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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:8.3 圆的方程


8.3 圆的方程

考点梳理 一、圆的方程的两种形式 1.圆的标准方程 (a,b) ,半径为 (x-a)2+(y-b)2=r2,方程表示圆心为__________ ______ 的圆. r

2.圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)当 D2+E2-4F>0 1 2 2 D + E -4F 的圆; 为________________ 2 (2)当 D2+E2-4F=0
? D E? ?- ,- ? 2 ? ,半径 时,表示圆心为____________ ? 2

? D E? ?- ,- ? 2? ; ? 2 时,表示一个点_____________

(3)当 D2+E2-4F<0 时,它不表示任何图形.

二、点与圆的位置关系 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心 A(a,b),半径 r,
2 r 若点 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a) +(y0-b) =______;
2 2

若点 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2______ >r2 ;

<r2 若点 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2______.

考点自测 1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3)

)

解析:原式化为(x-2)2+(y+3)2=13,可知圆心坐标为(2, -3). 答案:D

2.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则实数 a 的 取值范围是( ) 1 A.{a||a|<1} B.{a||a|<5} 1 1 C.{a||a|<12} D.{a||a|<13}

解析:当点 P 在圆的内部时,点 P 到圆心的距离小于该圆 1 1 2 2 2 的半径,即有(5a) +(12a) <1?a <132?|a|<13. 答案:D

(

3.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为 ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8

解析:线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)的两端点分别为(2,0)、 (0,2),所以圆心为(1,1), 1 2 2 又因为圆半径为2 2 +2 = 2, 所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 答案:B

(

4 .方程 x2 + y2 + 4mx - 2y + 5m = 0 表示圆的充要条件是 ) 1 1 A.4<m<1 B.m<4或 m>1 1 C.m<4 D.m>1

解析:由 D2+E2-4F=16m2+4-20m>0, 1 解得:m>1 或 m<4,故选 B. 答案:B

5.圆心在 y 轴上,半径为 5 且过点 A(3,-4)的圆的方程为 __________________________.

解析:设圆心为(0,b),则 ?0-3?2+?b+4?2=5, 即 b2+8b=0,则 b=0 或 b=-8. 故圆的方程为:x2+y2=25 或 x2+(y+8)2=25. 答案:x2+y2=25 或 x2+(y+8)2=25

疑点清源 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准方 程,一般步骤为: (1)根据题意,设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组; (3)解方程组,并把它们代入所设的方程中,整理后,就得到 所求. 求圆的标准方程时,尽量利用圆的几何性质,可以大大地减 少计算量.

2.如果已知条件中圆心的位置不能确定,可考虑选择圆的 一般方程,圆的一般方程也含有三个独立的参数,因此,必须具 备三个独立的条件,才能确定圆的一般方程,其方法仍采用待定 系数法.设所求圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,由三个条 件得到关于 D、E、F 的一个三元一次方程组,解方程组,求出 参数 D、E、F 的值即可.

题型探究 题型一 求圆的方程 例 1 根据下列条件求圆的方程: (1)经过点 P(1,1)和坐标原点, 并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于 点 P(3,-2); (3)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2).

解析: (1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意列出方程组
2 2 2 ?a +b =r , ?a=4, ? ? 2 2 2 ??a-1? +?b-1? =r , 解之得?b=-3, 2 ? ? ?2a+3b+1=0, ?r =25. ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

(2)方法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

? ?b=-4a, ??3-a?2+?-2-b?2=r2, 则有? ?|a+b-1| =r. ? 2 ? 解得 a=1,b=-4,r=2 2. ∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 方法二: 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x-3, 与 y=-4x 联立可求得圆心为(1,-4). ∴半径 r=2 2, ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

(3)方法一:设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

?1+144+D+12E+F=0, ? 则?49+100+7D+10E+F=0, ? ?81+4-9D+2E+F=0. 解得:D=-2,E=-4,F=-95. ∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-95=0.

方法二:由 A(1,12),B(7,10), 1 得 A、B 的中点坐标为(4,11),kAB=-3, 则 AB 的中垂线方程为:3x-y-1=0. 同理得 AC 的中垂线方程为:x+y-3=0. ? ? ?3x-y-1=0, ?x=1, ? 联立 得? ? ? ?x+y-3=0, ?y=2, 即圆心坐标为(1,2), 半径 r= ?1-1?2+?2-12?2=10. ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.

点评:求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一 般来说,求圆的方程有两种方法: ①几何法,通过研究圆的性质而求出圆的基本量; ②代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.

变式探究 1 求满足下列条件的圆的方程: (1)圆心在 x 轴上,半径为 5,且过点 A(2,-3); (2)过点 A(1,2)和 B(1,10),且与直线 x-2y-1=0 相切.

解析: (1)设圆心在 x 轴上、 半径为 5 的圆的方程为(x-a)2+y2=52. ∵点 A 在圆上,∴(2-a)2+(-3)2=25, 解得 a=-2 或 a=6. 故所求圆的方程为 (x+2)2+y2=25 或(x-6)2+y2=25.

(2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,线段 AB 的垂直 平分线为 y=6,而所求圆的圆心在直线 y=6 上,所以圆心坐标 为(a,6). 因为直线 x-2y-1=0 与圆相切, |a-2×6-1| 所以 = ?a-1?2+?6-2?2, 1+4 2 解得 a1=-7,a2=3,∴r2 1=80,r2=20. ∴所求圆的方程为(x+7)2+(y-6)2=80,或(x-3)2+(y-6)2 =20.

