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数学(理):专题4.1+数列的通项公式与求和(解析版)


2017 年高考备考之 3 年高考 2 年模拟 1 年原创

【三年高考】 1. 【2016 高考浙江理数】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4, an+1=2Sn+1, n∈N*, 则 a1= S5= . ,

【答案】

121

2. 【2016 高考山东理数】已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, ?bn ? 是等差数列,且

an ? bn ? bn?1.
(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

(an ? 1) n?1 . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2) n

【解析】 (Ⅰ)由题意知当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 6n ? 5 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 11, 所以 an ? 6n ? 5 .设数列 ?bn ? 的公差为 d ,由 ?

?a1 ? b1 ? b2 ?11 ? 2b1 ? d ,即 ? ,可解得 ?17 ? 2b1 ? 3d ?a 2 ? b2 ? b3

b1 ? 4, d ? 3 ,所以 bn ? 3n ? 1.

-1-

100? .对数列 ?an ? n ? N * 和 U 的子集 T,若 T ? ? , 3. 【2016 高考江苏卷】记 U ? ?1,2,…,
定义 ST ? 0 ;若 T ? ?t1 , t2 ,…,tk ? ,定义 ST ? at1 ? at2 ? …+atk .例如: T = ?1,3,66? 时,

?

?

ST ? a1 ? a3 +a66 .现设 ?an ? ? n ? N * ? 是公比为 3 的等比数列,且当 T = ?2, 4? 时, ST =30 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

k? ,求证: ST ? ak ?1 ; (2)对任意正整数 k ?1 ? k ? 100? ,若 T ? ?1,2,…,
(3)设 C ? U , D ? U , SC ? SD ,求证: SC ? SC?D ? 2SD . 【解析】 (1)由已知得 an ? a1 ? 3
n?1

, n ? N * .于是当 T ? {2, 4} 时,

Sr ? a2 ? a4 ? 3a1 ? 27a1 ? 30a1 .又 Sr ? 30 ,故 30a1 ? 30 ,即 a1 ? 1 .所以数列 {an } 的通项
公式为 an ? 3
n ?1

, n ? N* .
n?1

(2)因为 T ? {1, 2,?, k} , an ? 3

? 0, n ? N * ,所以

1 Sr ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? 1 ? 3 ? ? ? 3k ?1 ? (3k ? 1) ? 3k .因此, Sr ? ak ?1 . 2
(3)下面分三种情况证明.①若 D 是 C 的子集,则 SC ? SC ?D ? SC ? SD ? SD ? SD ? 2SD . ②若 C 是 D 的子集,则 SC ? SC ?D ? SC ? SC ? 2SC ? 2SD . ③若 D 不是 C 的子集,且 C 不是 D 的子集.令 E ? C ? CU D , F ? D ? CU C 则 E ? ? ,

F ?? , E ?F ?? .
-2-

于是 SC ? SE ? SC ?D , SD ? SF ? SC ?D ,进而由 SC ? SD ,得 SE ? SF .设 k 是 E 中的最大数, 为 F 中的最大数,则 k ? 1, l ? 1, k ? l .由(2)知, S E ? ak ?1 ,于是

3l ?1 ? al ? SF ? SE ? ak ?1 ? 3k ,所以 l ? 1 ? k ,即 l ? k .又 k ? l ,故 l ? k ? 1 ,从而
S F ? a1 ? a2 ? ? ? al ? 1 ? 3 ? ? ? 3l ?1 ? 3l ? 1 ak ? 1 S E ? 1 ? ? , 2 2 2

故 S E ? 2S F ? 1 , 所以 SC ? SC ?D ? 2(SD ? SC ?D ) ? 1, 即 SC ? SC ?D ? 2SD ? 1.综合①②③得,

SC ? SC?D ? 2SD .
4. 【2016 高考天津理数】 已知 ?an ? 是各项均为正数的等差数列, 公差为 d , 对任意的 n ? N ?, bn 是 an 和 an ?1 的等差中项. (Ⅰ)设 cn ? bn?1 ? bn , n ? N ,求证: ?cn ? 是等差数列;
2 2 *

(Ⅱ)设 a1 ? d , Tn ?

? ? ?1?
k ?1

2n

n

bn 2 , n ? N * ,求证: ?

1 1 ? 2. 2d k ?1 Tk

n

5. 【2015 高考新课标 2,理 16】设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn?1 , 则 Sn ? ________. 【答案】 ?

1 n

【解析】由已知得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? Sn ,两边同时除以 Sn?1 ? Sn ,得

1 1 ? ? ?1,故 Sn ?1 Sn
-3-

数列 ?

