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2019届高考数学复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理学案理北师大版

§3.3 最新考纲 定积分与微积分基本定理 考情考向分析 利用定积分求平面图形的面积,定积分的计 算是高考考查的重点. 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基 本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.定积分的定义 给定一个在区间[a,b]上的函数 y=f(x): 将[a,b]区间分成 n 份,分点为 a=x0<x1<x2<?<xn-1<xn=b. 第 i 个小区间为[xi-1,xi],设其长度为 Δ xi,在这个小区间上取一点 ξ i,使 f(ξ i)在[xi- 1 ,xi]上的值最大.设 S=f(ξ 1)Δ x1+f(ξ 2)Δ x2+?+f(ξ i)Δ xi+?+f(ξ n)Δ xn.在这个 小区间上取一点 ζ i,使 f(ζ i)在[xi-1,xi]上的值最小,设 s=f(ζ 1)Δ x1+f(ζ 2)Δ x2+? +f(ζ i)Δ xi+?+f(ζ n)Δ xn. 如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于 0,S 与 s 的差也趋于 0,此时 S 与 s 同时趋于 某一个固定的常数 A,称 A 是函数 y=f(x)在区间[a,b]上的定积分. 记作 ? af(x)dx,即 ? af(x)dx=A. 2.定积分的性质 ①? a1dx=b-a. ②? akf(x)dx=k? af(x)dx. ③? a[f(x)±g(x)]dx=? af(x)dx±? ag(x)dx. ④? af(x)dx=? af(x)dx+? cf(x)dx. 3.微积分基本定理 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数,即 f(x)=F′(x),则有 ? af(x)dx=F(b)-F(a). 知识拓展 1.定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值为 负;当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零. b b c b b b b b b b b b 2.若函数 f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 (1)若 f(x)为偶函数,则 ? -af(x)dx=2? 0f(x)dx. (2)若 f(x)为奇函数,则 ? -af(x)dx=0. a a a 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则 ? √ ) af(x)dx=? af(t)dt.( (2)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,则 ? √ ) af(x)dx>0.( (3)若 ? af(x)dx<0,那么由 y=f(x),x=a,x=b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下 方.( ? ) (4)曲线 y=x 与 y=x 所围成图形的面积是 ? ? 0(x -x)dx.( 题组二 教材改编 2.? 2 e+1 2 1 2 b b b b ) 1 x-1 dx= . 答案 1 解析 ? 2 0 e+1 1 2 x-1 dx=ln(x-1)|2 =ln e-ln 1=1. . e+1 3.? 1-x dx= -1 答案 π 4 0 2 解析 ? 1-x dx 表示由直线 x=0,x=-1,y=0 以及曲线 y= 1-x 所围成的图形的面 -1 积, π 0 2 ∴? 1-x dx= . -1 4 4.汽车以 v=(3t+2)m/s 作变速直线运动时,在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的位移是 m. 答案 13 2 2 2 解析 s=? 1(3t+2)dt= ?3t2+2t?|2 ?2 ? 1 ? ? 3 7 13 ?3 ? = ?4+4-? +2?=10- = (m). 2 2 2 2 ? ? 题组三 易错自纠 5.直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A.2 2 B.4 2 C.2 D.4 3 ) 答案 D 解析 如图,y=4x 与 y=x 的交点为 A(2,8), 3 图中阴影部分即为所求图形面积. 2 3 S 阴=? 0(4x-x )dx = ?2x2-1x4?|2 ? 0 4 ? ? ? 1 4 =8- ?2 =4,故选 D. 4 6.若 ? 0x dx=9,则常数 T 的值为 答案 3 1 3 T 1 3 T 2 解析 ∵? 0x dx= x |0= T =9,∴T=3. 3 3 ? ?x ,-1≤x≤0, 7.已知 f(x)=? ?1,0<x≤1, ? 2 T 2 . 则? -1f(x)dx 的值为 1 . 答案 4 3 1 0 2 1 解析 ? -1f(x)dx=? -1x dx+? 01dx x 0 1 4 1 = |-1+x|0= +1= . 3 3 3 3 题型一 定积分的计算 1.? dx 的值为( -1e A.2 C.2e-2 答案 C 解析 ? dx=? dx+? -1e -1e 0e dx 1 |x| 0 -x 1 x 1 |x| ) B.2e D.2e+2 =-e |-1+e |0=[-e -(-e)]+(e-e ) =-1+e+e-1=2e-2,故选 C. ?x ,x∈[0,1], ? 2.(2017?昆明检测)设 f(x)=? ? ?2-x,x∈?1,2], 2 -x 0 x 1 0 0 则? 0f(x)dx 等于( 3 4 A. B. 4 5 答案 C 5 C. 6 2 ) D.不存在 解析 如图,? 0f(x)dx=? 0x dx+? 1(2-x)dx 2 1 2 2 1 2? 2 1 3 1 ? = x |0+?2x- x ?|1 2 ? 3 ? 1? 5 1 ? = +?4-2-2+ ?= . 2? 6 3 ? 3.(2018?唐山调研)定积分 ? -1(x +sin x)dx= 答案 2 3 1 2 1 2 . 解析 ? -1(x +

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