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2016-2017学年人教A版必修五 2.2 第1课时 等差数列 课件 (18张)


2.2.1 等差数列 (1)

请观察:
0,5,10,15,20,……
48,53,58,63.




18,15.5,13,10.5,8,5.5.
10072,10144,10216, 10288,10360.




请问:它们有什么共同的特点?
观察相邻两项间的关系,不难归纳和概括出 以上四个数列具有以下共性特点: 从第2项起,每 一项与前一项的差都等于同一个常数.

定义:如果一个数列从第2项起,每一项 与它的前一项 的差都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫 做等差数列的公差,公差通常用 d 表示.



an ? an ?1 ? d ( n ? 2)

说 明:由定义 a n ? 1 ? a n ? d 知
当 d = 0 时,数列是常数列;

当 d > 0 时,数列是递增数列; 当 d < 0 时,数列是递减数列.

0,5,10,15,20,…… 48,53,58,63. 18,15.5,13,10.5,8,5.5. 10072,10144,10216, 10288,10360.

① ② ③ ④

由定义知:数列①,② ,③, ④都是等差数列, 以上四组等差数列对应的公差依次是: 5,5,-2.5,72.

想一想:如果已知一个等差数列的首项是 a1 ,
公差是 d ,那么这个数列的通项an 能求出吗? 分析1:根据等差数列的定义: a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d ,? a2 ? a1 ? d , 所以 a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d ,

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d ,

a n ? a 1 ? ( n ? 1)d ( n ? 2 )
由此得到: n

??

a ? a1 ? (n ?1)d.(通项公式)

分析2:根据等差数列的定义:

a2 ? a1 ? d

( 1 ) (2) (3) ( n ? 1)

a3 ? a2 ? d
a4 ? a3 ? d an ? an ?1 ? d

??

将上面 n ? 1 个等式相加得:

an ? a1 ? (n ? 1)d ( n ? 2)
由此得到: n

a ? a1 ? (n ?1)d.(通项公式)

an ? a1 ? (n ?1)d.
在等差数列通项公式中,有四个量,

a1 , d, n, an ,
知道其中的任意三个量,就可以求 出另一个量,即知三求一 .

例1. ⑴ 求等差数列 8,5,2,…的第20项。 ⑵ -401是不是等差数列 -5,-9,-13…的项? 如果是,是第几项? d ? 5 ? 8 ? ? 3 , n ? 20 , 解:⑴ ∵ a1 ? 8 , ? a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ? 49 . ⑵∵ a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4, ? an ? ?5 ? 4(n ? 1).

由? 401 ? ?5 ? 4( n ? 1) 解 得 :n ? 100 .
即 -401是数列的第100项。

例2、在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31 ,求首项a1与公差d 及 a19 .
解:由等差数列通项公式 得:

a1 ? 4d ?10 {a1 ?11d ?31 an=a1+(n-1)d a1 ? ?2 , d ? 3, 解得:

? a19 ? ? 2 ? (19 ? 1) ? 3 ? 52 .
说明:由此可以看到:已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.

由等差数列通项公式有

a m ? a 1 ? ( m ? 1)d , 即 a 1 ? a m ? ( m ? 1)d , ? a n ? a 1 ? ( n ? 1)d ? a m ? ( m ? 1)d ? ( n ? 1)d ? a m ? ( n ? m )d .

? a n ? a m ? ( n ? m )d .
(这是等差数列通项公式的推广形式 )

从函数的角度来看等差数列通项公式:

a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? d ? n ? a1 ? d
a n ? d ? n ? a1 ? d ( d ? 0 ) 是关于 n 的一次式 ,
所以等差数列通项公式也可以表示为:

b ? a1 ? d ) a n ? kn ? b ( k ? d ,

{a n } 是等差数列 ? a n ? kn ? b ( k , b 是常数 )

{ a n } 是 等 差 数 列? a n ? kn ? b ( k , b 是 常 数)
证明: ① ② 若 {a n } 是等差数列 ,

则 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? d ? n ? a1 ? d b ? a1 ? d ) . ? a n ? kn ? b ( k ? d , ② 若 a n ? kn ? b ( k , ① b 是常数 ) ,

则 an ? an?1 ( n ? 2)

? kn ? b ? ( kn ? k ? b ) ? k ? ?a n ?是等差数列.

? (kn ? b) ? [k (n ? 1) ? b]

课后作业
1. 习题2.2 A组 1~5 2.《启迪》 2.2.1

小 结
? 本节课学习的主要内容有:
? 等差数列的定义 a n

? 等差数列的通项公式

? a n ?1 ? d ( n ? 2) a n ? a1 ? ( n ? 1) d

? 等差数列的性质

an ? am ? (n ? m )d

? 本节课的能力要求是:

(1)理解等差数列的概念;
(2)掌握等差数列的通项公式;


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