?1? 1 1 则 所以 S n ? ? . ? ?1 ? (n ? 1) ? ?n , ? 是以 ?1 为首项,?1 为公差的等差数列, n Sn ? Sn ?
1 }的 an

6.【2015 江苏高考,11】数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1( n ? N * ) ,则数列 { 前 10 项和为 【答案】
20 11

【解析】由题意得:
an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? n ? n ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ?
1 1 1 1 2n 20 ? 2( ? ), Sn ? 2(1 ? )? , S10 ? an n n ?1 n ?1 n ?1 11
2 7. 【2015 高考新课标 1,理 17】 Sn 为数列{ an }的前项和.已知 an >0, an ? an = 4Sn ? 3 .

n(n ? 1) ,所以 2

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前项和. an an?1

8.【2015 高考山东,理 18】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn ? 3n ? 3 . (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 anbn ? log3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn . 【解析】 (I) 因为 2Sn ? 3n ? 3 , 所以,2a1 ? 3 ? 3 , 故 a1 ? 3, 当 n ? 1 时,2Sn?1 ? 3n?1 ? 3, 此时, 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 3n ? 3n?1, 即 an ? 3n?1, 所以, an ? ? (II)因为 anbn ? log3 an ,所以 b1 ?

?3, n ? 1,
n ?1 ?3 , n ? 1,

1 1?n n?1 1?n ,当 n ? 1 时, bn ? 3 log3 3 ? ? n ?1? ? 3 , 3
-4-

所以 T1 ? b1 ?

1 3 1 ? ?1? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? ? n ?1? 31? n ? ,所以 3

当 n ? 1 时, Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ?

3Tn ? 1 ? ?1? 30 ? 2 ? 3?1 ? ? ? ? n ? 1? 32? n ? ,两式相减,得

2Tn ?
Tn ?

2 1 ? 31?n 2 13 6n ? 3 ? ? 30 ? 3?1 ? 32? n ? ? ? n ? 1? ? 31? n ? ? ? ? n ? 1? ? 31?n ? ? ,所以 ?1 3 6 2 ? 3n 3 1? 3

13 6n ? 3 ? ,经检验, n ? 1 时也适合, 12 4 ? 3n 13 6n ? 3 ? 综上可得: Tn ? 12 4 ? 3n
9.【2015 高考重庆,理 22】在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an?1an ? ?an?1 ? ?an ? 0 ? n ? N? ?
2

(1)若 ? ? 0, ? ? ?2, 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 ? ?

1 1 1 ? ak0 ?1 ? 2 ? ? k0 ? N? , k0 ? 2 ? , ? ? ?1, 证明: 2 ? k0 3k0 ? 1 2 k0 ? 1

-5-

10. 【2014 高考广东理第 19 题】设数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n ,

n ? N ? ,且 S3 ? 15 .
(1)求 a1 、 a2 、 a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

-6-

11. 【2014 高考湖南理第 20 题】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? p , n ? N .
n
*

(1)若 ?an ? 为递增数列,且 a1 , 2a2 ,3a3 成等差数列,求 P 的值; (2)若 p ?

1 ,且 ?a2n?1? 是递增数列, ?a2 n ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式. 2
n n

【解析】 (1)因为数列 ?an ? 为递增数列,所以 an?1 ? an ? 0 ,则 an?1 ? an ? p ? an?1 ? an ? p , 分别令 n ? 1, 2 可得 a2 ? a1 ? p, a3 ? a2 ? p2 ? a2 ? 1 ? p, a3 ? p2 ? p ? 1 ,因为 a1 , 2a2 ,3a3
2 2 成等差数列,所以 4a2 ? a1 ? 3a3 ? 4 ?1 ? p ? ? 1 ? 3 p ? p ? 1 ? 3 p ? p ? 0 ? p ?

?

?

1 或, 3

当 p ? 0 时,数列 an 为常数数列不符合数列 ?an ? 是递增数列,所以 p ? (2)由题可得 an ?1 ? an ?