题型二 与圆有关的最值问题 例 2 如果实数 x,y 满足 x2+y2-4x+1=0,求: y (1)x的最大值; (2)y-x 的最小值; (3)x2+y2 的最值.

解析: y (1)设x=k,得 y=kx,所以 k 为过原点的直线的斜率. 又 x2+y2-4x+1=0 表示以(2,0)为圆心,半径为 3的圆,如 图所示. 当直线 y=kx 与已知圆相切且切点在第一象限时 k 最大.此 时: |CP|= 3,|OC|=2. ∴Rt△POC 中,∠POC=60° , k=tan60° = 3. y ∴x的最大值为 3.

(2)设 y-x=b,即为直线 y=x+b,b 为直线在 y 轴上截距, 如图所示. 当直线 y=x+b 与圆有公共点时,当且仅当直线与圆相切, 且切点在第四象限,b 最小. |2+b| 此时,圆心(2,0)到直线的距离为 3,即 2 2= 3, 1 +1 解得 b=- 6-2 或 b= 6-2(舍). ∴y-x 最小值为- 6-2.

(3)方法 1: x2+y2表示圆上一点到原点距离, 其最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. ∴(x2+y2)max=(2+ 3)2=7+4 3, (x2+y2)min=(2- 3)2=7-4 3. 方法 2:由 x2+y2-4x+1=0 得(x-2)2+y2=3 ? ?x=2+ 3cosθ, 设? (θ 为参数), ? ?y= 3sinθ 则 x2+y2=(2+ 3cosθ)2+( 3sinθ)2=7+4 3cosθ. ∴当 cosθ=-1 时,(x2+y2)min=7-4 3, 当 cosθ=1 时,(x2+y2)max=7+4 3. 点评:涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数 形结合求解.

变式探究 2 已知 x、y 满足 y=3- 4x-x2,则使 x+2y+ 2a≤0 恒成立的 a 的取值范围是( ) A.[ 5-4, 5+4] B.(-∞,-5] C.[-5,+∞) D.(-∞, 5-4]

解析:化简已知条件得(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3).要使得 x +2y+2a≤0 恒成立,则 2a≤-(x+2y)恒成立.原题转化为求- (x+2y)的最小值, 由圆的知识可知, 该函数图象是以(2,3)为圆心, 2 为半径的圆的下半圆.用数形结合的方法容易知道当 x=4,y =3 时-(x+2y)取得最小值为-10,故 2a≤-10,解得 a≤-5, 故选 B. 答案:B

题型三 与圆有关的轨迹问题 例 3 设定点 M(-3,4), 动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹.

解析:如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点 ?x0-3 y0+4? ?x y? ? 坐标为?2,2?,线段 MN 的中点坐标为? . , ? 2 2 ? ? ? ? ?

因为平行四边形的对角线互相平分, ? ?x0=x+3, x x0-3 y y0+4 故2= 2 ,2= 2 ,从而? ? ?y0=y-4. N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求 P 点的轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4, ? 9 12? ? 21 28? 但应除去两点:?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?(点 P 在 OM 所在的 ? ? ? ? 直线上时的情况).

点评:求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采 用以下方法:直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;定义 法,根据圆、直线等定义列方程;几何法,利用圆与圆的几何性 质列方程;代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满 足的关系式等.

变式探究 3 已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆 内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90° ,求 PQ 中点的轨迹方程.

解析: (1)设 AP 中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标 为(2x-2,2y). ∵P 点在圆 x2+y2=4 上,∴(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设 PQ 的中点 N(x,y),在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|,设 O 为坐标原点,连结 ON,则 ON⊥PQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2 所以 x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故 PQ 中点 N 的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.

名师归纳 ?方法与技巧 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件. “选形式、定 参数”是求圆的方程的基本方法: 是指根据题设条件恰当选择圆 的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性 质,简化运算. ?失误与防范 1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆 的方程都要列出系数的三个独立方程. 2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求 出一个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况.

随堂检测 1.(2013· 重庆卷)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x -3)2+(y-4)2=9,M、N 分别是圆 C1、C2 上的动点,P 为 x 轴 上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5 2-4 B. 17-1 C.6-2 2 D. 17

解析: 本题考查在定直线上求一点到两定点的距离之和的最小值 及与圆有关的最值问题. 依题意,设⊙C1 关于 x 轴的对称圆为⊙C′,圆心 C′为(2, -3), 半径为 1, ⊙C2 的圆心为(3,4), 半径为 3, 则(|PC′|+|PC2|)min =|C′C2|=5 2, ∴(|PM|+|PN|)min=(|PC′|+|PC2|)min-(1+3)=5 2-4 答案:A

2. (2014· 合肥检测)圆(x+2)2+(y+1)2=4 上存在两相异点关 于过点(0,1)的直线 l 对称,则直线 l 的方程为__________.

解析:由题意知直线 l 经过圆心(-2,-1),∴直线的方程 -1-1 为 y-1= x,即 x-y+1=0. -2 答案:x-y+1=0

3.(2014· 南京模拟)已知圆 C 经过直线 2x-y+2=0 与坐标 轴的两个交点,又经过抛物线 y2=8x 的焦点,则圆 C 的方程为 __________.

解析: 直线 2x-y+2=0 与坐标轴的交点为 A(-1,0), B(0,2), 抛物线 y2=8x 的焦点为 D(2,0),可把圆 C 的方程设为一般形式, 把点 A,B,D 的坐标代入,可求得圆 C 的方程为 x2+y2-x-y -2=0. 答案:x2+y2-x-y-2=0


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