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2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书:必修5 第1章 1.1.1 正弦定理

1. 1 正弦定理和余弦定理 正弦定理 1.1.1 1.掌握正弦定理及基本应用.(重点) 2.会判断三角形的形状.(难点) 3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 正弦定理 阅读教材 P2~P3 探究下面第 5 行,完成下列问题. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形.( ) ) ) (2)在△ABC 中,等式 bsin A=asin B 总能成立.( (3)在△ABC 中,若 A=30° ,a=2,b=2 3,则 B=60° .( 【解析】 (1)√.正弦定理适用于任意三角形. a b (2)√.由正弦定理知sin A=sin B,即 bsin A=asin B. a b 2 2 3 3 (3)×.由正弦定理可知sin A=sin B,即sin 30° =sin B,所以 sin B= 2 ,则 B =60° 或 120° ,又因为 b>a,所以 B>A,故 B=60° 或 120° . 【答案】 教材整理 2 (1)√ (2)√ (3)× 解三角形 阅读教材 P3“思考”上面倒数第二行~P4 例 2,完成下列问题. 1.一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形 的元素. 2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 1.在△ABC 中,若 A=60° ,B=45° ,BC=3 2,则 AC=________. 【解析】 所以 AC= 【答案】 3 2 AC 由正弦定理得:sin 60° =sin 45° , 3 2×sin 45° =2 3. sin 60° 2 3 π 2.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,A=3,则 C=________. 【解析】 由正弦定理得: 3 = π sin B, sin 3 3 1 所以 sin B=2. 又 a>b, 所以 A>B, π 所以 B=6, ?π π? π 所以 C=π-?3+6?=2. ? ? 【答案】 π 2 3.在△ABC 中,A=45° ,c=2,则 AC 边上的高等于_________________. 【解析】 AC 边上的高为 ABsin A=csin A=2sin 45° = 2. 【答案】 2 [小组合作型] 已知两角及一边解三角 形 (1)在△ABC 中,c= 3,A=75° ,B=60° ,则 b 等于( 3 2 3 A. 2 B. 2 2 3 6 C.2 D. 2 ) (2)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60° ,B=45° ,则 AC=________. 【精彩点拨】 (1)可先由角 A,B 求出角 C,然后利用正弦定理求 b. (2)直接利用正弦定理求解. 【自主解答】 (1)因为 A=75° ,B=60° ,所以 C=180° -75° -60° =45° . b c 因为 c= 3,根据正弦定理sin B=sin C, 3 3× 2 csin B 3 2 得 b= sin C = = 2 . 2 2 AC BC (2)由正弦定理知:sin B=sin A, AC 12 则sin 45° =sin 60° , 解得 AC=4 6. 【答案】 (1)A (2)4 6 已知两角及一边的三角形解题方法: (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角 和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再 由正弦定理求另外两边. [再练一题] 1.在△ABC 中,AB= 6,∠A=75° ,∠B=45° ,则 AC=________. AB AC 6 【解析】 ∠C=180° -75° -45° =60° , 由正弦定理得sin C=sin B, 即sin 60° AC =sin 45° ,解得 AC=2. 【答案】 2 已知两边及一边的对角解三角 形 π (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A=6,a =1,b= 3,则 B=________. (2)在△ABC 中,已知 a=2 3,b=6,A=30° ,求 B,C 和 c. 【精彩点拨】 题. (2)先利用正弦定理求角 B,再利用内角和定理求解,由正弦定理求边 c. a b π 【自主解答】 (1)由正弦定理,得sin A=sin B.把 A=6,a=1,b= 3代入, 3 π 2π 解得 sin B= 2 .因为 b>a,所以 B>A,结合题意可知 B=3或 3 . 【答案】 π 2π 3或 3 bsin A 6sin 30° 3 a = 2 3 = 2 ,又 a=2 3,b=6,a<b, (1)由正弦定理的特点,直接求解.注意三角形解的个数问 (2)由正弦定理得 sin B= ∴B=60° 或 120° . asin C 2 3sin 90° 当 B=60° 时,C=90° ,c= sin A = sin 30° =4 3; asin C 2 3sin 30° 当 B=120° 时,C=30° ,c= sin A = sin 30° =2 3. 综上 B=60° ,C=90° ,c=4 3或 B=120° ,C=30° ,c=2 3. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法: (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边 的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角, 这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. [再练一题] π 2.在△ABC 中,c= 6,C=3,a=2,求 A,B,b. 【解】 a c ∵sin A=sin C, asin C 2 c =2, ∴sin A= π 3 ∴A=4或4π.

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