1 1 ? a2 n ? a2 n ?1 ? 2 n ?1 , a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ? 2 n ?1 ,因为 ?a2n?1? 是递增 n 2 2 2

1 . 3 1

数列且 ?a2 n ? 是递减数列,所以 a2n?1 ? a2n?1 且 a2n?2 ? a2 n ,则有

??a2 n ? ?a2 n ? 2 ? a2 n?1 ? a2 n ? a2 n ?1 ? a2 n ?2 ,因为 ? ?a2 n?1 ? a2 n?1

-7-

12. 【2014 高考全国 1 第 17 题】 已知数列 ?an ? 的前项和为 Sn , a1 ? 1 , an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1, 其中 ? 为常数, (I)证明: an? 2 ? an ? ? ; (II)是否存在 ? ,使得 ?an ? 为等差数列?并说明理由. 【解析】 (I)由题设, an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 .两式相减得,

an?1 (an?2 ? an ) ? ?an?1 .
由于 an?1 ? 0 ,所以 an? 2 ? an ? ? .
-8-

【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查, 主要考查数列的概念与表示 方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法,往往与函数、方程、不等式等知 识建立联系,高考中一般会以各种形式考查. 【2017 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查,要深刻体会数列不 光体现一种递推关系,它具有函数特征,故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对 数列通项公式的考察,一般会以等差数列和等比数列具体形式出现,或者由项的递推关系或 者项与前 n 项的的关系得出,同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用.对数列求和的考察, 要掌握常见的数列求和方法(直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法) ,往往会和 不等式建立联系,会牵涉到放缩法,难度会大点,注意等价转换思想的活用.这部分试题难 度属中低档的题目,小题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、前 n 项和公式为载体,结合数 列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想,要注重通性、通法;解答题“大而全”,注重题目 的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.由于连续两年大题没涉及数列,故预测 2017 年高 考将以等差数列,等比数列的定义、通项公式和前 n 项和公式为主要考点,特别是错位相减 法求和问题,重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力.

【2017 年高考考点定位】 高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式:一是考察数列的概念与表示;二是数 列通项公式;三是数列求和;其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系. 【考点 1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】 1.定义:按照一定顺序排列着的一列数.
-9-

2.表示方法:列表法、解析法(通项公式法和递推公式法) 、图象法. 3.分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单 调数列、摆动数列和常数列. 4. an 与 Sn 的关系: an ? ?

?S1 (n ? 1) . ?Sn ? Sn?1 (n ≥ 2)

5.处理方法:.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】 1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数,故数列具有函数的特征(周期性、单调性 等) . 2. 观察法是解决数列问题的法宝,先根据特殊的几项,找出共同的规律,横看“各项之间的关 系结构”,纵看 “各项与项数 n 的关系”,从而确定数列的通项公式. 【考点针对训练】 1. 【2016 年 4 月河南八市高三质检卷】已知 an ? logn?1 (n ? 2)(n ? N * ) ,观察下列算式:

a1 ? a2 ? log 2 3 ? log3 4 ?

lg 3 lg 4 ? ?2; lg 2 lg 3 lg 3 lg 4 lg8 ? ?? ? 3 ,…;若 lg 2 lg 3 lg 7
) D. 2
2016

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? log 2 3 ? log3 4?? log 7 8 ?

a1 ? a2 ? a3 ??? am ? 2016(m ? N * ) ,则 m 的值为(
A. 2
2016

?2

B. 2

2016

C. 2

2016

?2

?4

【答案】C 【解析】由题意: a1 ? a2 ? log 2 3 ? log 3 4 ?

lg 3 lg 4 ? ?2; lg 2 lg 3 lg 3 lg 4 lg8 ? ?? ? 3 ,…; lg 2 lg 3 lg 7 lg 3 lg 4 lg16 ? ?? ? 16, …; lg 2 lg 3 lg15
2016

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? log 2 3 ? log3 4?? log 7 8 ?

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ?? a13 ? a14 ? log 2 3 ? log3 4?? log15 16 ?

据此可知, a1 ? a2 ? a3 ??? am ? 2016(m ? N * ) ,则 m 的值为 2 2.数列 ,? ,

?2

1 3

1 5 7 ,? , ? 的一个通项公式是 3 27 81
- 10 -

2n ? 1 3n 2 n ?1 n D. a n ? (?1) n 3
n ?1 A. a n ? (?1)

n B. a n ? (?1)

2n ? 1 3n

n ?1 C. a n ? (?1)

2n ? 1 3n

【答案】C.

【考点 2】递推关系与数列通项公式 【备考知识梳理】 在一些综合性比较强的数列问题中, 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈. 数 列通项公式的求解常用方法:1、定义法,直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法 叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.2、公式法, 若已知数列的前项和 S n 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 an ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解.3、由递推式求数 ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

列通项法,对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数 列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.4、待定系数法(构造法) , 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理 能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方 法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种 重要的转化方法. 【规律方法技巧】 数列的通项的求法: ⑴公式法: ①等差数列通项公式; ②等比数列通项公式.⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法:

an ?

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ? 2)
1 n n ?1

.

