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高中数学第三章导数及其应用33导数在研究函数中的应用教学案新人教A版选修1 1(数学教案)

3.3 导数在研究函数中的应用 第 1 课时 函数的单调性与导数 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P89~P93 的内容,回答下列问题. (1)观察教材 P89 图 3.3-1,回答下列问题: ①函数 h(t)=-4.9t +6.5t+10 在区间(0, a)上的单调性是什么?h′(t)的符号是正 还是负? 提示:h(t)在_(0,a)上为增函数,h′(t)>0. ②函数 h(t)=-4.9t +6.5t+10 在区间(a, b)上的单调性是什么?h′(t)的符号是正 还是负? 提示:h(t)在(a,b)上为减函数,h′(t)<0. (2)观察教材 P90 图 3.3-2. 函数的单调性与其导函数的正负有什么关系? 提示:①在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=1>0,y(x)是增函数; ②在区间(-∞,0)内,y′(x)=2x<0,y(x)是减函数; 在区间(0,+∞)内,y′(x)=2x>0,y(x)是增函数; ③在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=3x ≥0,y(x)是增函数; 1 ④在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′(x)=- 2<0,y(x)是减函数. 2 2 2 x (3)观察教材 P93 图 3.3-7, 函数 f(x)在(0, a)和(a, +∞)上都是单调递增的, 但在(0, a)内的图象“陡峭” ,在(a,+∞)内的图象“平缓” ,试比较 f(x)在(0,a)和(a,+∞)内 导数的大小有什么关系? 提示:在(0,a)上的导数值大于在(a,+∞)上的导数值. 1 (4)观察函数 f(x)= , x∈(0,+∞)的图象,试比较图象在(0,1)和(1,+∞)上的“陡 x 峭”或“平缓”与 f′(x)在(0,1)和 (1,+∞)内的大小有什么关系? 提示:在(0,1)内图象“陡峭” ,在(1,+∞)内图象“平缓” ,导函数 f′(x)在(0,1) 内的绝对值大于在(1,+∞)内的绝对值. 1 2.归纳总结,核心必记 (1)函数的单调性与其导数正负的关系 一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系: 导数 函数的单调性 单调递增 单调递减 常数函数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 (2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上: 导数的绝对值 越大 越小 函数值变化 快 慢 函数的图象 比较“陡峭”(向上或向下) 比较“平缓”(向上或向下) [问题思考] (1)如果在区间(a,b)内恒有 f′(x)=0,则 f(x)有什么特性? 提示:f(x)为常数函数,不具有单调性. (2)在区间(a,b)内,若 f′(x)>0,则 f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗? 提示:不一定成立.比如 y=x 在 R 上为增函数,但其在 x=0 处的导数等于零.也就 是说 f′(x)>0 是 y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件. (3)下图为导函数 y=f′(x)的图象,则函数 y=f(x)的单调区间是什么? 3 提示:单调递增区间:(-∞,-3],[-2,1],[3,+∞); 单调递减区间:[-3,-2],[1,3]. [课前反思] (1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系? ; (2)函数图象的变化趋势与导数值的大小有什么关系? . 2 讲一讲 1.(1)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的 图象可能为( ) (2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象只可能是 ( ) [尝试解答] (1)由函数的图象可知:当 x<0 时,函数单调递增,导数始终为正;当 x>0 时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,应选 D. (2)从 f′(x)的图象可以看出, 在区间?a, 导数单调递减.即函数 f(x)的图象在?a, 此可知,只有选项 D 符合. [答案] (1)D (2)D ? ? a+b? ?a+b,b?内, 内, 导数单调递增; 在区间? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? a+b? ?a+b,b?内越来越平缓,由 内越来越陡,在? ? 2 ? ? ? 2 ? 研究函数与导函数图象之间关系的方法 3 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时, 注意抓住各自的关键要素, 对于原 函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应 注意其函数值在哪个区间内大于零, 在哪个区间内小于零, 并分析这些区间与原函数的单调 区间是否一致. 练一练 1.(1)函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数的图象大致是( ) 解析:选 D 因为函数 f(x)在(0,+∞)和(-∞,0)上都是单调递减的,即 f′(x)<0. (2)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的递增区间是 ________. 解析: 由图象可知, f′(x)>0 的解集为(-∞, 0)∪(2, +∞), 故 f(x)的递增区间为(- ∞,0),(2,+∞). 答案:(-∞,0),(2,+∞) [思考 1] 若函数 f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则 f′(x)满足什么条件? 名师指津:f′(x)≥0(或 f′(x)≤0). [思考 2] 若函数 f(x)在(a,b)上满足 f′(x)>0(或 f′(x)<0),则 f(x)在(a,b)上具 备什么样的单调性? 名师指津:若 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上为增函数;若 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b) 上为减函数. [思考 3] 如何判断(证明)可导函数 f(x)在(a,b)上的单调性? 名师指津:利用 f′(x)的符号,规律方法同[思考 2]. 讲一讲 2.求证:函数 f(x)=e

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