3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

2019_2020学年高中数学第1章集合与函数概念1.3.2奇偶性(第2课时)奇偶性的应用课件新人教A版_图文

第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性
第2课时 奇偶性的应用

学习目标

核心素养

1.会根据函数奇偶性求函数值或 1.利用奇偶性求函数的解析式,

解析式.

培养逻辑推理素养.

2.能利用函数的奇偶性与单调性 2.借助奇偶性与单调性的应用提

分析、解决较简单的问题.

升逻辑推理、数学运算素养.

合作探究 提素养

用奇偶性求解析式
【例 1】 (1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 当 x>0 时,f(x)=-x+1,求 f(x)的解析式;
(2)设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x-1 1,求函数 f(x),g(x)的解析式.

思路点拨:(1)

设x<0,则-x>0

当x>0 f(―x)―=――-→x+1

求f(-x)

奇――函→数

得x<0时f(x)的解析式

奇函数 ―的―性――质→

f(0)=0 ―分―段―函―数→

f(x)的解析式

(2) f(x)+g(x)=x-1 1 ―用―-―x―代―式―中―x→

得f(-x)+g(-x)=-x1-1 奇――偶→性

得f(x)-g(x)=-x+1 1 ―解―方―程―组→ 得f(x),g(x)的解析式

[解] (1)设 x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当 x<0 时,f(x)=-x-1. 又 x=0 时,f(0)=0,
?-x-1,x<0,
?
所以 f(x)=?0,x=0, ??-x+1,x>0.

(2)∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).

由 f(x)+g(x)=x-1 1,



用-x 代替 x 得 f(-x)+g(-x)=-x1-1,

∴f(x)-g(x)=-x1-1,



(①+②)÷2,得 f(x)=x2-1 1; (①-②)÷2,得 g(x)=x2-x 1.

1.把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”,当“x>0”改为 “x≥0”,再求 f(x)的解析式.
[解] 设 x≤0,则-x≥0,则 f(-x)=x+1. 又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=x+1. 故 f(x)的解析式为 f(x)=???x-+x1+,1x,≤x>0,0.

2.把本例(2)的条件“f(x)是偶函数,g(x)是奇函数”改为“f(x) 是奇函数,g(x)是偶函数”,再求 f(x),g(x)的解析式.

[解] ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

又 f(x)+g(x)=x-1 1,



用-x 代替上式中的 x,得

f(-x)+g(-x)=-x1-1,

即 f(x)-g(x)=x+1 1.



联立①②得

f(x)=x2-x 1,g(x)=x2-1 1.

利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”,既在哪个区间上求解析式,x 就应在哪个区间 上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性写出-f(x)或 f(-x),从而解出 f(x). 提醒:若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数,则必有 f(0)=0, 但若为偶函数,未必有 f(0)=0.

函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题] 1.如果奇函数 f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么 f(x)在(-b,-a)上的单调性如何? 如果偶函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么 f(x)在(-b,-a) 上的单调性如何? 提示:如果奇函数 f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么 f(x)在(-b, -a)上单调递增;如果偶函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么 f(x) 在(-b,-a)上单调递增.

2.你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来? 提示:奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关 于原点对称的区间上单调性相反. 3.若偶函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增,那么 f(3)和 f(-2)的大 小关系如何?若 f(a)>f(b),你能得到什么结论?
提示:f(-2)>f(3),若 f(a)>f(b),则|a|<|b|.

角度一 比较大小问题

【例 2】 函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶

函数,则下列结论成立的是( )

A.f(1)<f????52????<f????72 ????

B.f????72????<f(1)<f????52????

C.f????72????<f????52????<f(1)

D.f????52????<f(1)<f????72 ????

思路点拨: y=f(x+2)是偶函数 ―→

f(x)的图象关于x=2对称 ―[0递 ,――增 2]上→ 比较大小

B [∵函数 f(x+2)是偶函数, ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,∴f????52????=f????32????,f????72????=f????12????, 又 f(x)在[0,2]上单调递增, ∴f????12????<f(1)<f????32????,即 f????72????<f(1)<f????52????.]

比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上. (1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小; (2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到 同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.

1.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函 数,则 f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)

A [由偶函数与单调性的关系知,若 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函 数,则 x∈(-∞,0)时,f(x)是减函数,故其图象的几何特征是自变量 的绝对值越小,则其函数值越小,∵|-2|<|-3|<π,∴f(π)>f(-3) >f(-2),故选 A.]

角度二 解不等式问题 【例 3】 已知定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是 减函数,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围.

[解] 因为 f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上是减
函数,所以 f(x)在[-2,2]上为减函数.
?-2≤1-m≤2,
?
又 f(1-m)<f(m),所以?-2≤m≤2, ??1-m>m,
??-1≤m≤3, 即???-21≤m≤2,解得-1≤m<21.
??m<2. 故实数 m 的取值范围是-1≤m<12.

解有关奇函数 f(x)的不等式 f(a)+f(b)<0,先将 f(a)+f(b)<0 变形 为 f(a)<-f(b)=f(-b),再利用 f(x)的单调性去掉“f”,化为关于 a,b 的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我 们要利用偶函数的性质 f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将 f(g(x))中的 g(x)全部化到 同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号 f,使不等式得解.

2.函数 f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函

数,f(3)<f(2a+1),则 a 的取值范围是( )

A.a>1

B.a<-2

C.a>1 或 a<-2

D.-1<a<2

C [因为函数 f(x)在实数集上是偶函数,且 f(3)<f(2a+1),所以

f(3)<f(|2a+1|),又函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以 3<|2a+1|,

解之得 a>1 或 a<-2.故选 C.]

1.具有奇偶性的函数的单调性的特点 (1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性. (2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性.

2.利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系 式 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x),但要注意求给定哪个区间的解析式就 设这个区间上的变量为 x,然后把 x 转化为-x(另一个已知区间上的 解析式中的变量),通过适当推导,求得所求区间上的解析式.
3.偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0, +∞)上,避免分类讨论.

当堂达标 固双基

1.思考辨析

(1)奇函数 f(x)=1x,当 x>0 时的解析式与 x<0 时的解析式相同,

所以一般的奇函数在(0,+∞)上的解析式与(-∞,0)上的解析式也相

同.

()

(2)对于偶函数 f(x),恒有 f(x)=f(|x|).

()

(3)若存在 x0 使 f(1-x0)=f(1+x0),则 f(x)关于直线 x=1 对称.

()

(4) 若奇函数 f(x)在(0,+∞)上有最小值 a,则 f(x)在(-∞,0)上

有最大值-a.

()

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2.已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则( )

A.f(1)>f(2)

B.f(1)<f(2)

C.f(1)=f(2)

D.以上都有可能

A [∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(1)>f(2),故选 A.]

3.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)<f(b),

则一定可得( )

A.a<b

B.a>b

C.|a|<|b|

D.0≤a<b 或 a>b≥0

C [∵f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数, ∴由 f(a)<f(b)可得|a|<|b|.]

4.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x2+x-2, 求 f(x),g(x)的表达式.
[解] f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 得,f(x)-g(x)=x2-x-2,又 f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得 f(x) =x2-2,g(x)=x.


xaairways.com tuchengsm.com gaizaoahe.com
网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语 | xaairways.com | tuchengsm.com | gaizaoahe.com
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com