⑶已知 a1 ? a2 ? ?? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n)

f (1),(n ? 1) ? ? . ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ?
- 11 -

⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法:

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) .
⑸已知

an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) .⑹已知递推关系求 an an ?1 an ? 2 a1

用构造法 (构造等差、 等比数列) .特别地, (1) 形如 an ? kan?1 ? b 、an ? kan?1 ? bn( k , b an , 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求 an .如(21)已知 (2)形如 an ? a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ;

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项. kan ?1 ? b

注意: (1) 用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗? (n ? 2, 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ) ; (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系 式 an ? S n ? S n?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式, 然后再求解. (3) 由 Sn 与 Sn ?1 的关系,可以先求 Sn ,再求 an ,或者先转化为项与项的递推关系,再求 an . 【考点针对训练】 1. 【2016 届榆林市高三二模】在数列 ?an ? 中, a1 ? ? , an ? 1 ? 为( A. ? )

1 4

1 ? n ? 1? ,则 a2016 的值 an?1

1 4

B.5

C.

4 5

D.以上都不对

【答案】C

2. 【2016 湖北省八校高三.二联】数列 ?an ? 满足 a1 =1 , nan?1 = ? n ? 1? an ? n ? n ? 1? ,且

bn =an cos

2n? ,记 Sn 为数列 ?bn ? 的前项和,则 S120 = 3

.

【答案】 7280 【解析】由 nan?1 = ? n ? 1? an ? n ? n ? 1? 得,

an ?1 an ?a ? ? ? 1 ,所以数列 ? n ? 是以为公差的等差 n ?1 n ?n?

- 12 -

数列,且

a a1 2n? ? 1 ,所以 n ? n , an ? n2 , bn ? n 2 cos ,所以 1 n 3 1 1 1 1 S120 ? ? ?12 ? ? 22 ? 32 ? ? 42 ? ? 52 ? 62 ? ? ? 1202 2 2 2 2 1 ? ? (12 ? 22 ? 2 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? ? 1202 ) 2 1 ? ? [(12 ? 22 ? 32 ? ? ? 1202 ) ? 3 ? (32 ? 62 ? 92 ? ? ? 1202 )] 2 1 1 ? ? 3 ? 9 ? (12 ? 22 ? ? 402 ) ? ? (12 ? 22 ? 32 ? ? ? 1202 ) 2 2 1 40 ? 41? 81 1 120 ?121? 241 ? ? 3? 9 ? ? ? ? 7280 2 6 2 6

【考点 3】数列求和 【备考知识梳理】 数列的求和也是高考中的热点内容,考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和,体现了 化归的思想方法,其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点.估计在以后的高考中不会有 太大的改变.数列求和的常用方法,尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和, 数列求和的基本方法: 1. 基本公式法: ?1? 等差数列求和公式:

Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d 2 2

? 2 ? 等比数列求和公式:
1 2 n ? Cn ? ?? Cn ? 2n . ? 3? Cn0 ? Cn

q ?1 ? na1 , ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ,q ?1 ? 1? q ? 1? q

2. 错位相消法: 一般适应于数列 ?anbn ? 的前向求和, 其中 ?an ? 成等差数列,?bn ? 成等比数列.

3. 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和. 4. 拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,
只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有: ?1? 若 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?; an an ?1 d ? an an ?1 ?

? 2?

1? 1 1 ? ; ? 3? ? ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

1 1 ? n?k ? n k

?

n ?1 ? n ;

?

? 4 ? Cnm?1 ? Cnm?1 ? Cnm ; ? 5? n ? n! ? ? n ?1?!? n!.
5.倒序相加法:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的.
- 13 -

【规律方法技巧】 数列求和关键是研究数列通项公式,根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式,若数列 是等差数列或等比数列,直接利用公式求和;若通项公式是等差乘等比型,利用错位相减法; 若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消,利用裂项相消法,从近年的 考题来看,逐渐加大了与函数不等式的联系,通过对通项公式进行放缩,放缩为易求和的数 列问题处理. 【考点针对训练】 1.【2016 年江西九江高三第三次联考】 设 Sn 是等差数列 ?an ?的前项和, 若 S672 ? 2, S1344 ? 12 , 则 S 2016 ? ( )

22 A.
【答案】C

26 B.

30 C.

34 D.

【解析】 由 S672 , S1344 ? S672 , S2016 ? S1344 成等差数列, 得 2 ?10 ? 2 ? S2016 ?12 , 即 S6 1 0 2 故选 C. 2. 【2016 届淮北一中高三最后一卷】已知函数 f ? x ? ? ?log

? 30 ,

? ? ? ?

