2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书：必修5 第1章 1.1.1 正弦定理

1． 1 正弦定理和余弦定理 正弦定理 1．1.1 1．掌握正弦定理及基本应用．(重点) 2．会判断三角形的形状．(难点) 3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 正弦定理 阅读教材 P2～P3 探究下面第 5 行，完成下列问题． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形．( ) ) ) (2)在△ABC 中，等式 bsin A＝asin B 总能成立．( (3)在△ABC 中，若 A＝30° ，a＝2，b＝2 3，则 B＝60° .( 【解析】 (1)√.正弦定理适用于任意三角形． a b (2)√.由正弦定理知sin A＝sin B，即 bsin A＝asin B. a b 2 2 3 3 (3)×.由正弦定理可知sin A＝sin B，即sin 30° ＝sin B，所以 sin B＝ 2 ，则 B ＝60° 或 120° ，又因为 b>a，所以 B>A，故 B＝60° 或 120° . 【答案】 教材整理 2 (1)√ (2)√ (3)× 解三角形 阅读教材 P3“思考”上面倒数第二行～P4 例 2，完成下列问题． 1．一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形 的元素． 2．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1．在△ABC 中，若 A＝60° ，B＝45° ，BC＝3 2，则 AC＝________. 【解析】 所以 AC＝ 【答案】 3 2 AC 由正弦定理得：sin 60° ＝sin 45° ， 3 2×sin 45° ＝2 3. sin 60° 2 3 π 2．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝3，则 C＝________. 【解析】 由正弦定理得： 3 ＝ π sin B， sin 3 3 1 所以 sin B＝2. 又 a>b， 所以 A>B， π 所以 B＝6， ?π π? π 所以 C＝π－?3＋6?＝2. ? ? 【答案】 π 2 3．在△ABC 中，A＝45° ，c＝2，则 AC 边上的高等于_________________． 【解析】 AC 边上的高为 ABsin A＝csin A＝2sin 45° ＝ 2. 【答案】 2 [小组合作型] 已知两角及一边解三角 形 (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75° ，B＝60° ，则 b 等于( 3 2 3 A. 2 B. 2 2 3 6 C.2 D. 2 ) (2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60° ，B＝45° ，则 AC＝________. 【精彩点拨】 (1)可先由角 A，B 求出角 C，然后利用正弦定理求 b. (2)直接利用正弦定理求解． 【自主解答】 (1)因为 A＝75° ，B＝60° ，所以 C＝180° －75° －60° ＝45° . b c 因为 c＝ 3，根据正弦定理sin B＝sin C， 3 3× 2 csin B 3 2 得 b＝ sin C ＝ ＝ 2 . 2 2 AC BC (2)由正弦定理知：sin B＝sin A， AC 12 则sin 45° ＝sin 60° ， 解得 AC＝4 6. 【答案】 (1)A (2)4 6 已知两角及一边的三角形解题方法： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角 和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再 由正弦定理求另外两边． [再练一题] 1．在△ABC 中，AB＝ 6，∠A＝75° ，∠B＝45° ，则 AC＝________. AB AC 6 【解析】 ∠C＝180° －75° －45° ＝60° ， 由正弦定理得sin C＝sin B， 即sin 60° AC ＝sin 45° ，解得 AC＝2. 【答案】 2 已知两边及一边的对角解三角 形 π (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 A＝6，a ＝1，b＝ 3，则 B＝________. (2)在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝6，A＝30° ，求 B，C 和 c. 【精彩点拨】 题． (2)先利用正弦定理求角 B，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边 c. a b π 【自主解答】 (1)由正弦定理，得sin A＝sin B.把 A＝6，a＝1，b＝ 3代入， 3 π 2π 解得 sin B＝ 2 .因为 b＞a，所以 B＞A，结合题意可知 B＝3或 3 . 【答案】 π 2π 3或 3 bsin A 6sin 30° 3 a ＝ 2 3 ＝ 2 ，又 a＝2 3，b＝6，a<b， (1)由正弦定理的特点，直接求解．注意三角形解的个数问 (2)由正弦定理得 sin B＝ ∴B＝60° 或 120° . asin C 2 3sin 90° 当 B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sin A ＝ sin 30° ＝4 3； asin C 2 3sin 30° 当 B＝120° 时，C＝30° ，c＝ sin A ＝ sin 30° ＝2 3. 综上 B＝60° ，C＝90° ，c＝4 3或 B＝120° ，C＝30° ，c＝2 3. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边 的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角， 这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [再练一题] π 2．在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A，B，b. 【解】 a c ∵sin A＝sin C， asin C 2 c ＝2， ∴sin A＝ π 3 ∴A＝4或4π.