故 y ? 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为 2 4

y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故y?

x2 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 (?2 2a, a) 处的切线方程为 4

y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:

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设P (0, b) 为复合题意得点,M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) , 直线 PM, PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x 2 ? 4kx ? 4a ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a . ∴ k1 ? k2 ?

y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k ( a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 P(0, ?a) 符合题意. 考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力

3 5 3 3 ; (Ⅱ)当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 由一个零点;当 a ? ? 4 4 4 4 5 5 3 或 a ? ? 时, h( x) 有两个零点;当 ? ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. 4 4 4
21..【答案】 (Ⅰ) a ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组,解出切点坐标与对应 的 a 值; (Ⅱ)根据对数函数的图像与性质将 x 分为 x ? 1, x ? 1, 0 ? x ? 1 研究 h( x) 的零 点个数,若零点不容易求解,则对 a 再分类讨论. 试题解析: (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相切于点 ( x0 ,0) ,则 f ( x0 ) ? 0 , f ?( x0 ) ? 0 ,

1 ? 3 1 3 ? x0 ? ax0 ? ? 0 即? ,解得 x0 ? , a ? . 4 2 4 ?3x 2 ? a ? 0 ? 0
因此,当 a ?

3 时, x 轴是曲线 y ? f ( x) 的切线. 4

(Ⅱ)当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,从而 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ? g ( x) ? 0 , ∴ h( x) 在(1,+∞)无零点.

5 5 1 ) ?a? ? 0 ,h(1) ? min{ f (1), g (1)} ? g (1) ? 0 ,故 x =1 , 则 f( 4 4 5 5 是 h( x) 的零点;若 a ? ? ,则 f (1) ? a ? ?0 , h(1) ? min{ f (1), g (1)} ? f (1) ? 0 , 4 4
当 x =1 时, 若a ? ? 故 x =1 不是 h( x) 的零点. 当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,所以只需考虑 f ( x ) 在(0,1)的零点个数. (ⅰ)若 a ? ?3 或 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 3x ? a 在(0,1)无零点,故 f ( x ) 在(0,1)单
2

调,而 f (0) ?

1 5 , f (1) ? a ? ,所以当 a ? ?3 时, f ( x ) 在(0,1)有一个零点;当 4 4
试卷第 12 页,总 15 页

a ? 0 时, f ( x) 在(0,1)无零点.
(ⅱ)若 ?3 ? a ? 0 ,则 f ( x ) 在(0, ?

a a )单调递减,在( ? ,1)单调递增, 3 3

故当 x = ?

a a 1 a 2a 时, f ( x ) 取的最小值,最小值为 f ( ? ) = ? ? . 3 3 3 4 3
3 a ) >0,即 ? < a <0, f ( x) 在(0,1)无零点. 4 3 3 a ) =0,即 a ? ? ,则 f ( x) 在(0,1)有唯一零点; 4 3 1 3 5 a ) < 0 , 即 ?3 ? a ? ? , 由 于 f (0) ? , f (1) ? a ? , 所 以 当 4 4 4 3

①若 f ( ?

②若 f ( ?

③若 f( ?

?

5 3 5 ? a ? ? 时, f ( x) 在(0,1)有两个零点;当 ?3 ? a ? ? 时, f ( x) 在(0,1) 4 4 4

有一个零点.?10 分

3 5 3 5 或 a ? ? 时, h( x) 由一个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有 4 4 4 4 5 3 两个零点;当 ? ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. 4 4
综上,当 a ? ? 考点:利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想 22.【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)60° 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由圆的切线性质及圆周角定理知,AE⊥BC,AC⊥AB,由直角三角形中 线性质知 DE=DC,OE=OB,利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°,即∠OED=90°,所以 DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)设 CE=1,由 OA ? 3CE 得,AB= 2 3 ,设 AE= x ,由勾股定理
2 得 BE ? 12 ? x2 ,由直角三角形射影定理可得 AE ? CE ? BE ,列出关于 x 的方程,

解出 x ,即可求出∠ACB 的大小. 试题解析: (Ⅰ)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB, ∵∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是圆 O 的切线. (Ⅱ)设 CE=1,AE= x ,由已知得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x ,
2
2 由射影定理可得, AE ? CE ? BE ,

∴ x ? 12 ? x ,解得 x = 3 ,∴∠ACB=60°.
2 2

试卷第 13 页,总 15 页

考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理 23.【答案】 (Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 , (Ⅱ) C2 的极坐标方程; 将将 ? =

1 2

? 代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 即可求出|MN|, 利用三角形面积公式即 4

可求出 ?C2 MN 的面积. 试题解析: (Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴ C1 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos ? ? ?2 , C2 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .??5 分
(Ⅱ)将 ? =
2 ? 代入 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin? ? 4? 0,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 4

?1 = 2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,
因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系 24.【答案】 (Ⅰ) {x | 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 利用零点分析法将不等式 f (x)>1 化为一元一次不等式组来解; (Ⅱ) 将 f ( x ) 化为分段函数,求出 f ( x ) 与 x 轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面 积,根据题意列出关于 a 的不等式,即可解出 a 的取值范围. 试题解析: (Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|>1, 等 价 于 ?

2 ? x ? 2} (Ⅱ) (2,+∞) 3

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ?x ? 1 或 ? 或 ? , 解 得 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ?x ?1? 2x ? 2 ? 1 ?x ?1? 2x ? 2 ? 1

2 ? x ? 2, 3
所以不等式 f(x)>1 的解集为 {x |

2 ? x ? 2} . 3

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? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x ) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
所 以 函 数 f ( x ) 的 图 像 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为 A(

2a ? 1 , 0) , 3

2 B(2a ? 1,0) , C (a, a+1) ,所以△ABC 的面积为 ( a ? 1) 2 . 3 2 2 由题设得 ( a ? 1) >6,解得 a ? 2 . 3
所以 a 的取值范围为(2,+∞). 考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法

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