ax ? 1? x ? 0 ? 且 1 ? x ? 1?? ?1 ? x ? 0 ?
2

? ? 3 ?? 1? ? 在各项为正的数列 ?an ? 中, f ? f ? ? ?? ? 3 , a1 ? 2, an?1 ? f ? an ? ? , ?an ? 的前项和为 Sn , 2? ? ? ? 4 ??
若 Sn ? 126 ,则 n ? ____________. 【答案】6

【应试技巧点拨】 1. 由递推关系求数列的通项公式 (1)利用“累加法”和“累乘法”求通项公式
- 14 -

此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为 an?1 ? an ? f (n) 用累加法;递 推关系为

an?1 a ? f (n) 用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为 an?1 ? an、 n ?1 结 an an

构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为 (n ? 1) 个式子,不要误认为个. (2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理 能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法 体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重 要的转化方法.递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数,( pq( p ? 1) ? 0) ).把原递推 公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 3.如何选择恰当的方法求数列的和 在数列求和问题中,由于题目的千变万化,使得不少同学一筹莫展,方法老师也介绍过,就 不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”:就是抓住数列的通项公式的特 征,再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂,只有抓住它的特征,才能对号 入座,得到求和方法. 特征一: Cn ? an ? bn ? ....,数列 {Cn } 的通项公式能够分解成几部分,一般用“分组求和法”. 特征二: Cn ? an ? bn ,数列 {Cn } 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用 “错位相减法”. 特征三: Cn ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解. 1? p

1 ,数列 {Cn } 的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”. an ? bn

n 特征四:Cn ? Cn ? an ,数列 {Cn } 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般采

用“倒序相加法”. 4. 利用转化,解决递推公式为 S n 与 an 的关系式. 数列{ a n }的前项和 S n 与通项 a n 的关系: an ? ?

(n ? 1) ?S1 .通过纽带: ?Sn ? Sn?1 (n ≥ 2)

an ? Sn ? Sn? ( 1 n ? 2) ,根据题目求解特点,消掉一个 an 或Sn .然后再进行构造成等差或者等
- 15 -

比数列进行求解.如需消掉 Sn ,利用已知递推式,把 n 换成(n+1)得到递推式,两式相减即 可.若消掉 an ,只需把 an ? Sn ? Sn?1 带入递推式即可.不论哪种形式,需要注意公式

an ? Sn ? Sn?1 成立的条件 n ? 2.
5.由递推关系求数列的通项公式 (1)利用“累加法”和“累乘法”求通项公式 此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为 an?1 ? an ? f (n) 用累加法;递 推关系为

an?1 a ? f (n) 用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为 an?1 ? an、 n ?1 结 an an

构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为 (n ? 1) 个式子,不要误认为个. (2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理 能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法 体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重 要的转化方法.递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数,( pq( p ? 1) ? 0) ).把原递推 公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解. 1? p

* 1. 【2016 届宁夏石嘴山三中高三下三模】数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,对任意的 n ? N 都有

an?1 ? a1 ? an ? n ,则
A.

1 1 1 ?( ? ? ......? a 2016 a1 a 2
2016 2017
C.



2015 2016

B.

4034 2017

D.

4032 2017

【答案】D

- 16 -

2. 【2016 届云南省玉溪一中高三下第八次月考】若数列{ an }满足

1 an-1



1 =d (n∈N﹡, an

d 为常数) ,则称数列{ an }为调和数列.已知数列{ 则 x5+x16=( A.10 D.40 【答案】B ) B.20

1 }为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200, xn

C.30

【解析】由题意知 xn ? xn?1 ? ?d (常数) ,所以数列 ?xn ? 是以 x1 为首项, ? d 为公差的等差 数列,则有 x1 ? x2 ??? x20 ? 10 ? ? x5 ? x16 ? ? 200 , x5 ? x16 ? 20 .故选 B.
? 3. 【2016 届河南郑州一中高三考前冲刺一】数列 ?a n ?满足: a1 ? 1 ,且对任意的 m, n ? N ,

都有 am? n ? am ? an ? mn,则

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ?( a1 a2 a3 a2014
C.



A.

2013 2014

B.

2013 1007

2013 2015

D.

4028 2015

【答案】D 【解析】因为 am? n ? am ? an ? mn,则可得 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 10 ,则可猜得

an ?

1 2 1 ? n?n ? 1? ?1 ? ? 2? ? ,∴ ? ,∴ 2 an n?n ? 1? ? n n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 4028 ? 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ,故选 D. ?? a1 a2 a3 a2014 2014 2015 ? 2015 ? 2 2 3
4. 【2016 届河南郑州一中高三考前冲刺】已知数列 ?a n ?满足 an ? 列 ?a n ?的最小项为,则实数 m 的值为( A. ) C. ?

1 3 5 2 n ? n ? 3 ? m ,若数 3 4

1 4

B.

1 3

1 4

D. ?

1 3

【答案】B

- 17 -

5. 【2016 年淮北一中高三模考】数列 此数列的通项公式 an ? ___________.
n ?1 【答案】 ? n ? 1? 2 ? 1

?an ? 中, a1 ? 6, an ? 2an?1 ?

2an ?1 ? n ? 1? n ? 2 ? ,则 n

?

?

【解析】由 an ? 2an ?1 ?

2an ?1 a 2a a a ? n ? 1 得 n ? n ?1 ? 1 ,所以 n ? 1 ? 2( n ?1 ? 1) ,又 n n ?1 n n ?1 n a a a1 ? 1 ? 4 ,所以 { n ? 1} 是等比数列,所以 n ? 1 ? 4 ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,即 2 n ?1 n ?1

an ? (n ? 1)(2n?1 ?1) .
6. 【2016 年河北石家庄高三二模】数列 ?an ?满足: a3 ?

1 , an ? an ?1 ? 2an ? an ?1 ,则数列 5

?an ? an?1?前 10 项的和为______.
【答案】

10 21

7. 【2016 年江西省南昌市高三一模测试】数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+Sn 一 1=2n-l (n>2), 且 S2 =3,则 a1+a3 的值为 【答案】 ? 1 。

- 18 -

【解析】令 n ? 2 ,则 S2 ? S1 ? 3 ? S1 ? 3 ,则 a1 ? S1 ? 0 ,令 n ? 3 ,则 S3 ? S2 ? S3 ? 3 ? 5 ,

S3 ? 2 ,则 a3 ? S3 ? S 2 ? ?1 ,所以 a1 ? a3 ? ?1 .
8. 【2016 届浙江省义乌市 5 月模拟】 已知数列 ?an ? 满足 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 (2)设 bn ? an ? an ,且 Sn 为 ?bn ? 的前项和,证明: 12 ? Sn ? 15 .

1 1 1 . ? ? 且 a1 ? 4( n ? N * ) an?1 2an 2

9. 【2016 届吉林四平一中高三五模】 数列 {an } 的前项和为 Sn ,a1 ? 1 ,an?1 ? 2Sn (n ? N * ) . (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)求数列 {nan } 的前项和为 Tn . 【解析】 (1)因为 an?1 ? 2Sn ,所以 Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,所以

Sn ?1 ? 3 .又因为 S1 ? a1 ? 1 ,所以 Sn

数列 {Sn } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 Sn ? 3n ?1(n ? N * ) .当 n ? 2 时,
- 19 -

an ? 2Sn ?1 ? 2 ? 3n ? 2 (n ? 2) ,
所以 an ? ?

1, n ? 1 . n?2 ?2 ? 3 , n ? 2 ?

(2) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ,当 n ? 1 时, T1 ? 1, 当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ? ? 2n ? 3n ?2 ,①

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? 2n ? 3n ?1



①-②得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n ? 2 ) ? 2n ? 3n ?1 ,

? 2 ? 2?

3(1 ? 3n ? 2 ) 1 1 ? 2n ? 3n ? 2 ? ?1 ? (1 ? 2n) ? 3n ?1 ,所以 Tn ? ? (n ? )3n ?1 (n ? 2) , 2 2 1? 3
1 1 ? (n ? )3n ?1 (n ? N * ) . 2 2

又因为 T1 ? a1 ? 1 也满足上式,所以 Tn ?

10. 【2016 年山西高三四校联考】在等差数列 ?a n ?中, a2 ? 5, a5 ? 11,数列 ?bn ?的前 n 项 和 Sn ? n2 ? an . (Ⅰ)求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

- 20 -

11. 【2015 届河南省南阳市一中高三三模】数列 ?am ? 的前 n 项和为 Sm ,已知 a1 ? 意正整数 m, n ,都有 am?n ? am ? an ,若 Sm ? a 恒成立,则实数 a 的最小值为 【答案】

1 ,且任 3


1 2

【解析】 : ∵ Sm ? a 恒成立, ∴ a ? (Sm )max , 当 m ? 1 时, an?1 ? a1an ?

an ?1 a 1 即 n ?1 ? , ? a1 , an an 3

1 1 (1 ? ( )m ) 1 1 1 3 Sm ? 3 ? (1 ? ( )m ) ,当 m ? ?? 时, ( S m ) max ? . 1 2 2 3 1? 3
12.【2015 届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】如下图所示,坐标纸上的每个单元格的边 长为,由下往上的六个点: , , , , ,的横、纵坐标分别对应数列 ?an ? ( n ? ? )的前 12 项,如
?

下表所示:

按如此规律下去,则 a2013 ? a2014 ? a2015 ?



- 21 -

【答案】1007

13.【2015 届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

4 ,且 3


an?1 ? 1 ? an ?an ? 1? n ? N ? ,则 m ?
A.0 【答案】C 【解析】由 an?1 ? 1 ? an ?an ? 1? n ? N B.1 C.2

?

?

1 1 1 的整数部分是( ? ??? a1 a 2 a 2015
D.3

?

?

?得

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,因此 an ?1 ? 1 an (an ? 1) an ? 1 an an an ? 1 an ?1 ? 1

m?
?

1 1 1 ? ??? a1 a 2 a 2015

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? =3 ? ,又 a1 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 a2015 ? 1 a2016 ? 1 a1 ? 1 a2016 ? 1 a2016 ? 1
2 4 4 52 6916 1 ? 1 ? an ?1 ? an ? (an ? 1) ? 0, a2 ? 1 ? , a3 ? 1 ? , a4 ? 1 ? ? 2 ? a2016 ? 2 ? 0 ? ? 1, 3 9 81 6561 a2016 ? 1

a1 ?

因此 2 ? m ? 3 ,即 m 的整数部分是 2,选 C. 14.【2015 届福建省龙岩市一中高三考前模拟】设数列 {an } 的前项和为 Sn ,且 a1 ? 1 ,

an?1 ? 1 ? 2Sn (n ? N* ) .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 为等差数列,且 b1 ? a1 ,公差为

a2 .当 n≥3 时,比较 bn ?1 与 a1

1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn 的大小.
- 22 -

15.【2015 届浙江省余姚市高三第三次模拟】已知数列 {an },{bn } 满足下列条件:

an ? 6 ? 2n?1 ? 2, b1 ? 1 , an ? bn?1 ? bn .
(Ⅰ)求 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)比较 an 与 2bn 的大小. 【解析】 (Ⅰ)由已知, bn?1 ? bn ? 6 ? 2n?1 ? 2. bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 )

? 1 ? (6 ?1 ? 2) ? (6 ? 2 ? 2) ? ?? (6 ? 2n?2 ? 2) ? 1 ? 6 ? (1 ? 2 ? ?? 2n?2 ) ? 2(n ?1)
? 1? 6 ? 1 ? 2n?1 ? 2(n ? 1) ? 6 ? 2n ?1 ? 2n ? 3. 1? 2
所以 {bn } 的通项公式 bn ? 6 ? 2n?1 ? 2n ? 3.

(Ⅱ) 2bn ? an ? 6 ? 2n?1 ? 4(n ? 1) ? 3 ? 2n ? 4(n ? 1).

设 cn ?

3 ? 2n . 4(n ? 1)

3 ? 2n ?1 cn?1 2(n ? 1) n 4(n ? 2) ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 0. 所以 cn?1 ? cn . 即 {cn } 为递增数列. 当 n ? 2 n 3? 2 cn n?2 n?2 4(n ? 1)
时, cn ? c2 ? 1. 所以 3 ? 2 ? 4(n ? 1). 于是 2bn ? an ? 0 ,即 an ? 2bn . 易知当 n ? 1 时,
n

an ? 2bn . 当 n ? 2 时, an ? 2bn .

【一年原创真预测】
- 23 -

1. 已知数列 {an } 的前项和 Sn 满足 nSn?1 ? (n ? 1)Sn ? 2n2 ? 2n (n ? N * ) , a1 ? 3 ,则数列

{an } 的通项 an ? (
A. 4 n ? 1 【答案】A

) B. 2n ? 1 C. 3n D. n ? 2

【入选理由】本题考查数列前项和 Sn 与通项 an 间的关系、等差数列通项公式等基础知识,意 在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力,以及转化思想的应用.表面看题,似难度重重, 认真审题,找出规律,从而可解,难度不大,有一定的技巧,故选此题. 2.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , nan?1 ? 2(n ? 1)an ,则 a5 ? ( A.320 【答案】B 【解析】由 nan?1 ? 2(n ? 1)an ,得 数列,所以 B.160 C.80 D.40 )

an ?1 a a ? 2 ? n ,则数列 { n } 是首项为 2,公比为 2 的等比 n ?1 n n

an ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ,即 an ? n ? 2n ,所以 a5 ? 5 ? 25 ? 160 ,故选 B. n

【入选理由】本题考查数列递推关系、等比数列通项公式等基础知识,意在考查学生的逻辑 思维能力、运算求解能力,以及转化思想的应用.递推关系需注意变形方法,此题难度不大, 有一定的技巧,故选此题. 3.已知数列 {an } 的前项和为 Sn , a1 ? 1 .当 n ? 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 ,则 S299 ? ( A.246 【答案】B 【解析】当 n ? 2 时,由 an ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 得 Sn ? Sn?1 ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 ,即 所以 Sn?1 ? Sn ? 2n ? 3 ……②, 由②-①得 Sn?1 ? Sn?1 ? 2 , 又 a1 ? 1 Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ……① , 即 S1 ? 1 ,所以数列 ?S2n?1? 构成公差为 2 的等差数列,从而 S299 ? 1 ? (150 ?1) ? 2 ? 299 ,故 选 B.
- 24 -



B.299

C.247

D.248

【入选理由】本题考查数列前项和 Sn 与通项 an 间的关系、等差数列通项公式等基础知识,意 在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力,以及转化思想的应用.递推关系是高考考试的 重点与难点,有一定的技巧,需加强练习,故选此题. 4. bm 为数列 {2n } 中不超过 Am3 (m ? N * ) 的项数, 2b2 =b1 ? b5 且 b3 ? 10 ,则正整数 A 的值为

_______.
【答案】 64 或 65

【入选理由】本题考查等差数列,不等式正整数解等基础知识,意在考查分析问题、解决问 题的能力、基本运算能力及推理能力.此题看似简单,拿住题又无从下手,细分析后也不是太难, 的确是一个好题,故选此题. 5.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? m , 其前项和为 Sn , 且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n , 若对 ?n ? N ,
?

an ? an?1 恒成立,则 m 的取值范围是_______.
【答案】 ( ?

1 5 , ) 4 3

【入选理由】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识,意在考查转化与化归、逻辑思 维能力和基本运算能力,以及转化思想的应用.此类题,需认真审题,找出规律,从而可解, 难度不大,有一定的技巧,故选此题.
- 25 -

6.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ? (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式;

3 2 3 n ? n. 2 2

3 ? * ? 2S ? 3n , n ? 2k ? 1, k ? N cn ? ? n (Ⅱ) 记b n? 2 , , 设数列 {c n } 的前 n 项和为 Tn , 求 T2n . ?b , n ? 2k, k ? N* ? n
an

【解析】 ? I ? 当 n ? 2 时, Sn ?1 ?

3 3 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?a n ? Sn ? Sn?1 ? 3n ,又 n ? 1 时, 2 2

a1 ? S1 ? 3 满足上式,

所以 a n ? 3n .

1 ? * ? n n ? 2 , n ? 2k ? 1, k ? N ? ? . T2n ? ? c1 ? c3 ? ?? c2n?1 ? ? ? c2 ? c4 ? ?? c2n ? ? II ? cn ? ? ?8n * , n ? 2k, k ? N ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 2 4 2n ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?8 ? 8 ? ? ? 8 ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ?1 2n ? 1 ? ?
1? 1 ? 64 ?1 ? 64 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 1 ? 64
n

??

n 64 ? ? 64n ? 1? . 2n ? 1 63

【入选理由】本题主要考查已知数列前 n 项和求通项以及分段数列前 n 项和的求法等基础知 识,意在考查学生的转化与化归能力和运算求解能力.此类题是高考常考题型,难度不大, 有一定的技巧,故选此题. 7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, a2n?1 ? a2n?1 ? 2, a2n?2 ? 3a2n ,(n ? N ) .数列 ?an ? 前项和
*

为 Sn . (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 am am?1 ? am?2 ,求正整数 m 的值; (Ⅲ)是否存在正整数 m ,使得 件的 m 值,若不存在,说明理由.

S2m 恰好为数列 ?an ? 中的一项?若存在,求出所有满足条 S 2 m ?1

- 26 -

【入选理由】本小题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式、数列增减性等 基础知识,考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力.此类题有一定的综合性,难 度中等,有一定的解题技巧,故选此题. 8.已知数列 ?an ? 中任意连续三项的和为零,且 a2 ? 2a1 ? ?1. (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式;
- 27 -

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? bn an?1 (n ? N ), b1 ? a1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 的取值范围.
*

【入选理由】本小题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式、数列增减性等 基础知识,考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析的能力.此题构思巧妙,有一定的新 意,有一定的难度,故选此题.

- 28 -


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